diferente do número de variáveis

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1 Eliminação Gaussiana - Número de equações diferente do número de variáveis Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de agosto de / 15

2 Sumário 1 Número de equações menor do que o número de variáveis / 15

3 Sumário 1 Número de equações menor do que o número de variáveis 3 / 15

4 Considere o sistema a seguir (mais variáveis do que equações): S x + 3y 4z + w = 1 x y + z w = x + y z + 5w = 3 Uma forma escalonada para S é [E b ] = Que corresponde ao sistema x + 3y 4z + w = 1 S 7y + 6z 3w = 3 6z + 31w = 3 4 / 15

5 S x + 3y 4z + w = 1 7y + 6z 3w = 3 6z + 31w = 3 Por substituição reversa, não conseguiremos determinar a solução. Façamos, por exemplo, w = 1. A solução para o sistema ( seria... ) 7 6, 1, 1 6, 1 Mas, e se w = 0? A solução seria... ( 8 ), 5, , 0 E se w = α, onde α é um número qualquer? A solução seria... ( ) 3α 16 31α 3, 4α 5,, α / 15

6 Resumindo: x + 3y 4z + w = 1 S x y + z w = x + y z + 5w = 3 ( ) 3α 16 31α 3 tem como solução geral:, 4α 5,, α 6 6 Neste caso, dizemos que o sistema é possível e indeterminado. 6 / 15

7 Exemplo: Considere o sistema S cuja matriz aumentada é [A b] = e encontre sua solução geral. Resposta... ( 3 α + β, 4, ) 9 + α 3β, α, β com α, β R. 7 / 15

8 Exemplo: Considere o sistema S cuja matriz aumentada é e encontre sua solução geral. Resposta... Sistema Impossível. 8 / 15

9 Sumário 1 Número de equações menor do que o número de variáveis 9 / 15

10 Exemplo: Considere o sistema S cuja matriz aumentada é e encontre sua solução. Resposta... ( 3, 5 6, 4 ) 3 10 / 15

11 Exemplo: Considere o sistema S cuja matriz aumentada é e encontre sua solução. Resposta... Sistema Impossível 11 / 15

12 Exemplo: Considere o sistema S cuja matriz aumentada é e encontre sua solução. Resposta... ( ) 1 α 5α 6,, 6, α / 15

13 Lema Se (ξ 1, ξ (,..., ξ n ) e (η 1, η,..., η n ) são duas soluções para o sistema ξ1 + η 1 S então, ξ + η,, ξ ) n + η n também o é. Prova: Sendo (ξ 1, ξ,..., ξ n ) e (η 1, η,..., η n ) soluções para o sistema S, segue que, para cada i {1,..., m}: a i1 ξ 1 + a i ξ a in ξ n = b i e a i1 η 1 + a i η a in η n = b i Somando membro a membro as igualdades acima, teremos a i1 (ξ 1 + η 1 ) + a i (ξ + η ) a in (ξ n + η n ) = b i Multiplicando ambos os membros por 1, tem-se ( ) ( ) ( ) ξ1 + η 1 ξ + η ξn + η n a i1 + a i a in = b i ( ) Portanto, ξ1+η 1, ξ+η,..., ξn+ηn é também solução para cada uma das equações do sistema. 13 / 15

14 Teorema (Quantidade de soluções de um sistema linear) Seja S um sistema linear. Ocorre uma, e somente uma, das seguintes situações: (i) S é impossível; (ii) S tem exatamente uma solução; (iii) S tem infinitas soluções. Prova: Suponha que S tenha duas soluções distintas σ 1 e σ. Pelo Lema, é possível obter uma terceira, digamos, σ 3. Repare que σ 3 σ 1 e σ 3 σ. Portanto, podemos aplicar novamente o Lema e obter a partir de σ 3 e σ 1,uma quarta solução, σ 4, diferente das anteriores. Aplicando o processo indefinidamente, obteremos infinitas soluções para S. Assim, se S tem mais do que uma solução, na verdade, tem infinitas! 14 / 15

15 Possível Determinado E. Gaussiana S S Indeterminado Impossível 15 / 15