Teste 1 de Matemática I - Curso de Arquitectura

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1 Teste 1 de Matemática I - Curso de Arquitectura 8 de Outubro de 9 - Teste A 1 Resolva por eliminação de Gauss e descreva geometricamente o conjunto de soluções dossistemasemr : x + y + z = (a) (1 val) x + y z =1 x y +z = Res: A matriz aumentada do sistema é O sistema fica A solução é o ponto (1, 1, 1) ½ x +y + z = (b) (1 val) x +y z = Res: A matriz aumentada do sistema é O sistema fica 1 x + y + z = y + z = z = ½ x + y + z = z = x =1 y =1 z = x = y y = y livre z = A solução é a recta de equação vetorial (x, y, z) =α (, 1, ),α R 1 ( val) Discuta, em função dos parâmetros reais α e β, o seguinte sistema: x + y + z = β αx + y +z = β x + y + αz =1 Res: A matriz aumentada [A b] do sistema é α β α 1 β β 1 α α β +αβ, 1 1 α 1 α 1 1+β neste caso quando α 6= 1amatrizdosistemaA tem três pivots, ou seja, a sua característica é eo sistema é possível e determinado Se α =1então Car (A) = Vejamos como fica [A b] β 1 β, 1+β éclaroquese1+β = β = osistemafica possível: Car (A) =Car ([A b]) = e indeterminado, pois #col (A) => =Car (A) Nocasoemqueβ 6= o sistema fica impossível, pois Car (A) = <Car([A b]) = 1

2 (1 val) Considere o sistema de equações lineares x + y + z = b 1 x y + z = b 4x + y +z = b Calculeosvectores(b 1,b,b ) R para os quais o sistema é possível Qual é o significado geométrico? Res: A matriz aumentada [A b] do sistema é 4 b 1 1 b 4 1 b b 1 b b 1 b 4b 1 b 1 b b 1 b b b 1 ou seja, o sistema é possível e indeterminado, com grau de indeterminação 1, quando b 1 b +b =, o que define um plano no espaço dos parâmetros 4 ( val) Considere o plano s R que passa por (1, 1, 1), (, 1, 1) e (,, ), earectar R que passa por (1,, ) e (1, 1, ) Determine a intersecção de s com r Res: Temos de obter as equações vectorias do plano e da recta: para tal é necessário calcular os vectores directores para s, escolhemos v 1 = = 1 e v = 1 = 1, a equação vectorial do plano resulta x y = z + α 1 ou seja x = α y = β z = +β No caso da recta temos para o vector director u = β 1 α, β R, y z =1 = 1,, a equação vectorial resulta em ou seja A intersecção será dada por x y z = 1 x =1 y = γ z = y z =1 x =1 z = + γ 1 ½ x =1 z =,γ R, x =1 y = 1 z =

3 5 ( val) Pelo método de Gauss-Jordan calcule a inversa da matriz: Res: R: A = (1 val) Utilizando o resultado da questão anterior resolva o sistema: x +y + z = 1 x +y + z = 5 x + y + z = Res: Temos de resolver o sistema Av = b, oqueéequivalenteav = A b, sendo v =(x, y, z), b = (1, 5, ) e A é a matriz do problema anterior O resultado é imediato: x y = = 5 z 7 ( val) Calcule α real de forma a que a seguinte matriz seja singular (não tenha inversa) α Res: Basta constatar que somando a primeira linha com a segunda obtemos a linha que resultará igual à quarta linha se e só se α = Neste caso o determinante da matriz será zero e esta será singular 8 ( val) Calcule a matriz dos cofactores e a inversa da matriz seguinte 1 1 1

4 Res: é um exercício muito simples e mecânico, começamos pela matriz dos cofactores = O determinante da matriz original resulta de multiplicar os elementos de qualquer linha (ou coluna) desta pelos elementos homólogos da linha correspondente (ou coluna) da matriz dos cofactores e adicionar os produtos Assim por exemplo fazendo este cálculo para as primeiras linhas: 1 () + () () + 1 () =, ainversaseráobtidapelaexpressão ou seja A = 1 A = 1 det A (Cof A)T, = ( val) Use a regra de Cramer para resolver o sistema de equações lineares em R : a) x y + z = x + y + z = 4 x z = Res: Neste caso o cálculo é, de novo, directo e os determinantes muito simples de calcular, uma vez que já se sabem todos os cofactores da matriz do sistema (da questão 8): () 4 () + ( ) x = = = () 4 ( ) + ( ) y = = = () 4 () + () z = = = ( val ) Calcule o volume do paralelipípedo cujas arestas são dadas pelos vectores (1,, 1), (, 1, 1) e (1,, ) 4

5 Res: Basta calcular o determinante da matriz formada pelos vectores coluna que formam as arestas, pela ordem que se quiser, o volume é o valor absoluto desse determinante det , note-se que a matriz considerada é a transposta da matriz dos problemas anteriores a transposição não altera o determinante que vale, logo o volume é 1 11 ( val) Considere a matriz B = 1 4 n 1 n 1 n n 1 1 n n 1 n 4 n 1 1 Obtenha a sua inversa pelo método que quiser Explique claramente todos os passos do seu raciocínio Res: Existem diversas formas de resolver o problema, nas fichas práticas vem um problema semelhante com uma matriz 4 4 que poderia dar uma sugestão de resultado para os alunos mais interessados Recorda-se que o resultado da inversa nesse caso era como tal vamos supor como hipótese que o resultado pretendido é B = 1, 1 1 basta confirmar que B B = Id, vejamos: , 1 4 n 1 n 1 n n 1 1 n n 1 n 4 n 1 1 que é n 1 (n ) + n n (n 1) + n 1 +1 n (n ) + n 4 n 1 (n ) + n 1 n (n 4) + n 5 n (n ) + n 4 1 n 4 (n 5) + n 6 n (n 4) + n

6 ou seja Existem muitas outras formas de resolver o problema 6