Um robô está num corredor. Ele possui um mapa do corredor mas não sabe onde está localizado. A parede do corredor e indistinta, exceto pelas portas.

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2 Um robô está num corredor. Ele possui um mapa do corredor mas não sabe onde está localizado. A parede do corredor e indistinta, exceto pelas portas. O corredor possui 3 portas idênticas, exceto pelas sua localização. O problema e obter a sua localização a partir de medidas de um sensor.

3 Obter a localização: Movimenta-se e mede (via sensor) o que esta em volta. No inicio tem muita incerteza de onde ele esta A medida que vai se movimentando, ganha informação e melhora seu conhecimento. Em qualquer instante, tem uma distribuição de probabilidade para sua posição.

4 O robô movimenta-se pelo corredor. A cada intervalo de 1 minuto, ele anda numa certa velocidade (metros por minuto) e então toma uma medida com o sensor. Sua posição verdadeira no instante de tempo t e representada por x t O estado do sistema no tempo t e x t Equação de evolução do estado: x t+1 = x t + v t + t

5 Equação de evolução do estado: x t+1 = x t + v t + t As velocidades v 1, v 2,... são comandos passados ao robô e são conhecidas. A velocidade real não e exatamente a comandada. Por causa disto temos a presença do ruído t

6 Equação de evolução do estado: x t+1 = x t + v t + t A distribuição dos ruídos 1, 2,... : são i.i.d. N(0, 2 ) ou erros gaussianos.

7 Em cada instante t, um sensor mede z t O sensor e binário: z t = Porta ou z t = Parede

8 z t = Porta ou z t = Parede Se o sensor medir z t = Porta: o robô saberá que com grande probabilidade ele está em frente a uma das 3 portas, mas não saberá qual delas. Incerteza: o sensor tem a chance de falhar e enviar um sinal errôneo: Porta quando deveria ser Parede ou o contrário.

9 A medição binária do sensor e aleatória e depende da posição do robô. Se ele estiver em frente a uma das portas, com alta probabilidade ele mede z t =Porta. Se estiver na parede...

10 Se ele estiver em frente a uma das portas, com alta probabilidade ele mede z t =Porta. Se estiver na parede... Seja p(z t =PORTA x t =x ) = p(z x) a probabilidade do sensor medir PORTA quando ele estiver na posição x ao longo do corredor.

11 ( z x x) ~ Bernoulli( ) t t x x onde e a probabilidade do sensor medir PORTA quando o robô estiver na posição x Esta probabilidade e conhecida a partir de calibrações do sensor e e aproximada por uma função simples

12 As portas estão em p 1, p 2, p 3 A função e dada por x Coloquei as portas em 25, 40 e 75 metros num corredor de comprimento 100.

13 Equação usada: As portas estão em p 1, p 2, p x * ) ( 28)* (1/ 0.05 ) Porta ( j j j t t x p x I p x x x z p

14 Robô começa em posição inicial desconhecida x 0 Condição inicial: uma distribuição de probabilidade para a posição x 0 Vamos assumir que e uniforme x 0 ~ U(0,100) Isto e, p(x) = 1/100 para x [0,100]

15 Sensor recebe medida y 0 = PORTA Atualização Bayesiana da posição: p(x z 0 =PORTA) p(porta x ) * p(x ) p(porta x) pois p(x) = 1/100 e constante em x

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17 Belief da posição x o e bel(x) p(porta x) O robô recebe o comando de velocidade v 1 =15 e movimenta-se indo para o novo estado x 1 onde x 1 x0 v1 1 Como x 0 e incerto e v 1 tambem não e perfeita, temos uma DISTRIBUICAO DE PROBABILIDADE para a posição x 1 (x 1 x 0, v 1 ) ~ N(x 0 + v 1, 2 ) outra gaussiana

18 Temos (x 1 x 0, v 1 ) ~ N(x 0 + v 1, 2 ) Como x 0 tem distribuição p(porta x), a belief (distribuição) de x 1 após a movimentação será bel( x x) p( x1 x) p( x1 x x0 y, v1 15) bel( x0 1 R y) dy Não há uma formula fechada. Fiz numericamente.

19 Bel(x) após receber 1ª medição do sensor. Sabendo que andou mais ou menos 15 metros, ele atualiza sua crença sobre sua localização. Os picos se deslocam mais ou menos 15 metros e se alargam. Bel(x) após andar e ANTES de receber 2ª medição do sensor

20 Bel(x) após andar e ANTES de receber 2ª medição do sensor CADA PONTO DA CURVA e o resultado de calcular uma integral numericamente: bel( x x) p( x1 x) p( x1 x x0 y, v1 15) bel( x0 1 R y) dy

21 Na sua nova posição x 1, ele recebe nova medição do sensor Outra vez, foi z 2 =PORTA A probabilidade p(z 2 =PORTA x 1 =x) e a mesma de antes: Usamos Bayes mais uma vez para obter a nova crença bel(x) = p(x 1 =x z 2 =PORTA)

22 Distribuição de probabilidade para a posição corrente x 1 : p(x 1 =x z 2 =PORTA) p(z 2 =PORTA x 1 =x )*bel(x 1 =x) )

23 Veja que a distribuição vai se complicando, sempre exigindo cálculos numéricos a cada passo. O procedimento completo após mais um passo e mostrado a seguir.

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25 Usando filtro de partículas, teremos uma aproximação da densidade bel(x) a cada passo. Esta aproximação é dada por uma AMOSTRA extraída de bel(x) e não por uma curva suave cobrindo todo o corredor. A amostra estará mais concentrada nos locais onde a belief bel(x) é maior. Para entender como a amostra é obtida, veja o script R desta aula.