C alculo Num erico Integra c ao Num erica Ana Paula Ana Paula C alculo Num erico

Transcrição

1 Integração Numérica

2 Sumário 1 Aula Anterior 2 Fórmulas Repetidas

3 Aula Anterior Aula Anterior

4 Aula Anterior Aula Anterior Integração numérica Fórmulas Fechadas de Newton-Cotes Regra do Retângulo Integração do polinômio constante que interpola (a, f(a)) I R = hf(a) Regra do Ponto Médio Integração do polinômio constante que interpola ( a+b 2 ( ) a + b I M = hf Regra do Trapézio Integração do polinômio interpolador linear 2, f( a+b 2 )) I T = h 2 (f(x 0) + f(x 1 ))

5 Aula Anterior Aula Anterior Integração numérica Fórmulas Fechadas de Newton-Cotes Regra 1/3 de Simpson Integração do polinômio interpolador quadrático I 1/3S = h 3 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )] Regra 3/8 de Simpson Integração do polinômio interpolador cúbico I 3/8S = 3h 8 [f(x 0) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )]

6 Fórmulas Repetidas

7 Fórmulas Repetidas Quando o intervalo é grande, pode não ser conveniente aumentar o grau do polinômio interpolador Uma ideia é dividir o intervalo original em diversos subintervalos e aplicar uma regra de integração em cada subintervalo Essas são as chamadas regras repetidas generalizadas compostas

8 Regra do Retângulo Repetida Dividindo o intervalo [a; b] em m subintervalos, com x 0 = a, x m = b e x i = a + ih para i = 0,..., m, então b m xi I = f(x)dx = f(x)dx a x i 1 i=1 Sendo a Regra do Retângulo dada por I R = hf(a) Então a regra generalizada fica como m I RR = hf(x i 1 ) i=1

9 Regra do Retângulo Repetida I RR = m hf(x i 1 ) i=1

10 Regra do Ponto Médio Repetida Dividindo o intervalo [a; b] em m subintervalos, com x 0 = a, x m = b e x i = a + ih para i = 0,..., m, então b m xi I = f(x)dx = f(x)dx a x i 1 Para o caso do ponto médio tem-se que ( ) xi 1 + x i m ( ) xi 1 + x i I M = hf I MR = hf 2 2 i=1 i=1

11 Regra do Ponto Médio Repetida I MR = m ( ) xi 1 + x i hf 2 i=1

12 Regra do Trapézio Repetida A Regra do Trapézio é dada por I T = h 2 [f (x 0) + f (x 1 )] Subdividindo o intervalo de integração [a; b] em m subintervalos iguais então b m xi I T R = f(x)dx = f(x)dx x i 1 a i=1 = h 2 [f (x 0) + f (x 1 )] + h 2 [f (x 1) + f (x 2 )] + + h 2 [f (x m 2) + f (x m 1 )] + h 2 [f (x m 1) + f (x m )] = h 2 [f (x 0) + 2f (x 1 ) + + 2f (x m 1 ) + f (x m )]

13 Regra do Trapézio Repetida Assim, I T R = h 2 [f (x 0) + 2f (x 1 ) + + 2f (x m 1 ) + f (x m )] = h 2 m c i f(x i ) i=0 onde c 0 = c m = 1 e c i = 2, para i = 1,..., m 1

14 Regra do Trapézio Repetida I T R = h 2 m c i f(x i ) i=0

15 Exemplo Exemplo 1 Utilize a regra do trapézio com dois segmentos para obter a integração da função f(x) = 0,2 + 25x 200x x 3 900x x 5, de a = 0 a b= 0,8.

16 Regra Trapézio Repetida

17 Regra 1/3 de Simpson Repetida Sendo a Regra 1/3 de Simpson dada por I 1/3S = h 3 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )] Subdividindo o intervalo de integração [a; b] em m (múltiplo de 2) subintervalos iguais então I 1/3SR = h 3 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )] + h 3 [f(x 2) + 4f(x 3 ) + f(x 4 )] + h 3 [f(x 4) + 4f(x 5 ) + f(x 6 )] + + h 3 [f(x m 2) + 4f(x m 1 ) + f(x m )] = h 3 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 ) + 2f(x 4 ) + + f(x m ]

18 Regra 1/3 de Simpson Repetida Portanto, I 1/3SR = h 3 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 ) + 2f(x 4 ) + + f(x m ] = h m c i f(x i ) 3 i=0 onde c 0 = c m = 1 caso contrário (i = 1,..., m 1) ci = 4, se i for ímpar ci = 2, se i for par

19 Regra 1/3 de Simpson Repetida I 1/3SR = h 3 m c i f(x i ) i=0

20 Exemplo Exemplo 2 Utilize a regra 1/3 de Simpson repetida, com m = 4 subintervalos, para obter a integração da função f(x) = 0,2 + 25x 200x x 3 900x x 5, de a = 0 a b= 0,8.

21 Regra 1/3 de Simpson Repetida

22 Regra 1/3 de Simpson Repetida Importante Total de subintervalos deve ser um número par!

23 Regra 3/8 de Simpson Repetida Sendo a Regra 3/8 de Simpson dada por I 3/8S = 3h 8 [f(x 0) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )] Subdividindo o intervalo de integração [a; b] em m (múltiplo de 3) subintervalos iguais então I 3/8SR = 3h 8 [f(x 0) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )] + 3h 8 [f(x 3) + 3f(x 4 ) + 3f(x 5 ) + f(x 6 )] + 3h 8 [f(x 6) + 3f(x 7 ) + 3f(x 8 ) + f(x 9 )] + + 3h 8 [f(x m 3) + 3f(x m 2 ) + 3f(x m 1 ) + f(x m )] = 3h 8 [f(x 0) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + 2f(x 3 ) + + f(x m ]

24 Regra 3/8 de Simpson Repetida Portanto, onde I 3/8SR = 3h 8 [f(x 0) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + 2f(x 3 ) + + f(x m ] = 3h 8 m c i f(x i ) i=0 c 0 = c m = 1 caso contrário (i = 1,..., m 1) ci = 2, se i for divisível por 3 ci = 3, caso contrário I 3/8SR = 3h 8 m c i f(x i ) i=0

25 Regra 3/8 de Simpson Repetida Importante Total de subintervalos deve ser múltiplo de 3!

26 Exemplo Exemplo 3 Utilize a regra 1/3 de Simpson e a regra 3/8 de Simpson conjuntamente, com m = 5 subintervalos, para obter a integração da função f(x) = 0,2 + 25x 200x x 3 900x x 5, de a = 0 a b= 0,8.

27 Regra 1/3 de Simpson e 3/8 de Simpson usadas conjuntamente

28 Integração com segmentos desiguais Na prática, existem muitas situações nas quais os espaços não são igualmente espaçados. Por exemplo, quando os dados são obtidos experimentalmente Nestes casos, podemos aplicar a regra do trapézio para cada segmento e somar os resultados: I = h 1 (f(x 0 ) + f(x 1 )) 2 (f(x 1 ) + f(x 2 )) (f(x n 1 ) + f(x n )) +h 2 + +h n 2 2

29 Exemplo Exemplo 4 Integre a função f(x) = 0,2 + 25x 200x x 3 900x x 5, utilizando a regra do trapézio, para os seguintes pontos x = [0 0,12 0,22 0,32 0,36 0,40]

30 Fontes Curso de - UFJF Livro:Métodos Numéricos Aplicados com Matlab para Engenheiros e Cientistas - Steven C. Chapra