Ou seja, D(f) = IR e Im(f) IR.

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICAS INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA-CAMPUS ITAJAÍ Profª Roberta Nara Sodré de Souza Função Quadrática Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f() = a + b + c, onde a, b e c são números reais e a 0 ejamos alguns eemplos de função quadráticas: f() = 3-4 +, onde a = 3, b = - 4 e c = f() = -, onde a =, b = 0 e c = - 3 f() = + 3 +, onde a =, b = 3 e c = 4 f() = - + 8, onde a = -, b = 8 e c = 0 f() = -4, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 Gráfico da função quadrática: O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é um subconjunto dos números reais Ou seja, D(f) = IR e Im(f) IR Eemplo: amos construir o gráfico da função y = + : Primeiro atribuímos a alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos y Observação: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = a + b + c, notaremos sempre que: se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baio; Zero e Equação do º Grau Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do º grau f() = a + b + c, a 0, os números reais tais que f() = 0 Então as raízes da função f() = a + b + c são as soluções da equação do º grau a + b + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

2 Temos: Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado discriminante, a saber: quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais); quando é negativo, não há raiz real értice da Parábola: Toda parábola tem um ponto de ordenada máima ou um ponto de ordenada mínima A esse ponto chamaremos vértice da parábola e o representaremos por ( v,y v) onde: v b a 4a e y v Assim: b, a 4a Observação: De acordo com o valor de a na função f() = a + b + c, as ordenadas do vértice recebem as denominações de valor máimo ou valor mínimo Este conceito é importante na resolução de eercícios onde os resultados são os maiores ou os menores possíveis ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Determinar o sinal de uma função do º grau: f(): a + b + c (a, b e c reais com a diferente de 0 (zero)) são estudados por meio de análises do coeficiente a e de delta Quando f() >0, f() = 0 ou f() < 0

3 º Iguala a função a zero, e calcule-se as raízes ou zeros da função º Marca na reta numérica as raízes encontrada 3º Fora das raízes tem o mesmo sinal do coeficiente de a E dentro, isto é, entre as raízes a função terá sinal contrário ao coeficiente de a Eemplos ) Estude o sinal da função: y= 7 + Igualando a função a zero: 7 + = 0 Estudo dos sinais: Solução: Se <3 ou >4, então f()>0 se 3 < < 4, então f() <0 se =3 ou =4, então f()=0 ) Estude o sinal da função: y= Igualando a função a zero: = 0 Resolvendo a equação: Estudo dos sinais: Solução f()=0 para = - ou = 6 f() > 0 para < - ou > 6 f() < 0 para - < < 4 Inequações º grau São epressões matemáticas que apresentam os sinais de maior (>), maior ou igual ( ), menor (< ), menor ou igual ( ) e diferente ( ) ao invés do sinal de igualdade que caracteriza as equações Devem ser resolvidas usando a fórmula de Bháskara e comparando o resultado com o sinal da inequação, formulando assim, o resultado da inequaçãoex: Calcule a solução da inequação ² > 0 E3: S = { Є R }

4 Lista de Eercícios Construa um esboço dos gráficos das funções quadráticas a seguir e indique o domínio e a imagem: a) f() = b) f() = c) f() = d) f() = e) f() = + 8 f) f() = Solução Para o esboço identifica-se: f() = 0 (zeros da função), f(0) (intersecção com o eio Y) e as coordenadas do vértice a) f() 4 6 4()(3) 4 f() : f(0) (0) 4(0) 3 3 b ( 4) 4 ; ; ; a 4a () 4() 3 D(f) IR IM(f) [, [ b) f() ()(8) 6 f() : f(0) (0) 6(0) 8 8 b ( 6) 4 ; ; 3; a 4a () 4() 4 D(f) IR IM(f) [, [ c) f() 4 4( )(3) 4 f() 0 3 D(f) IR 3 : f(0) (0) (0) 3 3 IM(f) ], 4] b () 6 ; ; ; 4 a 4a ( ) 4( ) d) f() 0 f() 0 ( ) 0 D(f) IR : f(0) (0) (0) 0 IM(f) [, [ b ( ) 4 ; ; ; a 4a () 4()

5 e) f() 0 f() 0 ( 8) : f(0) (0) 8(0) 0 b (8) 64 ; ; a 4a ( ) 4( ) D(f) IR IM(f) ],6] 4;6 f) f() f() : f(0) (0) 0 b (0) ; ; a 4a ( ) ) 0 4( D(f) IR IM(f) ], 0] 0;0 A função f() = a + b + c passa pela origem Sabendo que f( ) = 0, calcule o valor de a abc b ab? Solução Se o gráfico de f() passa pela origem, f(0) = 0 Utilizando a informação que f( ) = 0 vem: i) f(0) ii) f( ) 0 a( ) a iii) 0 a(0) abc b ab b(0) c 0 c 0 a b( ) 0 4a b 0 b 4a b a a(a)(0) (a) a(a) a 4a a a a 3 (ANGLO) O vértice da parábola y = 4 + é o ponto: (a 0) a) (,) b), c) (-,) d) 3 Solução Utilizando as fórmulas das coordenadas do vértice, temos:, e) (,3) f() b ( 4) [( 4) 4()()] [6 40] [ 4] 4 ; ; ; ; ;3 a 4a () 4() (ANGLO) A função f() = k tem o valor mínimo igual a 8 O valor de k é: a) 8 b) 0 c) d) 4 e) 6 Solução O valor mínimo da função é a ordenada do vértice Igualando o valor à fórmula, temos: f() 4 k [( 4) 4()(k)] k 3 4k 6 3 k 8 4() 4 4a (ANGLO) Se o vértice da parábola dada por y = 4 + m é o ponto (,), então o valor de m é: a) 0 b) c) - d) 9 e) - 9 Solução A ordenada do vértice vale Temos:

6 f() 4 m [( 4) 4()(m)] k 0 4k 6 0 k 9 4() 4 4a 6 (ANGLO) A parábola definida por y = + m + 9 será tangente aos eios das abscissas se, e somente se: a) m = 6 ou m = - 6 b) - 6< m < 6 c) 6 m 6 d) m 6 e) m 6 Solução O gráfico da parábola tangencia o eio das abscissas quando suas raízes são reais e iguais Isso ocorre se = 0 () m 9 (m) b 4ac 0 f 4()(9) 0 m m m 6 7 (ANGLO) Considere a parábola de equação y = 4 + m Para que a abscissa e a ordenada do vértice dessa parábola sejam iguais, então m deve ser igual a: a) -4 b) -0 c) d) 4 e) 6 Solução Igualando as epressões indicadas, temos: f() 4 m b ( 4) a () [6 4m] m 8 m m 6 [( 4) 4()(m)] [6 4m] y 4a 4() 4 8 (FATEC) A distância do vértice da parábola y = ao eio das abscissas é: a) b) 4 c) 8 d) 7 e) 34 Solução A distância será a diferença (positiva) entre a ordenada do vértice e o eio X f() D = - = (8) [(8) 8 7 ; ( ) 4( )( 7)] [64 68] [ 4] 4; 4; 4( ) 4 4 4; 9 (FUEST) Os pontos (0, 0) e (, ) estão no gráfico de uma função quadrática f O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa = - /4 Logo, o valor de f() é: a) /0 b) /0 c) 3/0 d) 4/0 e) /0 Solução De acordo com as informações, temos que f(0) = 0 e f() = Substituindo na epressão da função e utilizando o valor do mínimo, temos:

7 f() a b c : f(0) 0 a(0) b(0) c 0 c 0 i) f() a() b() 4a b 4(b) b 0b b b 4b a a b 4 a 4 ii) f() 0 () f() () Logo, a 0 0 (UEL) A função real f, de variável real, dada por f() = ² + + 0, tem um valor: 0 a) mínimo igual a -6, para = 6 b) mínimo igual a 6, para = - c) máimo igual a 6, para = 6 d) máimo igual a 7, para = e) máimo igual a 40, para = 0 Solução O coeficiente de é negativo Encontrando as coordenadas do vértice (máimo), temos: f() () [() 4( )(0)] [44 80] [4] 0 ; 6; 6; 6;6 ( ) 4( ) 4 4 (UFMG) Nessa figura está representada a parábola de vértice, gráfico da função de segundo grau cuja epressão é: a) y b) y 0 c) y 0 d) y 0 e) y 0 Solução O gráfico passa pela origem (0,0) Logo, c = 0 Identifica-se ainda que f() = (vértice da parábola) Organizando essas informações, vem: f() a b c : f(0) 0 a(0) b(0) c 0 c 0 i) f() a() b() a b a ( 0a) a a Logo, b 0 b b 0a b 0a a ii) f() (UFPE) O gráfico da função y = a² + b + c é a parábola da figura a seguir Os valores de a, b e c são respectivamente: a), - 6 e 0 b) -, 30 e 0 c) -, 3 e 0 d) -, 6 e 0 e) -, 9 e 0 Solução O gráfico passa pela origem (0,0) Logo, c = 0 Identifica-se ainda que f(3) = 9 (vértice da parábola) Organizando essas informações, vem:

8 f() a b c : f(0) 0 a(0) b(0) c 0 c 0 9 i) f(3) 9 a(3) b(3) 9 9a 3b 9 9a 3( 6a) 9 9a 9 a 9 b 3 3 b 6a b 6a a Logo, b (UFMG) A função f() do segundo grau tem raízes 3 e A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(), é igual a 8 A única afirmativa ERDADEIRA sobre f() é: a) f()= ( )(+3) b) f() = ( )(+3) c) f() = (+)(-3) d) f() = ( )(+3) e) f() = (+)( 3) Solução De acordo com as informações, temos que f( 3) = 0 e f() = 0 A abscissa do vértice é a média aritmética das raízes quando elas são reais e diferentes Logo, ( 3) e f( ) = 8 Substituindo na epressão da função e utilizando o valor do mínimo, temos: f() a f( 3) 0 a( 3) b( 3) c 0 9a 3b c 0 9a 3b c 0 9a 3b c 0 i) f() 0 a() b() c 0 a b c 0 ( ) a b c 0 b 8 b f( ) 8 a( ) b( ) c 8 a b c 8 a b c 8 ii) iii) 9a f() b c : b ( 4) 4 a 4 a a a 3b c 0 9( ) 3( 4) c 0 c ( 3) ( 3)( ) 8 4 Solução A função quadrática também pode ser epressa como f() = a( r )( r ), onde r e r são os zeros (raízes) da função No caso, temos: i) y ii) f() r r 8 a 3 f( ) 8 a( 3)( ) 8 a()( ) 8 4a 8 a r r ( ( 3))( ) a( 3)( ) 4 (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto A equação da reta r é: a) y = - + b) y = + c) y = + d) y = + e) y = Solução De acordo com o gráfico, f( ) = f(3) = 0 e f(0) = 3 Logo, c = 3 Encontrando a epressão da função quadrática e o vértice, temos:

9 f() a f( ) 0 a( ) b( ) 3 0 a b 3 0 a b 3 (3) 3a 3b 9 i) f(3) 0 a(3) b(3) 3 0 9a 3b 3 0 9a 3b 3 9a 3b 3 a a Logo, ( ) b 3 b 3 b ii) f() b 3 [4 4( )(3)] 3 ; ; 4 ( ) 4( ) A reta pedida é a representação da função afim f() = a + b, passando por (,0) e (,4) f() a b 0 a( ) b a b 0 a b i) a a 4 a 4 a Logo, b 4 a() b a b 4 ii) Equação(reta) f() ou y (UFMG) O intervalo no qual a função f() = é crescente é: a) < b) < < c) > d) > 3 Solução Para analisar os intervalos de crescimento, basta verificar a concavidade da parábola e identificar a abscissa do vértice f() 6 ( 6) 3 () O coeficiente de é positivo Logo f() é crescente no intervalo [3, [ 6 (PUC) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de R$760,00 Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$,0 no preço de inscrição, receberia 0 participantes a menos Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço unitário, em reais, da inscrição em tal evento deve ser: a),00 b) 4,0 c) 3,7 d) 37,0 e) 4,0 Solução Descrevendo a situação na tabela até uma generalização, temos: Número de participantes Preço do ingresso (R$) Arrecadação (R$) (6) 460 (0) 6 + (,0) (460 0)( 6 + (,0)) 460 (0) 6 + (,0) (460 0)( 6 + (,0)) 460 3(0) 6 + 3(,0) (460 30)( 6 + 3(,0)) 460 (0) 6 + (,0) (460 0)( 6 + (,0)) A epressão, então da arrecadação é:

10 A() = (460 0)(6 +,0) = = Uma função quadrática A maior arrecadação ocorrerá com máimo número de aumentos dados Esse valor corresponde à abscissa do vértice da função: b (630) (630) a ( ) ( 30) Com aumentos de R$,0 o preço do ingresso será: P = 6 + (,0) = 6 +3,0 = R$37,0 7 (PUC) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de certo produto é 0, sendo o preço de venda e 0 o preço de custo A quantidade vendida, a cada mês, depende do preço de venda e é, aproimadamente, igual a 70 Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproimadamente, uma função quadrática de, cujo valor máimo, na unidade monetária usada, é: a) 00 b) 000 c) 900 d) 800 e) 600 Solução De acordo com as informações, o custo total da produção é C() = 0(70 ), pois 0 é o preço unitário e (70 ) a quantidade produzida O total obtido pela venda do produto será () = (70 ) Sendo o lucro a diferença entre o valor arrecadado na venda e o custo, temos: L() L(máimo) y [6400 4( )( 700)] [ ] a 4( ) (UNESP) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 0 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões e y, como indicado na figura a) Eprima y em função de Solução Observando a semelhança nos triângulos assinalados, temos: y 0 y y y 0 0 y y 0 y y 3 b) Para que valores de e de y a área ocupada pela casa será máima? Solução A área ocupada será A() = (y) Será máima para um valor máimo das medidas Substituindo e calculando a abscissa do vértice, temos: A y (0) ( 0) () Logo, y A área será máima se as dimensões ocupadas forem = m e y = 0m 9 (UNESP) Um retângulo possui perímetro é 0cm e a medida de um dos lados é Determine: a) a área do retângulo em função de ; b) o valor de para o qual a área do retângulo seja máima Solução Considere a outra medida do retângulo como y Temos:

11 P 0 i) y 0 y y a) P y ii) A y OBS: Repare que não pode ser nulo, nem maior ou igual a b) A A(máima) () ( ) (UNIRIO) Em uma fábrica, o custo de produção, cm de produtos é dado por c() = + + Se que cada produto é vendido por R$0,00, o número d e produtos que devem ser vendidos para se ter um lucro de R$44,00 é: a) 3 b) 0 c) d) 3 e) Solução O arrecadado com a venda é () = 0 O lucro será a diferença entre a venda e o custo Temos: L() 0 L() ()(4) A quantidade de produtos não pode ser negativa Logo, = amos resolver a inequação 3² < S = {? R / 7/3 < < } Determine a solução da inequação ² + 0

12 S = {? R / ou /} 3Determine a solução da inequação ² 4 0 S = {? R / 0 ou 4} 4 Calcule a solução da inequação ² > 0

13 S = {? R / < 3 e > 3} (Cespe) Considere que o nível de concentração de álcool na corrente sanguínea, em g/l, de uma pessoa, em função do tempo t, em horas, seja epresso por N = 0,008(t² 3t + 34) Considere, ainda, que essa pessoa tenha começado a ingerir bebida alcoólica a partir de t = t0 (N(t0 = 0), partindo de um estado de sobriedade, e que tenha parado de ingerir bebida alcoólica em t = t, voltando a ficar sóbria em t = t Considere, por fim, a figura acima, que apresenta o gráfico da função N(t) para t є [t0, t] Com base nessas informações e tomando 4,3 como valor aproimado de 89, julgue o item a a) O nível de concentração de álcool na corrente sanguínea da pessoa em questão foi superior a g/l por pelo menos 3 horas Resolução: Sendo N = 0,008(t² 3t + 34) a função que mede a concentração de álcool em função do tempo, precisamos saber quando N > Devemos então resolver a inequação do segundo grau: 0,008(t² 3t + 34) > 8(t² 3t + 34) > 000 t² 3t + 34 > t² 3t + 9 > 0 Calculando Δ: Δ = b² 4ac Δ = (-3)² 49 Δ = 636 Δ = 89 Utilizando a fórmula de Bhaskara: t = (-b ± Δ)/a t = (-(-3) ± 89)/ t = (3 ± 4,3)/ Assim, t = (3 + 4,3)/ = 9,3/ = 9,6 t = (3 4,3)/ = 0,7/ =,3 Pelo gráfico da função e analisando as raízes temos que o conjunto solução é: S = {,3 9,6} E a diferença entre os etremos será 4,3