O que temos neste Caderno Pedagógico

Transcrição

1

2 EDUARDO PAES PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO CLAUDIA COSTIN SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO REGINA HELENA DINIZ BOMENY SUBSECRETARIA DE ENSINO MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO MARIA DE FÁTIMA CUNHA ELISABETE GOMES BARBOSA ALVES COORDENADORIA TÉCNICA ANDERSON DE OLIVEIRA MELO SILVA SILVIA MARIA COUTO ELABORAÇÃO FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA LEILA CUNHA DE OLIVEIRA SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO FÁBIO DA SILVA MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO EDIOURO GRÁFICA E EDITORA LTDA. ACABAMENTO E IMPRESSÃO O que temos neste Caderno Pedagógico Função polinomial do 2.º grau (Função quadrática) Zeros da função polinomial do 2.º grau Gráfico da função polinomial do 2.º grau Esboço de Gráfico Círculo e Circunferência Comprimento da Circunferência Área do Círculo

3 - ² = 0 Um dos assuntos estudados, no 3.º bimestre, foi a Equação do 2.º grau. Você lembra o que é uma equação do 2.º grau? Lembra-se de sua forma? De como encontrar suas raízes? Quanto às raízes, você, com certeza, se lembra de como encontrá-las! Lembre-se de que a epressão que leva até as raízes tem o nome do matemático que, supostamente, a desenvolveu: Bhaskara! Então, vamos começar esse bimestre relembrando esse assunto! A equação do 2.º grau é toda equação, de uma só incógnita, cujo maior epoente é igual a 2. Assim, ela possui uma forma geral: 8² - 9 = 0 Fórmula de Bhaskara = - b ± b² - 4ac 2a AGORA, É COM VOCÊ!!! 1 Encontre as raízes das equações: a) 3² = 0 a² + b + c = 0, com a 0 Como essa é uma forma geral, temos que é a variável da equação e que a, b e c são números reais chamados coeficientes. MULTIRIO 2² = 0 Observe alguns eemplos: Equação do 2.º grau 2

4 d) ² = 0 c) ² = 0 d) 4² + 2 = 0 b) 7² 6 + 1= 0 3 Equação do 2.º grau

5 Nesse bimestre, estudaremos a função polinomial do 2.º grau, também conhecida como função quadrática. Como você já sabe, uma função é definida por três elementos fundamentais: domínio, contradomínio e lei de correspondência. No caso da função quadrática, temos uma função que, a cada polinômio a² + b + c, associa elementos do domínio a elementos do contradomínio. Observe o eemplo: Conjunto A (Domínio) LEI DE ASSOCIAÇÃO (f:a B) y = ² (-1)² + 2.(-1) 3-1 0² (0,5)² + 2.(0,5) 3 0,5 Conjunto B (Contradomínio) ,75 Observe alguns eemplos. Abaio, estão relacionadas algumas funções polinomiais do 2.º grau e a identificação dos respectivos coeficientes do trinômio do 2.º grau em. y = 2² a=2 b = -3 c=5 y = 4 ² + 9 a=-1 b=4 c=9 y = 3² + 6 a=3 b=6 c=0 y = -4² + 1 a =-4 b=0 c=1 y = ² a=1 b=0 c=0 Função polinomial do 2.º grau MULTIRIO MULTIRIO MULTIRIO Tudo bem? No bimestre passado, você estudou função e, em particular, a função do 1.º grau. É comum definirmos uma função polinomial do 2.º grau como toda função do tipo y = a² + b + c ou f() = a² + b + c na qual os termos a, b e c são números reais conhecidos como coeficientes da equação, sendo a 0. 4

6 c) f 1 2 Ao definirmos a equação do 2.º grau, foi dito que os termos a, b e c são números reais e a 0. Mas, por que o coeficiente a tem que ser diferente de zero? d) f(2) AGORA, É COM VOCÊ!!! MULTIRIO 1 A partir da função f() = ² 2 + 1, determine: a) f(0) b) f(-2) 5 e) f(0,1) f) (0,5) Função polinomial do 2.º grau

7 b) f() = 2² , tem f() = 4? 2 Quais são os valores de para os quais a função a) f() = ² , tem f() = - 5? Função polinomial do 2.º grau 6

8 Estudaremos o conceito de zero da função do 2.º grau. E você, sabe o que é zero da função? O zero da função do 2.º grau é o valor assumido pela variável na qual teremos f() = 0. Assim, para o zero da função, teremos: f() = a² + b + c Como as raízes da equação associada são iguais a 5 e a 1, temos que os zeros da função são: f(5) e f( 1), ou seja, para = 5 e = 1, a função tem imagem igual a zero. Observe as verificações: MULTIRIO MULTIRIO =0 Então, a² + b + c = 0 f() = ² 4 5 f(5) = 5² A epressão acima você já conhece! É uma equação do 2.º grau. Então, os zeros da função são as raízes da equação do 2.º grau associada à função. Observe um eemplo. Vamos determinar os zeros da função f() = ² 4 5 Assim, para encontrarmos os zeros da função, basta escrevermos a equação do 2.º grau associada a essa função e resolvê-la. Observe: equação associada 7 ² 4 5 = 0 Resolvendo a equação: = b² 4ac = ( 4)² 4.1.( 5) = = 36 e f( 1) = ( 1)² 4.( 1) - 5 f(5) = f( 1) = f(5) = 5 5 f( 1) = 5 5 f(5) = 0 f( 1) = 0 AGORA, É COM VOCÊ!!! Encontre os zeros das funções: a) f() = 3² 4 b) f() = 2² + 1 c) f() = ² Zeros da função polinomial do 2.º grau

9 AGORA, É COM VOCÊ!!! b) f() = 2² + 1 Utilize este espaço: a) f() = 3² 4 c) f() = ²

10 A localização dos pares da tabela está no plano abaio. y Uma outra forma de representação das funções é através da construção de seu gráfico. Você estudará que o gráfico da função polinomial do 2.º grau possui uma regularidade que permite descrever a sua forma para qualquer lei de associação. ( 2; 4) Para você entender, vamos construir o gráfico de uma função bem simples: f() = ². O gráfico de qualquer função é construído a partir dos pares de pontos (formados por um elemento do domínio e por sua respectiva imagem), que são localizados no plano cartesiano. Agora, escolheremos alguns valores do domínio () e calcularemos as suas respectivas imagens f(). Em seguida, vamos construir uma tabela com os pares encontrados. f() = ² 2 1,5 1 f () 4 9 2,25 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 0,25 0 0,25 1 2,25 4 ( 1,5; 2,25) ( 1; 1) (2; 4) (1,5; 2,25) (1; 1) (0,5; 0,25) (0; 0) ( 0,5; 0,25) Observando o gráfico, percebe-se que à medida que se aproima de zero, sua imagem também se aproima de zero. E, à medida que se afasta de zero, sua imagem também se afasta de zero. A forma observada no gráfico tem o nome de parábola e é a forma presente no gráfico de qualquer função polinomial do 2.º grau. Gráfico da função polinomial do 2.º grau

11 Ao construirmos o gráfico da função f() = -², podemos observar que também é uma parábola, porém invertida. Vamos, agora, construir o gráfico da função f() = -² e observar suas características. Preencha a tabela. f() = - ² 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 Verificamos, nesses eemplos, um elemento importante da parábola: a concavidade, que é a abertura da parábola. Observe: 2 f () f() = ² A localização dos pares da tabela está no plano cartesiano abaio. f() = ² concavidade y (0; 0) (0,5; 0,25) (1; 1) ( 1; 1) ( 0,5; 0,25) ( 2; 4) (1,5; 2,25) concavidade Agora, tente completar as conclusões na próima página. ( 1,5; 2,25) (2; 4) Gráfico da função polinomial do 2.º grau 10

12 1- Para f() = ² temos: a =, que é um número (positivo/negativo) e a parábola tem concavidade (para cima/para baio). 2- Para f() = ² temos: a =, que é um número (positivo/negativo) e a parábola tem concavidade (para cima/ para baio). a<0 a>0 Outra questão importante é saber quantas vezes a parábola interceptará o eio das abscissas. Vamos investigar? Considere a função f() = ² Preencha a tabela abaio e, em seguida, vamos à construção gráfica. f() = ² f() 1 0 y Agora, responda a estas perguntas. a) Quantas vezes a parábola passa pelo eio das abscissas? b) Qual a equação do 2.º grau associada a essa função? c) Quantas raízes possui essa equação? d) O que determina a quantidade de raízes dessa equação? Gráfico da função polinomial do 2.º grau

13 Utilize o espaço abaio para encontrar os zeros dessa função. Você pôde notar que, se a equação associada a uma função do 2.º grau tiver duas raízes, a parábola interceptará duas vezes o eio das abscissas. Δ>0ea>0 Δ>0ea<0 1- Quantos zeros possui essa função? 2- Então, o que determina a quantidade de vezes em que a parábola passa pelo eio das abscissas? Você pode, por analogia, concluir as demais posições da parábola em relação ao eio das abscissas. Gráfico da função polinomial do 2.º grau 12

14 Vamos concluir as demais posições da parábola em relação ao eio das abscissas. Para isso, responda às perguntas e complete os espaços. Então, se a equação associada tiver uma única raiz, isto é, a função terá zero(s) e, por consequência, a parábola passará pelo eio das abscissas. Δ=0ea>0 13 Finalmente, se a equação associada não tiver uma raiz, isto é, a função terá zero(s) e, por consequência, a parábola interceptará o eio das abscissas. Δ<0ea>0 Δ<0ea<0 Δ=0ea<0 Gráfico da função polinomial do 2.º grau

15 AGORA, É COM VOCÊ a<0 >0 1- O gráfico de cada uma das funções abaio é uma parábola. Marque as funções cujas parábolas possuem concavidade voltada para baio: ( ) y = 5² ( ) y = 2² 3 3 ( ) y = ² 6 ( ) y = ² + 9 ( ) y = 9² 2- Abaio, estão os gráficos de funções polinomiais do 2.º grau. Em cada caso, responda se a > 0 ou a < 0 e se > 0, = 0 ou < 0.. a) c) b) d) =0 a>0!!! <0 14

16 A parábola é uma curva bem interessante. Observe, por eemplo, a parábola da função f() = ² ,25 1 2,25 0, , ,5-1 -0,5 0 De = -2 a = 0, percebe-se que os valores de f() diminuem. Pelo fato de os valores de f() diminuírem, à medida que aumenta, dizemos que a função f() é decrescente nesse intervalo. 0,5 1 1,5 2 Para a função f() = ², f() = 0 é o menor valor da função. Assim, dizemos que esse é o valor mínimo dessa função. Na próima página, veremos outro ponto interessante: o valor máimo da função. Sendo assim, f() será crescente quando, à medida que aumentar, f() também aumentará. Observe a figura representativa a seguir. 15 Valor máimo e valor mínimo

17 MULTIRIO Lembra-se do gráfico da função f() = - ²? Observando o gráfico da função f() = ² , é possível perceber que seu ponto de valor mínimo é f() = -1 e que ocorre em = 2. y (0; 0) (0,5; 0,25) ( 0,5; 0,25) (1; 1) ( 1; 1) ( 2; 4) (1,5; 2,25) y (5; 8) ( 1; 8) (0; 3) (4; 3) (1; 0) (3; 0) (2; 4) Você pode observar que a função é crescente antes de = 0 e, em seguida, decrescente. Essa função tem, ainda, como seu maior valor, f() = 0. A esse maior valor, chamamos valor máimo da função. Na parábola, tanto o ponto de máimo quanto o ponto de mínimo é conhecido como vértice. Esses pontos possuem epressões próprias para encontrar suas coordenadas. (2; 1) Vértice Coordenada do vértice (v): 2 Coordenada y do vértice (yv): -1 ( 1,5; 2,25) Note: f() = ² f() = 2² f() = f() = 1 (mínimo da função) Valor máimo e valor mínimo 16

18 Para encontrar a coordenada y do vértice (yv), basta substituir a coordenada do vértice (v) na função! O valor máimo ou valor mínimo da função ocorre na abscissa. E a coordenada do vértice é dada pela epressão: v = _ b_ 2a v = _ b 2a b=-4 v = _ b = _ ( 4) = 4 = 2 2a A abscissa do vértice será o ponto médio das abscissas dos zeros da 1 2 função quadrática, ou seja, v. 2 Como os zeros são 1 = 4 e 2 = 0 = a > 0: a função tem valor mínimo MULTIRIO MULTIRIO Então, na função f() = ² , temos: a=1 Uma forma de verificar se, nessa abscissa, a função terá um valor máimo ou um valor mínimo é verificando sua concavidade. a < 0: a função tem valor máimo =2 E para encontrarmos o valor máimo, ou o valor mínimo, basta substituir = 2 na função. 17 f(2) = 2² f(2) = f(2) = 1 (mínimo da função) Valor máimo e valor mínimo

19 AGORA, É COM VOCÊ!!! c)f() = 3² O gráfico de cada uma das funções abaio é uma parábola. Para cada uma, determine o valor máimo ou o valor mínimo de cada função. a) f() = ² 16 b) f() = 2² 2 1 d) f() = 5² 6 18

20 Agora que aprendemos bastante sobre a função quadrática e seu gráfico, está na hora de realizarmos a sua construção, o seu esboço. Para isso, precisamos: - verificar a concavidade da parábola através do sinal de a; - localizar os zeros da função (se houver); - localizar as coordenadas do vértice; - localizar f(0), que é o ponto em que a parábola intercepta o eio y. Como eemplo, vamos esboçar o gráfico da função f() = ² Primeiro, encontre os zeros da função (se houver). São os zeros da função: 19 Esboço de gráfico

21 Agora, encontre as coordenadas do vértice da função: y f() = ² No plano cartesiano, localize os zeros da função, as coordenadas do vértice e o ponto correspondente a f(0), que é o ponto c da equação do 2.º grau associada à função. Após localizar todos esses pontos, trace a parábola e não esqueça que, nessa função, a = 1 é um número real positivo e, portanto, sua parábola estará voltada para cima. Então, as coordenadas do vértice são 20

22 AGORA, É COM VOCÊ!!! 1 - Construa o gráfico das funções: y a) f() = ²

23 b) f() = ² 2 1 y 22

24 CÍRCULO e CIRCUNFERÊNCIA. Você sabe qual a diferença entre CÍRCULO e CIRCUNFERÊNCIA? Circunferência é uma curva em que todos os seus pontos estão à mesma distância de um ponto fio, denominado CENTRO. Observe: M N B C O L K A J I H D planetadosadolescentes.blogspot.com s/id_1490-how-to-draw-a-teddybear.html Vamos estudar dois elementos matemáticos muito importantes: Círculo é a região plana delimitada por uma circunferência. M J C I H D E G F FIQUE LIGADO!!! E G F Para você entender bem o que é círculo e o que é circunferência, observe estes objetos: aliança e moeda. FIQUE LIGADO!!! 23 B O L K A N Os pontos A, B, C, D,..., N estão à mesma distância do ponto O. Então, chamamos o ponto O de centro e a distância de cada um desses pontos até o ponto O de raio. O aro de metal que forma a aliança é um eemplo de representação de uma circunferência e a moeda, a representação de um círculo. Círculo e circunferência

25 Agora que você já entendeu a diferença entre círculo e circunferência, e já sabe o que é raio, está na hora de conhecer outro elemento da circunferência: a corda. AGORA, É COM VOCÊ e são raios.,, e. A b) O diâmetro é o segmento. c) Se AO mede 4 cm, OB mede cm. A C D B d) Se o raio AO mede 4 cm, o diâmetro mede cm. e) A maior corda de uma circunferência é o seu. 4- O diâmetro de uma circunferência é do raio.!!! 1- Quais os segmentos que são cordas na circunferência ao lado? O a) Na circunferência ao lado, G F H B O A E 5- No centro de um lago circular, de raio de 35 m, será construída uma ponte. Qual deve ser o comprimento mínimo da ponte?. As cordas são segmentos de reta cujas etremidades pertencem à circunferência. A maior corda chama-se diâmetro: é uma corda que passa pelo centro da circunferência. B 3- Complete: C D 2- Qual das cordas apresentadas acima pode ser chamada de diâmetro? Círculo e circunferência 24

26 AGORA, É COM VOCÊ Uma medida importante da circunferência é a medida de seu comprimento. Ainda sobre a circunferência: a razão entre o seu comprimento (C) e o seu diâmetro (d) é igual a um número irracional conhecido como π, cujo valor, aproimado, é: 3, C d Mas como d = 2r, então, C 25 π = 2r Assim: 1- Qual o comprimento de uma circunferência que possui 3 cm de raio? (considere π = 3,14) 2- Uma praça circular tem um raio de 20 m. Se uma pessoa der 5 voltas nessa praça, que distância terá percorrido? (considere π = 3,14) Uma maneira bem simples de encontrar o comprimento de uma circunferência, em um objeto: basta envolvê-lo com uma fita métrica e verificar sua medida. Observe a figura ao lado. π=!!! C=2πr 3- Um satélite está em órbita a km em relação ao centro da Terra. Qual a distância que ele percorre ao dar uma volta completa ao redor da Terra? (considere π = 3,14)

27 4- Este é um lago circular que tem 360 m de diâmetro. Imaginemos que polígonos regulares podem ter infinitos lados. Observe, a partir da figura abaio, o que acontece quando a quantidade de lados de um polígono regular inscrito em uma circunferência aumenta infinitamente. Qual é o comprimento desse lago? (Considere π = 3,14) LEGENDA 5- Uma pista de atletismo circular possui comprimento igual a 376,80 m. Qual a distância que uma pessoa percorre ao atravessar essa pista, passando pelo seu centro? (considere π = 3,14)? Clip-art Os segmentos de reta que partem do centro da circunferência e que seguem até o vértice do polígono são os raios do círculo. No polígono regular, formam-se triângulos isósceles. Assim, com base no cálculo da área de um triângulo dentro do polígono regular de n lados, teremos: a.h A n. 2 Sendo a.h a área de cada triângulo e n.a o perímetro 2 do polígono, observe: a = lado do polígono r = raio do círculo h = altura do triângulo A = área do polígono 26

28 Como os lados do polígono foram considerados infinitos, teremos h = r. O perímetro do polígono será igual ao comprimento da circunferência e a área do polígono igual à área do círculo. a.h 2 h A n.a Uma praça circular com 200 m de raio foi gramada. A empresa cobrou R$ 26,00 pelo metro quadrado de grama colocado. A n. A 2.r. r 2 forum.autohoje.com A.r 2 AGORA, É COM VOCÊ Qual foi o preço pago para gramar toda a praça?!!! (Considere = 3,14) 1- Qual a área de um círculo com 3 cm de raio? 2- Qual o raio de um círculo com área de 50,24 mm²? 27

29 AGORA, É COM VOCÊ!!! 1- Considere a equação abaio: 3² = 0 2- As raízes da equação 3² = 6 são (A) 0 e 2. (B) -2 e 0. (C) -2 e 2. (D) -3 e 3. As raízes da equação são 2 e 3. Essa afirmação (A) está correta. (B) não está correta, pois somente -3 é raiz dessa equação. (D) não está correta, pois nenhum desses números é raiz dessa equação. 3- Assinale a equação cujas raízes são 3 e -5. (A) ² = 0. (B) ² = 0. (C) ² = 0. (C) não está correta, pois somente -2 é raiz dessa equação. (D) ² = 0. 28

30 4- Os zeros da função y = 3² são (A) = 1 e = (C) = e = (D) = -1 e =. 3 (B) = 1 e = 6- Observe a equação do 2. grau abaio. 3y² - 6y + 3 = 0 Podemos afirmar que as raízes dessa equação (A) são números reais e iguais. (B) são números reais e diferentes. (C) não são reais. 5- Ao traçar o gráfico da função definida por y = ² + 2 8, as coordenadas do ponto do vértice da parábola são (A) ( 2, 4 ). (B) ( 1, 9 ). (C) ( 2, 4 ). (D) ( 1, 9 ). 29 (D) são números reais negativos.

31 7- Observe a circunferência abaio. A P O C B Podemos afirmar que 9- Considerando = 3,14 e sabendo que a medida da circunferência é 62,8 cm, (A) a medida de AB é o dobro da medida do raio dessa circunferência. r O (B) OB é uma corda da circunferência. (C) PB é um diâmetro da circunferência. 8- Márcia caminha diariamente em torno de uma praça circular, com 10 m de raio. Considerando π = 3,1, quantas voltas ela deve dar, em torno da praça, no mínimo, para caminhar mais de 700 m? a medida do raio é (A) 20 cm. (B) 10 cm. (C) 5 cm. (D) OC é um raio da circunferência. (D) 2,5 cm. (A) 6 voltas. (B) 12 voltas. (C) 18 voltas. (D) 24 voltas. 30

32