CPV conquista 140 vagas no insper

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1 CPV conquista 140 vagas no insper Prova REsolvida Insper 01/Novembro/009 Análise quantitativa 7. O gráfico abaixo representa as notas de um grupo de alunos em uma prova de matemática. A altura de cada barra corresponde à quantidade de alunos que obteve a nota indicada na base da respectiva barra. Numa prova de português, a média dos mesmos alunos foi um ponto maior do que a média nessa prova de matemática. Dos gráficos a seguir, aquele que pode representar as notas de português é a) b) c) d) e) A média dos alunos na prova de matemática foi de: 4, , , , , , 0. 5 = 6, 5. Portanto a média na prova de português deve ser 7, Na alternativa C temos: 5, , , , , = 7, CPV ibmecnov009 1

2 Insper 01//009 Seu pé direito nas melhores Faculdades 8. Num certo dia de inverno, exatamente às 4h40min, horário em que abre uma determinada estação do metrô de São Paulo, chega um único passageiro para acessar o metrô por esta estação. O próximo passageiro chega sozinho 48min depois, e o passageiro seguinte chega também solitário 16min após o segundo. E assim sucessivamente, os passageiros chegam um a um, sempre um tempo depois do anterior igual a um terço do tempo entre este e aquele que o antecedeu. Em algum momento, o intervalo de tempo entre dois passageiros consecutivos será tão curto, que estarão chegando praticamente juntos. O horário limite para que isto aconteça é a) 5h08min b) 5h0min. c) 5h5min. d) 6h14min. e) 6h6min. A sequência 48, 16, 16,... é uma progressão geométrica infinita de razão 1 cuja soma vale S = 48 = Sendo assim, o horário limite acontecerá às 4h40 min + 7 min = 5h5 min. 9. Para diminuir as enchentes, a prefeitura de uma cidade irá ampliar os acessos da água da chuva ao sistema subterrâneo de escoamento que já existe na região. Para isso, serão instalados ralos de forma circular vazados por diversos orifícios também de forma circular. Três projetos para os ralos foram apresentados: Projeto A: ralos de raio R, com n orifícios de raio 4r; Projeto B: ralos de raio R, com 4n orifícios de raio r; Projeto C: ralos de raio R, com n orifícios de raio r; sendo R e r números reais e n um inteiro positivo tais que qualquer um dos projetos A, B ou C é fisicamente possível. Se S A, S B e S C representam, respectivamente, as áreas totais abertas para passagem da água nos ralos dos projetos A, B e C, então a) S A > S B = S C. b) S A = S C > S B. c) S A > S C > S B. d) S A > S B > S C. e) S A = S B = S C. Temos: S A = n p (4r) = 16npr S B = 4n p (r) = 4npr S C = n p (r) = 8npr Portanto, S A > S B > S C. 0. Sejam a, b, K e R números maiores do que 1, sendo a ¹ b e K ¹ R. O ponto de encontro dos gráficos das funções f(x) = Ka x e g(x) = Rb x tem abscissa igual a a) log b a K R b) b/ a K c) R K b R a d) K - R b - a e) ak + br b + a Temos f(x) = g(x) Û Ka x = Rb x b x K Û a = R Û x = log b a K R Alternativa A CPV ibmecnov009

3 Seu pé direito nas melhores Faculdades Insper 01// Considere a região do plano cartesiano delimitada pelo gráfico da função f(x) = x, pelo gráfico da função g(x) = log (x) e pelo eixo Ox. A figura que melhor representa o formato desta região é a) Construindo os gráficos, observamos que existem duas regiões possíveis: y f(x) = x g(x) = log (x) x b) Mas, numa prova de testes, as alternativas fazem parte do enunciado. Portanto, a região descrita é a 1. Alternativa A c) d) e) CPV ibmecnov009

4 4 Insper 01//009 Seu pé direito nas melhores Faculdades. Considere a seguinte função: x se 0 < x < f ( x) = 4 se x 10 4x 6 se 10 x 1 Colocando-se num mesmo plano a reta de equação y = 0,6x + 1,4 e o gráfico de f(x), formam-se dois triângulos. A diferença entre a área do maior triângulo e a área do menor triângulo é igual a: a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.. Na figura, tem-se as seguintes medidas: m(op) = 4 cos 15º cm m(oq) = 4 cos 0º cm m(or) = 4 cos 45º cm m(os) = m(ot) = 4 cos 60º cm m( Ð POQ) = 15º m( Ð QOR) = 0º m( Ð ROS) = 45º m( Ð SOT) = 60º Nessas condições, a área do polígono OPQRST, em cm, é igual a: 1 10 f(x) y = 0,6x + 1,4 a) b) c) + +. d) e) A B Temos que m(oq) = 4 = m(or) = 4 = 4 cos 15º 15º 4 cos 0º 4 cos 45º Temos que x = 0,6 x + 1,4 Þ (1; ) 1 f (x) = y Þ 4 = 0,6 x + 1,4 Þ ; 4 4x 6 = 0,6 x + 1,4 Þ (; 8) ( ). 4 S B = = ( ). S A = = S B S A = 4 \ S B = 4 \ S A = \ SB SA = 7 = 9 x Alternativa D m(os) = 4. 1 = m(ot) = Então S OTS =. sen 60 º. = = S ORS =.. sen 45 º = S OQR =.. sen 0 º =. 4cos 15º. sen15º S OPQ = \ S OPQ =. sen15º cos15º sen 0º S OPQ = Então a área do polígono OPQRST é S = º 45º 60º 4 cos 60º Alternativa B CPV ibmecnov009

5 Seu pé direito nas melhores Faculdades Insper 01// Para construir uma avenida, a prefeitura de uma cidade precisará desapropriar algumas propriedades de uma determinada quadra da cidade. Para identificar o que precisará ser desapropriado, as propriedades foram representadas num plano cartesiano conforme mostra a figura. Seguem abaixo as propriedades juntamente com pontos, cujos segmentos que os unem formam os polígonos que representam as suas respectivas plantas. A1: (0,0); (,0); (,); (0,). A: (,0); (4,0); (4,4); (0,4); (0,); (,). A: (4,0); (6,0); (6,4); (4,4). A4: (0,4); (4,4); (4,6); (0,6). A5: (0,6); (4,6); (4,8); (0,8). A6: (6,0); (8,0); (8,4); (6,4). A7: (8,0); (10,0); (10,4); (8,4). A8: (4,4); (6,4); (6,8); (4,8). A9: (6,4); (10,4); (10,8); (8,8); (8,6); (6,6). A10: (6,6); (8,6); (8,8); (6,8). A: (10,0); (1,0); (1,8); (10,8). A avenida será a faixa formada pelas retas de equações 9x 0y + 40 = 0 e 9x 0y = 0. Uma propriedade será inteiramente desapropriada se a avenida passar por qualquer trecho de sua planta. Se cada unidade deste plano cartesiano equivale a dez metros, a área total das propriedades desta quadra que precisarão ser desapropriadas é igual a a) 6000 metros quadrados. b) 7600 metros quadrados. c) 900 metros quadrados. d) metros quadrados. e) 1400 metros quadrados. Na equação 9x 0y + 40 = 0 se x = 0, então y = x = 1, então y = 7 5 Na equação 9x 0 y = 0 se x = 0, então y = 0 x = 1, então y = 5 A área total é S T = = 9600 m S 1 S S A área não desapropriada é S 1 + S + S = 000 m A área desapropriada é S D = \ S D = m Alternativa B CPV ibmecnov009

6 6 Insper 01//009 Seu pé direito nas melhores Faculdades 5. O ponto Q da figura indica a posição de um avião que voa de P para R, no instante em que libera uma caixa com suprimentos que deverá cair no ponto O. Cada unidade do plano cartesiano corresponde a um quilômetro. A caixa descreve no ar a trajetória de uma parábola, com vértice sobre o ponto Q, no sistema de coordenadas apresentado. Se alguns instantes após o lançamento a caixa passar pelo ponto S indicado na figura, é correto afirmar que a) irá cair um quilômetro para a esquerda do ponto O. b) irá cair meio quilômetro para a esquerda do ponto O. c) irá atingir exatamente o ponto O. d) irá cair meio quilômetro para a direita do ponto O. e) irá cair um quilômetro para a direita do ponto O. A questão mostra, no plano cartesiano, uma parábola com vértice no ponto Q (4; 9) que passa por S (; 8). Seja y = ax + bx + c (I) -b com 4 = \ b = 8a (II) a Substituindo (II) em (I), temos y = ax 8ax + c Como a parábola passa por S e por Q, temos: 9 = 16 a a + c Þ 9 = 16 a + c 8 = 9a 4 a + c Þ 8 = 15a + c Portanto: a = 1 e c = 7 Logo: y = x + 8x 7 cujas raízes são: x = 1 e x = 7. Logo, a caixa irá cair 1 km à direita do ponto O. Alternativa E CPV ibmecnov009

7 Seu pé direito nas melhores Faculdades Insper 01// Num show de patinação no gelo, o casal que se apresenta está inicialmente sobre o ponto A indicado na figura. Ambos partem de A ao mesmo tempo, o rapaz sobre a reta de equação y = 1 + 0,5x e a moça sobre a reta de equação y = 1 + x, os dois no sentido dos valores positivos de x e y. Com velocidade maior, o rapaz se desloca sobre a reta até chegar no ponto de tangência de sua trajetória com a circunferência de equação (x 5) + (y 6) = 5. A partir daí, ele passa a patinar sobre o perímetro desta circunferência, a caminho do ponto em que sua nova trajetória tangencia a reta sobre a qual patina a sua parceira, onde ambos se encontram novamente. Neste plano cartesiano, a distância que foi percorrida pela moça nesta performance foi a). b) 5. c) 5. d) 6. e) 6. Na figura: o ponto O(5; 6) é o centro da trajetória circular descrita pelo rapaz; moça o ponto B(; 7), de tangência, é a intersecção entre a circunferência e a trajetória retilínea descrita pela moça, onde irão se encontrar. B O OB = 5 (raio da circunferência) rapaz OA = ( 6 1) + ( 5 0) = 50. No triângulo AOB, por Pitágoras, temos: 50 5 AB ( ) = ( ) + ( ) A \ AB = 5 CPV ibmecnov009

8 8 Insper 01//009 Seu pé direito nas melhores Faculdades é um número composto pelo produto de quatro números primos positivos distintos. Seja p o maior destes primos e n o menor inteiro maior do que 010 que também é divisível por p. 8. Na figura estão representadas a vista lateral e superior de um vaso. As duas circunferências que aparecem na vista superior são concêntricas e têm raios iguais a 10 cm e 15 cm. Sobre n, é correto afirmar que a) é um número par. b) é um número primo. c) é um número composto pelo produto de apenas dois números primos distintos. d) é um número composto pelo produto de apenas três números primos distintos. e) é um número composto pelo produto de apenas cinco números primos distintos. Temos que 010 = = sendo p = 67 e n = Portanto, n será o produto de dois números primo distintos. Se a altura do vaso mede 55 entre (adote p = 7 ) a) 5,00 e 8,00 litros. b) 9,00 e 1,5 litros. c) 15,00 e,75 litros. d) 5,00 e 50,00 litros. e) 67,50 e 80,00 litros. V M (volume máximo) cm, o volume do vaso está V m (volume mínimo) V (volume do vaso) V M = p Þ V M = = 750 cm V m = p Þ V m = = cm \ Vm = 15,00 L Portanto, 15,00 < V <,75 CPV ibmecnov009

9 Seu pé direito nas melhores Faculdades Insper 01// Em 010, Miguel não pretende perder um único jogo de sábado do time para o qual torce. Ele já começou a se planejar para isso, estudando calendário, meteorologia, etc. Observou que, em 010: o único dia da semana que ocorrerá 5 vezes é a 6 a feira; o time de Miguel irá jogar em 0 sábados; A meteorologia prevê que vai chover em 1 sábados no ano. Cruzando as previsões meteorológicas com as datas dos jogos, Miguel percebeu também que deverá chover em apenas metade dos sábados de 010 em que seu time não irá jogar. Considerando que as previsões meteorológicas se confirmem, selecionando aleatoriamente um dos dias de jogo do time de Miguel em 010, a probabilidade de não chover neste dia é de a) 5,0%. b) 7,5%. c) 50,0%. d) 6,5%. e) 75,0%. As informações podem ser reorganizadas e interpretadas da seguinte forma: (1) haverá exatamente 5 sábados em 010. () desses 5 sábados, haverá exatamente 0 com jogos do time (ou seja, haverá sem jogos). () haverá 1 sábados com chuva (ou seja, haverá 1 sábados sem chuva). Organizando os dados numa tabela, temos: Sábados Com Jogo Sem Jogo Total Com Chuva 1 Sem Chuva 1 Total 0 5 A meteorologia diz que, dos sábados sem jogos, metade deles (16) serão chuvosos. Assim, podemos atualizar a tabela: Sábados Com Jogo Sem Jogo Total Com Chuva Sem Chuva Total 0 5 Desse modo, no universo dos 0 sábados com jogos, em apenas 5 choverá. Assim, nos outros 15 sábados, não haverá chuva e a probabilidade pedida é Alternativa E CPV ibmecnov009