Matemática. Setor A. Índice-controle de Estudo. Prof.: Aula 19 (pág. 74) AD TM TC. Aula 20 (pág. 75) AD TM TC. Aula 21 (pág.

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1 Matemática Setor A Prof.: Índice-controle de Estudo Aula 9 (pág. 7) AD TM TC Aula 0 (pág. 75) AD TM TC Aula (pág. 76) AD TM TC Aula (pág. 77) AD TM TC Aula (pág. 78) AD TM TC Aula (pág. 79) AD TM TC Aula 5 (pág. 8) AD TM TC Aula 6 (pág. 8) AD TM TC Aula 7 (pág. 8) AD TM TC Aula 8 (pág. 86) AD TM TC Aula 9 (pág. 86) AD TM TC Aula 0 (pág. 88) AD TM TC Aula (pág. 89) AD TM TC Aula (pág. 9) AD TM TC Aula (pág. 9) AD TM TC Aula (pág. 9) AD TM TC Regular Caderno 6 Código: Aula 5 (pág. 9) AD TM TC Aula 6 (pág. 96) AD TM TC

2 9 Aritmética dos inteiros divisores e múltiplos. Classificar com V (verdadeira) ou F (falsa) cada uma das seguintes proposições: a) ( V ) 0 (zero) é um múltiplo de. b) ( V ) 0 (zero) é um número par. c) ( V ) Todo número par é da forma n. d) ( V ) Todo número ímpar é da forma n +, em que n é um número inteiro. e) ( V ) Todo número ímpar é da forma n, em que n é um número inteiro. f) ( F ) Todo número inteiro não múltiplo de é da forma n +, em que n é um número inteiro. g) ( F ) Todo número inteiro não múltiplo de é da forma n, em que n é um número inteiro. h) ( V ) Todo número inteiro não múltiplo de é da forma n, em que n é um número inteiro. i) ( F ) Se um número inteiro é múltiplo de e de 5, então ele é múltiplo de 0. j) ( V ) Todo número inteiro maior que admite pelo menos divisores distintos. k) ( F ) Todo número inteiro maior que admite apenas divisores distintos. a) e b) 0 = 0. Logo, 0 é um múltiplo de, isto é, 0 é um número par. c) Todo número par é um múltiplo de. d) Todo o número ímpar é o sucessor de algum número par. e) Todo o número ímpar é o antecessor de algum número par. f) Há números inteiros não múltiplos de que não são da forma n +, com n inteiro; isto é, não são o sucessor de algum múltiplo de. (Exemplos:,, 5 etc.) g) Há números inteiros não múltiplos de que não são da forma n, com n inteiro; isto é, não são o antecessor de algum múltiplo de. (Exemplos:,,, 7 etc.) h) Todo número inteiro não múltiplo de é o sucessor ou antecessor de algum múltiplo de. i) Há números inteiros múltiplos de e de 5 que não são múltiplos de 0, como, por exemplo, 0, 0, 50 etc. j) Para todo número inteiro n maior que, os números,, n e n são divisores distintos de n. k) Se n for um número composto (não primo, diferente de e diferente de ), então n admite mais que divisores distintos.. Obtenha todos os pares ordenados (a, b) de números inteiros, tais que a = b +. a b = (a b)(a + b) = deve ser expresso na forma de um produto de dois fatores (inteiros). Como é um número primo, há apenas casos: a b = e a + b = (a, b) (6, 5) a b = e a + b = (a, b) = (6, 5) a b = e a + b = (a, b) = ( 6, 5) a b = e a + b = (a, b) = ( 6, 5) Livro Capítulo Caderno de Exercícios Capítulo. Leia os itens de a 6.. Faça os exercícios, e. Faça os exercícios e 5. ensino médio ª- série 7 sistema anglo de ensino

3 0 Aritmética dos inteiros divisão euclidiana. Obtenha o quociente e o resto da divisão euclidiana de: a) 75 por 6 b) 750 por 60. O quociente e o resto da divisão euclidiana do número inteiro n pelo número inteiro d são, nessa ordem, iguais a 7 e. Obtenha n + d, dado que n d = 7. n = d 7 + Como n = d + 7, temos: d + 7 = 7d = 6d d = = 7 6 n = = 9 n + d = 08 (Resposta) a) b) Livro Capítulo Caderno de Exercícios Capítulo. Leia o item 7.. Faça os exercícios 6 e 7.. Faça os exercícios 8, 9 e 0.. Faça os exercícios de a 6. ensino médio ª- série 75 sistema anglo de ensino

4 . Quais são os números primos da forma a 6, em que a é um número inteiro? Aritmética dos inteiros exercícios. Sabendo que 8 9 e que não existe um número inteiro k, com k 8, tal que k seja um divisor de 9, podemos concluir que: a) 9 possui apenas dois divisores. b) 9 é um número primo. c) pelo menos um dos elementos do conjunto {8, 9,, 9,, 7,, } é um divisor de 9. d) a soma dos divisores de 9 é um número ímpar. e) nenhum divisor de 9 é maior que 8. Sendo o número inteiro d, d 8, um divisor de 9, temos: existe um número positivo k, tal que d k = 9. k é um divisor positivo de 9. como e d 8, devemos ter k 8. como não existe um número inteiro k, com k 8, tal que k seja um divisor de 9, temos k =. de k = e d k = 9, temos d = 9. os números e 9 são os únicos divisores positivos de 9. os números,, 9 e 9 são os únicos divisores de 9. 9 é um número primo. a 6 = (a )(a + ) Uma condição necessária (mas não suficiente) para que a 6 seja primo é que um dos fatores, (a ) ou (a + ), seja igual a ou. De (a ) =, temos a = 5 e, portanto, a 6 = 9 (composto). De (a + ) =, temos a = e, portanto, a 6 = 7 (primo). De (a ) =, temos a = e, portanto, a 6 = 7. De (a + ) =, temos a = 5 e, portanto, a 6 = 9. Resposta: 7. Obtenha o conjunto de todos os valores inteiros de k, de modo que k + 7 seja um múltiplo de k 6. k + 7 = k 6 + Para todo k, k 6 é múltiplo de k 6. Logo, k + 7 é múltiplo de k 6 se, e somente se, é múltiplo de k 6. k 6 é um divisor de k 6 {,,, } k {7, 9, 5, 7} Resposta: { 7, 5, 7, 9} Livro Capítulo Caderno de Exercícios Capítulo Faça os exercícios 0 e.. Faça os exercícios e.. Faça os exercícios 7, 8 e 9. ensino médio ª- série 76 sistema anglo de ensino

5 . Obtenha o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números 9 e. Aritmética dos inteiros mdc e mmc Logo, mdc(9, ) = 7. Sendo a = 5 6, b = 5 7 8, d = mdc(a, b) e m = mmc(a, b), obtenha a forma decomposta de: a) a b 9 mmc(7, ) = = 9 = b) d c) m d) d m a) a b = b) d = 5. c) m = d) d m = Note que, sendo a e b inteiros quaisquer, temos d m = a b. Livro Capítulo Caderno de Exercícios Capítulo. Leia os itens de 8 a.. Faça os exercícios 6 e 8. Faça os exercícios, 5 e 7. ensino médio ª- série 77 sistema anglo de ensino

6 Tangente da soma e da diferença de dois arcos e tangente do dobro de um arco Aplicar as relações envolvendo tg(a b) e tgx. Calcule tg75º. O arco de 75º pode ser decomposto em 5º + 0º. Assim: tg 5º + tg 0º tg 75º = tg (5º + 0º) = = tg 5º tg 0º sen cos x + sen xcos = cos cos x sen sen x cos x = = cotg x sen x. Sendo a e b dois ângulos agudos tais que tga = e tgb =, calcule a + b. + tg a + tg b tg(a + b) = = tg a tg b Na circunferência trigonométrica: = = = = = = = Simplifique: a) tg( x) b) tg + x tg tg x 0 tg x a) tg( x) = = = tg x + tg tg x + 0 tg x b) Neste caso, não podemos aplicar a fórmula, pois tg não existe. Assim: sen = tg + x = cos + x + x Como a e b são ângulos agudos, a + b = 5º. Livro Capítulo Caderno de Exercícios Capítulo. Leia os itens e 8.. Faça os exercícios de a 7. Faça os exercícios de 8 a 0. ensino médio ª- série 78 sistema anglo de ensino

7 Os arcos trigonométricos fora da primeira volta Encontrar a determinação principal de arcos trigonométricos Obter seno, co-seno e tangente de arcos que estão fora da primeira volta. Encontre a determinação principal dos seguintes arcos trigonométricos: a).590º b) 00º c) 5rad 5 d) rad 6 a).590º Dividimos.590º por 60º; o quociente natural é o número de voltas; e o resto α, 0º α 60º, é a determinação principal..590º 60º 50º.590º = 60º + 50º Logo, a determinação principal é α = 50º b) 00º A determinação principal dos arcos côngruos a 00º é o arco de medida α, 0º α 60º, que tem a mesma extremidade c) 5 Dividindo 5 por, temos: = 7 + A determinação principal é α = rad 5 d) 6 Para efetuarmos a divisão, fazemos igual a : A determinação principal é α = rad 6. Obtenha seno, co-seno e tangente de 870º. Dividindo 870º por 60º, temos: 870º 60º 50º Como 50º está no º quadrante, o seno é positivo, o co-seno é negativo e a tangente é negativa; lembrando dos arcos trigonométricos correspondentes: sen 870º = sen 50º = sen 0º = cos 870º = cos 50º = cos 0º = tg 870º = tg 50º = tg 0º = Assim, α = 00º + 60º = 60º A determinação principal é α = 60º. ensino médio ª- série 79 sistema anglo de ensino

8 . Obtenha seno, co-seno e tangente de.0º. Em vez de procurarmos a determinação principal de.0º, podemos passar direto para arcos positivos, usando as relações entre os arcos x e x. sen (.0º) = sen.0º cos (.0º) = cos.0º tg (.0º) = tg.0º Assim, dividimos.0º por 60º:.0º 60º 60º Logo: sen (.0º) = sen.0º = sen 60º = cos (.0º) = cos.0º = cos 60º = tg (.0º) = tg.0º = tg 60º = Outro modo (se o professor preferir): Observando a figura: sen (.0º) = sen 60º = cos (.0º) = cos 60º = tg (.0º) = tg 60º = Livro Capítulo Caderno de Exercícios Capítulo. Leia os itens e.. Faça os exercícios, e. Faça os exercícios e 5. ensino médio ª- série 80 sistema anglo de ensino

9 5 Logo, x = + h, h Z Aplicação dos números reais na circunferência trigonométrica Aplicação dos números reais na circunferência trigonométrica Respostas com solução geral (solução em IR) O polígono inscrito na circunferência trigonométrica a seguir é um quadrado. Sendo um dos reais com imagem no ponto M igual a, dê a expressão dos reais com imagens nos pontos: a) M f) N ou Q b) N g) M ou N c) P h) M ou Q d) Q i) M, N, P ou Q e) M ou P a) M x = N P + h, h Z b) N O correspondente a no º- quadrante é: = M Q c) P O correspondente a no º- quadrante é: 5 + = 5 Logo, x = + h, h Z d) Q O correspondente a no º- quadrante é: 7 = 7 Logo, x = + h, h Z Observação Poderíamos ter escrito x = + h, h Z e) M ou P Como M e P são extremidades de um diâmetro, temos: x = + h, h Z f) N ou Q x = + h, h Z Observação Poderíamos ter escrito x = + h, h Z ensino médio ª- série 8 sistema anglo de ensino

10 g) M ou N Como M e N não são extremidades de um diâmetro, lemos um ponto de cada vez; logo: x = + h ou x = + h, h Z h) M ou Q Lendo um ponto de cada vez: x = + h ou x = + h, h Z Podemos, ainda, resumir em: x = + h, h Z i) M, N, P ou Q Como M, N, P e Q são vértices de um quadrado, temos: h x = +, h Z h Ou, ainda, x = +, h Z Livro Capítulo Caderno de Exercícios Capítulo. Leia os itens de a 5.. Faça o exercício 9. Faça os exercícios 0 e. ensino médio ª- série 8 sistema anglo de ensino

11 6 c) tg x = Equações trigonométricas Equações trigonométricas com solução geral (solução em IR). Resolva em IR as equações: a) sen x = S = x IR x = + h, h Z. Resolva em IR a equação: cos x cosx = 0 Colocando cos x em evidência, temos: cosx(cos x ) = 0 cos x = 0 ou cos x = 0 cos x = S = x IR x = + h 5 ou x = + h, h Z b) cos x = Esses pontos dividem a circunferência em quatro partes iguais. Assim: h x = 0 + h x =, h Z S = x IR x = h, h Z S = x IR x = +h, h Z Livro Capítulo Caderno de Exercícios Capítulo Faça os exercícios e. Faça o exercício ensino médio ª- série 8 sistema anglo de ensino

12 7 Equações trigonométricas Equações trigonométricas nas quais o arco é uma expressão em x. Resolva em IR a equação: senx = Devemos encontrar os valores de x que possuem ordenada igual a. x = + h x = + h, h Z x = + h x = + h, h Z Como 0 x, temos: h = 0 x = h = x = + = h = x = S =, (não convém) º- modo Para termos x no intervalo 0 x, devemos procurar x no intervalo 0 x S = x IR x = + h, h Z. Resolva, no intervalo 0 x, a equação: senx = º- modo Em primeiro lugar, determinamos a solução geral; depois, atribuímos valores convenientes para h, para encontrarmos as respostas no intervalo pedido. x = x = ou x = + 5 x = x = S =, 5 5 Nota: O º- modo é mais adequado para o aluno, já que este não se lembra de arrumar o intervalo no º- modo. ensino médio ª- série 8 sistema anglo de ensino

13 . (UNIFESP) Considere a função y = f(x) = + sen x, definida para todo x real. Obtenha todos os valores de x no intervalo [0, ], tais que y =. + sen x = sen x = h, h Z x = h, h Z x = + h, h Z h x = +, h Z No intervalo [0, ], temos: h = 0 x = h = x = + = Resposta: e Livro Capítulo Caderno de Exercícios Capítulo Faça os exercícios 5, 6 e 7. Faça os exercícios 8, 9 e 0. ensino médio ª- série 85 sistema anglo de ensino

14 s 8 e 9. Fatore a expressão: cosa + Fatoração da soma e da diferença de senos e de co-senos Fatorar sena senb e cosa cosb Trocando o número por cos 0, temos: a + 0 a 0 cos a + cos 0 = cos cos = cos a. Fatore: a) sen0º + sen0º b) sen0º sen0º c) cos50º + sen70º d) cos0º sen80º 0º + 0º 0º 0º a) sen 0º + sen 0º = sen cos = = sen 5º cos 5º 0º 0º 0º + 0º b) sen 0º sen 0º = sen cos = = sen ( 5º) cos 5 Como sen ( 5º) = sen 5º, sen 0º sen 0º = sen 5º cos 5º c) Fazendo sen 70º = cos (90º 70º) = cos 0º, temos: cos 50º + cos 0º = 50º + 0º 50º 0º = cos cos = cos5ºcos5º d) Fazendo sen 80º = cos (90º 80º) = cos 0º, temos: cos 0º cos 0º = 0º + 0º 0º 0º = sen sen = sen5ºsen5º. Resolva em IR a equação: senx + senx = 0 x + x x x sen cos = 0 sen xcos x = 0 sen x = 0 x = h h x = ou cos x = 0 x = + h h Como a resposta, h Z, contém a resposta + h, h Z, no conjunto-solução basta colocar a primeira. S = x IR / x = h, h Z ensino médio ª- série 86 sistema anglo de ensino

15 . Resolva em IR a equação: cosx + cosx + cosx = 0 cos x + cos x + cos x = 0 x + x x x cos cos + cos x = 0 cos xcos x + cos x = 0 cos x(cos x + ) = 0 h cos x = 0 x = + h x = + ou cosx = x = + h S = x h IR / x = + ou x = + h, h Z Livro Capítulo 5 Caderno de Exercícios Capítulo 5 AULA 8. Leia os itens e.. Faça os exercícios e. AULA 9 Faça os exercícios 5 e 6. AULA 8 Faça os exercícios e. AULA 9 Faça os exercícios 7 e 8. ensino médio ª- série 87 sistema anglo de ensino

16 0. Resolva em IR a equação: tgx = tgx Fatoração da soma e da diferença de tangentes Fatorar tga tgb tg x tg x = 0 sen x cos xcos x = 0 C.E.: cos xcos x 0 Temos: sen x = 0 x = h, h Z (que verifica as condições de existência) Logo: S = {x IR / x = h, Z}. Fatore: a) tg50º + tg0º b) tg0º tg0º sen (50º + 0º) a) tg 50º + tg 0º = = cos 50º cos 0º = sen 70º cos 50º cos 0º sen (0º 0º) b) tg 0º tg 0º = = cos 0º cos 0º sen 0º = = cos 0º cos 0º cos 0º cos 0º Livro Capítulo 5 Caderno de Exercícios Capítulo 5. Leia o item.. Faça os exercícios 9 e 0. Faça os exercícios e. ensino médio ª- série 88 sistema anglo de ensino

17 . Dê o domínio, o conjunto-imagem e o gráfico de f(x) = + senx. Função seno Apresentar a função seno, obtendo o domínio, o conjunto-imagem e o esboço de seu gráfico. Determine k, de modo que se verifique senx = k. Lembrando que sen x, temos: k 0 k 0 k Resposta: 0 k Domínio: D = IR Conjunto-imagem: sen x + sen x I m = [; ] Gráfico: Para esboçarmos o gráfico, basta um período completo de variação; assim, temos a tabela: x sen x + sen x Localizando, em um sistema de coordenadas cartesianas, os pares (x, + sen x), temos: y 0 x Nota Poderíamos ter obtido o conjunto-imagem diretamente do gráfico: I m = [, ] ensino médio ª- série 89 sistema anglo de ensino

18 . Esboce o gráfico de y = senx e dê o seu conjunto-imagem. Temos a tabela: x senx senx Localizando os pares (x, sen x): y 0 x Do gráfico, temos: I m = [ ; ] Livro Capítulo 6 Caderno de Exercícios Capítulo 6. Leia os itens e.. Faça os exercícios, e. Faça os exercícios de a 7. ensino médio ª- série 90 sistema anglo de ensino

19 Função co-seno Apresentar a função co-seno, obtendo o domínio, o conjunto-imagem e o esboço de seu gráfico. Determine m, de modo que se tenha m cosx =. 5 Lembrando que cos x, temos: m 5 m 5 m 6 5 Resposta: m 6. Esboce o gráfico e dê o conjunto-imagem de f(x) = + cosx. Temos a tabela: Gráfico: y x cos x + cos x Esboce o gráfico e dê o conjunto-imagem de f(x) = + cosx. 0 x Temos a tabela: x cos x + cos x Conjunto-imagem: I m = [, ] Gráfico: y 0 x Conjunto-imagem: I m = [, ] Livro Capítulo 6 Caderno de Exercícios Capítulo 6. Leia o item.. Faça os exercícios 8, 9 e 0. Faça os exercícios de a. ensino médio ª- série 9 sistema anglo de ensino

20 Função tangente Apresentar a função tangente, obtendo o domínio, o conjunto-imagem e o esboço de seu gráfico.. Dê o domínio de f(x) = tgx.. Determine o domínio de f(x) = cosec x Podemos escrever: f(x) = cosec x = sen x Para existir f(x), devemos ter: sen x 0 Assim: sen x Podemos escrever: f(x) = tg x = cos x Para existir f(x), devemos ter: cos x 0 Assim: x h, h Z x + h, h Z x h +, h Z D = x IR / x h +, h Z x + h, h Z D = x IR / x + h, h Z ensino médio ª- série 9 sistema anglo de ensino

21 . Esboce o gráfico de y = + tgx e dê o seu conjunto-imagem. Como o período da tg x é, basta esboçar o gráfico de 0 a. Temos a tabela: x tgx + tgx 0 0 / / 0 y 0 x Do gráfico: I m = IR Livro Capítulo 6 Caderno de Exercícios Capítulo 6. Leia o item.. Faça os exercícios 5, 6 e 7. Faça os exercícios 8 e 9. ensino médio ª- série 9 sistema anglo de ensino

22 s e 5. Dê o período e esboce o gráfico de f(x) = senx. Funções seno e co-seno de (mx + n) Cálculo de período; obtenção de domínio, conjunto-imagem e gráfico de seno e co-seno de expressões do tipo mx + n, m 0.. Determine o período das funções. a) f(x) = senx b) f(x) = cos x a) p = = b) p = = O período é p = = = Para o gráfico, vamos propor a seguinte tabela: Na primeira coluna (x), atribuímos os valores 0,,, e Na segunda coluna (x), isolamos os valores de x Na terceira coluna (sen x), encontramos os resultados para f(x) x x sen x Localizando, em um sistema de coordenadas cartesianas, os pares (x, sen x), temos: y. Obtenha a na função f(x) = sen(ax), sabendo que o seu período é igual a. 5 f(x) = sen(ax) p = a Do enunciado: = a = 0 a = 0 5 a 0 x Resposta: a = 0 ou a = 0 ensino médio ª- série 9 sistema anglo de ensino

23 . Esboce o gráfico e dê o conjunto-imagem de x f(x) = + cos. Temos a tabela: Localizando os pares x, + cos y x x x x cos + cos x temos: O x Do gráfico: I m = [, ] Livro Capítulo 6 Caderno de Exercícios Capítulo 6 AULA. Leia o item 5.. Faça os exercícios 0, e. AULA 5 Faça o exercício 5. AULA Faça os exercícios e. AULA 5 Faça o exercício 6. ensino médio ª- série 95 sistema anglo de ensino

24 6 Funções seno e co-seno de (mx + n) Exercícios. Determine o período de f(x) = senxcosx. Multiplicando os dois membros da igualdade por : f(x) = sen x cos x f(x) = sen x: f(x) = sen x Logo, o período é: p = = =. Determine o conjunto-imagem de f(x) = + sen x + Observe que: sen x + Multiplicando por : sen x + Adicionando ( ) a todos os membros: 5 + sen x + Logo: 5 f(x) Assim: I m = [ 5, ] Resposta: I m = [ 5, ] Resposta: p =. Determine o período e o conjunto-imagem de f(x) = senxcosx + senxcosx. f(x) = sen xcos x + sen xcos x Lembrando que sen a cos b + sen b cos a = sen(a + b), temos: f(x) = sen(x + x) f(x) = sen x O período é: p = = = Como sen x, o conjunto-imagem é: I m = [, ] Resposta: I m = [, ] Livro Capítulo 6 Caderno de Exercícios Capítulo 6 Faça os exercícios 7 e 8. Faça os exercícios 9 e 0. ensino médio ª- série 96 sistema anglo de ensino