MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Limites e Continuidade Propostas de resolução

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1 MATEMÁTICA A - 2o Ano Funções - Limites e Continuidade Propostas de resolução Eercícios de eames e testes intermédios. Determinando o valor de a e de b, temos: a + 3n + n 3 n n + n n 3 e 3 b ln 2e n ln 2e ln 2 0 ln 0 Resposta: Opção B 2. Como u n n e n e n n en n + 0+, então: f u n 0 + f 0 + ln ln0 + Graficamente, na figura ao lado, estão representados alguns termos de u n como objetos, e alguns termos da sucessão das imagens fu n, que tendem para, quando o valor de n aumenta. 0 u n Eame 206, Ép. especial fu n 3. Calculando o valor do ite, em função de n, vem que: e n e 0 n0 e Indeterminação 600 n 0 e n 0 n e n 0 n n e n fazendo n, temos que se 0, então n e n 600 e 0 n e Eame 206, 2 a Fase n 600 n 0 e 600 n 0 e 600 n 600 n 0 Desta forma, se 0, o que corresponde a uma taa de juro arbitrariamente próima de zero, então a prestação mensal será arbitrariamente próima de 600 n empréstimo 600 euros em n parcelas iguais, durante n meses. o que corresponde a pagar o montante do Eame 206, 2 a Fase Página de 5

2 4. Calculando o valor do ite, temos que: ae a a a 2 a 2 aea a a a 2 a 2 a e0 a a a a a a a ae a a a e a a a 2 a 2 a a + a a + a e a a 0 0 Indeterminação fazendo a, temos que se a, então 0 a e a + a a 0 2a 2 2 Resposta: Opção B 5. Como a função é contínua em R, também é contínua em 0, pelo que Temos que 0 f f0 2 + e0+k 2 + e k E calculando 0 + f, vem f0 0 f 2 + ln + 2 ln ln Assim, como f0, vem que 6. Como u n n , então f u n a a + a e a a a ln e k 3 e k 3 2 e k k ln k 0 f + ln + ln Eame 206, a Fase Eame 205, 2 a Fase Graficamente, na figura ao lado, estão representados alguns termos de u n como objetos, e alguns termos da sucessão das imagens fu n, que tendem para zero, quando o valor de n aumenta. fu n 0 u n Eame 205, a fase Página 2 de 5

3 7. Para averiguar se a função f é contínua em 4, temos que verificar se f4 4 f 4 +f f4 ln2e 4 e 4 lne 4 4 ln e 4 4 f ln2e e 4 ln2e 4 e f 4 Como 4 f 4 e e e e e Indeterminação e fazendo 4, temos + 4 e se 4, então 0 e e e e + 3 e 3 e f +f, não eiste f, pelo que a função f não é contínua em Sabemos que f0 ln k Calculando f temos: f 0 e e e 2 Eame 204, a Fase se 2, como 0 então 0 2 e e e Assim, para que 0 f f0, temos que: 3 2 e ln k k e 3 2 Eame 203, Ép. especial Página 3 de 5

4 9. Como a função é contínua, é contínua no seu domínio, logo também é contínua em 0, pelo que Temos que 0 f f0 lnk 0 ln k E calculando, vem 2 + ln Assim, como f0 0 + f, vem que Resposta: Opção B f0 0 f 2e + ln 2e ln 2e ln k 2 k e 2 0. Como a função f g é contínua no ponto de abcissa, temos que f g f g +f g Teste Intermédio 2 o ano f g f g ln g 0 g 0 +f g f g + +f +g ln + +g 0 +g Como em nenhuma das opções + g ±, vem que +f g 0 +g 0 f g f g Calculando f f vem e se, como então 0 f g e0 0 0 Indeterminação f Assim vem que f g f g Como f g f g esta condição é a opção A. e e 0 f g g g +f g, então g 0 e a única opção que verifica Teste Intermédio 2 o ano Página 4 de 5

5 . Temos que 4 f eiste, se Calculando os ites laterais, temos: 4 f 4 +f f ln3 f ln ln Indeterminação se 4 então + 4, como 4 + então 4 + ln3 ln f ln3 + 3 ln3 + ln Assim temos que 4 ln3 + 2 ln f 4 +f, pelo que eiste f 4 Teste Intermédio 2 o ano Temos que f0 e k+ Calculando, vem e 4 e Indeterminação e 4 + e 4 f e Como se pretende que f0, vem e4 e e k+ e k+ + 4 e k+ 5 k + ln 5 k + ln 5 3. Como a função é contínua em R, também é contínua em a, pelo que Pela observação do gráfico da função g, temos que E calculando a f, vem fa a f a + f fa ga a +f a +g 2 f log 3 a a log 3 3 a 3 Como f fa, temos que a log 3 a 2 a a a Eame 202, 2 a Fase a 28 3 a 28 3 Eame 202, a Fase Página 5 de 5

6 4. Para averiguar se a função f é contínua em 2, temos que verificar se f2 2 f 2 +f f2 3e 2 + ln2 3e 2 + ln 3e e 2 2 +f 2 3e + ln 3e 2 + ln2 3e 2 + e 2e 2 2 f 2e2 2e Indeterminação fazendo 2, temos + 2 e se 2, então 0 e 2e 2 + 2e +2 2e 2 + 2e e 2 2e 2 2 f e e 2 + 2e e 2 2e 2 e e 2 + 2e 2 e 0 0 e e 2 2e 2 e + e e 2 + 2e 2 e e e 0 e 2 + 2e 2 e 2 + 2e 2 e 2 + 2e 2 3e 2 0 Como f2 2 + f 2 f, então a função f é contínua em 2 5. Como a função g é contínua para 0, então g0 0 e 2 2 Como g e2 Então, como g0 α, vem que Como g β 0 + Então, como g0 α 2 e, vem que Resposta: Opção B g 0 +g g0 g α 2 0 ln + Teste Intermédio 2 o ano e ln + β β 0 + g0 0 + g 2 β 2 + β 3 β Teste Intermédio 2 o ano Sabendo que f é contínua em, temos que f f, e mais especificamente que f Como f + ln + 0, vamos calcular f k + e Se, então como, logo 0 f para determinar o valor de k : e e k + k + e k k e k 0 Assim, como f é contínua em temos que f k, ou seja k k 0 f Eame 20, Prova especial Página 6 de 5

7 7. Sabendo que f é contínua em, temos que f f Calculando f vem: f + e e Indeterminação fazendo +, temos que se, então 0 + f + e e + 0 e + Assim, como e + e f f e f a + 2, podemos determinar o valor de a: f f a a 2 Eame 20, Ép. especial 8. Para averiguar se a função h é contínua em 0, temos que verificar se h0 0 h 0 + h h0 3 ln ln h 3 ln ln ln ln e 2 e h e0 e Indeterminação e 2 e e + e e e e e e h 0 + e e 0 0 +e Como 0 +h 0 h, então a função h não é contínua em 0 9. Como h 2 0, temos que h 2 0 h 2 0 h 2 Como a função h é par, temos que, para qualquer R, f f e assim, h h + Eame 200, Ép. especial h + Eame 200, 2 a Fase Página 7 de 5

8 20. Calculando 0 e a a 2 + a 2, vem: 0 e a a 2 + a 2 0 e a e a a + a e a 0 a + a 0 a 0 + a fazendo a, temos que se 0, então 0 e a 0 + a a Teste Intermédio 2 o ano Para averiguar se a função f é contínua em 2, temos que verificar se f2 2 +f 2 f f2 2 e e f 2 + e e e f Indeterminação f Como 2 +f 2 f, então a função f não é contínua em 2 Teste Intermédio 2 o ano Como a função h, é definida em R + por operações sucessivas de funções contínuas neste intervalo, então f é contínua para > 0 De forma análoga, temos que h é contínua para < 0, porque é definida, neste intervalo, por operações sucessivas de funções contínuas em R Assim, resta averiguar se a função h é contínua para 0, ou seja, temos que verificar se h0 2 h0 0 + h 0 h 0 +h e 2 h e Indeterminação e h 0 0 e 2 2 fazendo 2, temos que se 0, então 0 e 2 e e Como h2 0 +h 0 h, a função h é contínua em 0, e como é contínua em R e em R +, temos que é contínua em R Eame 2009, 2 a Fase Página 8 de 5

9 23. Calculando Ct temos que: Ct Ct 2te 0,3t 2+ e 0,3+ + e Indeterminação 2t e 0,3t 0,3 2t 0,3 e0,3t fazendo 0,3t, temos que se t +, então + 2 0,3 0,3t e 0,3t 2 0,3 0,3t e 0,3t 2 0,3 + e 2 0,3 + e 2 0,3 e + 2 0, , Como Ct é a concentração do medicamento no sangue e t é o tempo decorrido após o medicamento ter sido ministrado, então Ct 0 significa, que a um período de tempo arbitrariamente grande t +, corresponde uma concentração de 0 mg/l de medicamento no sangue do Fernando, ou seja, com o passar do tempo, o medicamento tende a desaparecer do sangue do Fernando. Eame 2009, a Fase 24. Para averiguar se a função g é contínua em, temos que verificar se g + g g g 2 g 2 + ln ln ln g Indeterminação + +g Como g +g g, então, podemos concluir que a função g é contínua em 25. Como a função é contínua em R, também é contínua em a, pelo que Como e como Então, como a função é contínua, vem que: ga a g a +g ga a +g 2 3 a 2 a + 3 a + a g 2 2 a 2 2a a Teste Intermédio 2 o ano a +g a g a2 a + 3 a 2 2a a + 3 2a 2a a 3 a 3 Teste Intermédio 2 o ano Página 9 de 5

10 26. Como T e 0, e Então sabemos que zero minutos após o início do arrefecimento, ou seja, quando se interrompeu o processo de aquecimento, a temperatura da água era de 73 graus Celsius. Como T t e 0,05 t e 0,05 t e 0,05 t e 0, e Então sabemos que um aumento arbitrariamente grande do tempo corresponde a uma temperatura de 25 graus Celsius, ou seja, com o passar do tempo a água vai arrefecer até aos 25 graus. 27. Calculando N0 temos que: N e 0, e Eame 2008, Ép. especial Como N0 0, então o número de sócios da associação, zero dias após a constituição era de 0, ou seja, a associação foi constituída com 0 sócios. Calculando Nt Nt temos que: e 0,0t e 0, e Como Nt 2000 então, a um aumento arbitrário do valor de t corresponde um valor de N aproimadamente de 2000, ou seja, com o passar do tempo o número de sócios da associação aproima-se indefinidamente de Eame 2008, a Fase 28. Para mostrar que a função f é contínua em 0, temos que mostrar que f0 0 f f ln ln ln ln ln e + f f 0 e Indeterminação e + e e Como f0 0 f, então, podemos concluir que a função f é contínua em Pela observação do gráfico podemos verificar que f < 0 e que 3 garantir que 3 f Assim temos que: Ou seja, que não eiste 3 f Resposta: Opção D < 0 e que 3 + f > 0 3 f 3 + f Teste Intermédio 2 o ano f > 0, pelo que podemos 3 + Eame 2007, 2 a fase Página 0 de 5

11 30. Calculando o valor do ite, temos: Resposta: Opção D Eame 2007, a fase 3. Para averiguar se a função f é contínua em 0, temos que verificar se f0 0 + f 0 f f f ln + f f ln ln Indeterminação ln + ln Como f0 0 f, então, podemos concluir que a função f é contínua em 0 Teste Intermédio 2 o ano Para estudar a continuidade da função g no ponto de abcissa zero, temos que comparar os valores de g0, de g e de g 0 g g e 0 g 0 2 f 0 0 e Indeterminação 2 e 0 2 e Como g0 0 g, então a função g é descontínua à direita de zero e como g0 0 +g, então a função g também é descontínua à esquerda de zero. Resposta: Opção D 33. Pela observação dos gráficos, podemos verificar que: f k, k ]2, + [ + f + E assim, temos que: f + g f + g + k 0 Eame 2006, Ép. especial Eame 2006, 2 a Fase Página de 5

12 34. Como nos primeiros cinco minutos a água esteve a aquecer ao lume, a função que modela a variação da temperatura em função do tempo, é crescente para t ]0,5[. Como o gráfico da função a é parte de uma reta de declive negativo, para t ]0,5[, esta não é a função que modela a situação descrita, porque descreve uma diminuição dos valores da temperatura nos primeiros cinco minutos. Segundo a função b, temos que: b t 5 +ct e 0,04t e 0, e t 5 + Ou seja, como a temperatura varia de forma contínua, e a função b não é contínua para t 5, então, esta função não modela a situação descrita, porque: Segundo a função c, temos que: b5 t 5 + bt c ct e 0,04t e 0, e O que significa que, de acordo com este modelo, a temperatura da água tende, com o passar do tempo, ct não tende a igualar a temperatura ambiente, que é igual à temperatura da água, no instante em que começou a ser aquecida c0. Ou seja, a função c não modela a situação descrita, porque: c0 ct Assim, temos que a função que pode modelar a relação entre a temperatura da água e o tempo t, é a função d Teste Intermédio 2 o ano Sabendo que f é contínua, em particular é contínua em 0, pelo que f0 0 f Fazendo os cálculos, vem que: f0 k + sen 0 k + 0 k 0 f 0 k + sen k + sen 0 k + 0 k ln ln ln Indeterminação 3 ln + ln + ln Assim, como 4 e a função é contínua, temos que f0, ou seja: Resposta: Opção D k Como N < M, então N M < 0, e assim temos que: P t 5,2 0 7 e N Mt Eame 2005, Ép. especial 5,2 0 7 en Mt 5,2 0 7 e N M + 5,2 0 7 e 5, Assim temos que, se N < M então P t 0, o que, no conteto do problema, significa que se a taa de natalidade for menor que a taa de mortalidade, para valores arbitrariamente grandes do tempo a população das aves tende para zero, ou seja, se nascem menos aves do que as que morrem, com o passar do tempo a população das aves tende a etinguir-se. Eame 2005, a Fase Página 2 de 5

13 37. Como a função f é contínua no intervalo ],0[, porque resulta de operações entre funções contínuas neste intervalo, e o denominador não se anula para os valores de deste intervalo; e também é contínua no intervalo ]0, + [, porque também resulta de operações entre funções contínuas neste intervalo, e o denominador não se anula para os valores de deste intervalo; resta averiguar a continuidade para 0 Para averiguar se a função f é contínua em 0, temos que verificar se f0 0 f f e f Como f0 0 f, então, podemos concluir que a função f é contínua em 0. Como f também é contínua em R e em R, então a função f é contínua em R.. Eame 2004, Ép. especial 38. Sabendo que g é contínua, em particular é contínua em 0, pelo que g0 0 g 0 + g Fazendo os cálculos, vem que: g0 k + cos 0 k + 0 g 0 k + cos k + cos 0 k + ln + 0 +g ln ln Indeterminação ln + 0 +g Assim, como 0 +g e a função é contínua, temos que: g0 0 +g, pelo que podemos calcular o valor de k: g0 0 +g k + k 0 Resposta: Opção B Eame 2004, a Fase 39. Como a função f é par e a reta de equação 0 é assintota do seu gráfico, então, como a observação do gráfico sugere, temos que: f 0+ E assim, vem que: Resposta: Opção C f f Eame 2004, a Fase 40. Aplicando as propriedades dos logaritmos e calculando o valor do ite, temos: f ln ln + + ln ln ln + 2 ln + 2 ln + ln ln 0 + Eame 2003, Prova para militares Página 3 de 5

14 4. Calculando o valor do ite, temos que: Resposta: Opção C log e log e Eame 2003, a fase - 2 a chamada 42. Sabendo que f é contínua, em particular é contínua em t 60, pelo que f60 60 ft 60 +ft, e mais especificamente f60 60 ft Fazendo os cálculos, vem que: f A 2 0, A 2 0, A A 6 + A t 60 ft ,05t , t Assim, como 60 ft f60, podemos provar que A 24: f60 ft 6 + A 30 A 30 6 A Eame 200, Prova para militares 43. Sabendo que f é contínua, em particular é contínua em 0, pelo que 0 f f0 Fazendo os cálculos, vem que: f0 0 0 f 0 f ln + k ln0 + k ln k 0 + Assim, como valor de k: Resposta: Opção C ln k e como a função é contínua, ou seja f0, podemos calcular o f0 ln k 0 k e0 k Eame 200, 2 a Fase 44. Para estudar a continuidade da função h no ponto de abcissa zero, temos que comparar os valores de h0, de 0 +h e de 0 h h0 2 0 h + e + e h Como h0 0 h 0 + h, então a função h é contínua no ponto de abcissa zero. Eame 200, a fase - 2 a chamada Página 4 de 5

15 45. Pela observação do gráfico, podemos verificar que a função f é contínua à esquerda do ponto de abcissa 4, e descontínua à direita, ou seja: Resposta: Opção B 4 4 f f4 e f f4 + Eame 2000, a fase - 2 a chamada 46. Pela observação do gráfico, podemos verificar que: 3 f 0+ 3 g k, k R+ E assim, calculando o valor do ite, temos que: Resposta: Opção D g 3 f 3 g 3 f k 0 + k>0 + Eame 999, a fase - 2 a chamada prog. antigo Página 5 de 5