Capítulo 2. Representação de dados em sistemas computacionais

Transcrição

1 Capítulo 2 Representação de dados em sistemas computacionais Adaptado dos transparentes das autoras do livro The Essentials of Computer Organization and Architecture

2 Objectivos [1] Saber somar números representados numa base 10 Saber determinar se há transporte (carry) e qual o seu valor Saber subtrair números representados numa base 10 Saber determinar se há empréstimo (borrow) e qual o seu valor Saber representar números negativos nos métodos principais Saber identificar se há transbordo (overflow) na operação de números binários com e sem sinal Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 2

3 Objectivos [2] Conhecer a complexidade da multiplicação de inteiros em binário Aplicar o método tradicional para multiplicar números binários sem sinal Compreender as limitações do método tradicional de multiplicação para números binários em complementos para dois Aplicar o algoritmo de Booth para multiplicar números binários com ou sem sinal Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 3

4 Adição em base 10 [1] Para somar números representados numa base 10, há que perceber bem como o fazemos na base = 12 2 resultado parcial 10 1 base transporte Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 4

5 Adição em base 10 [2] Vamos somar = = resultado parcial = resultado parcial transporte transporte Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 5

6 Adição em bases 10 [1] Vamos somar A1 h + 1E h + BC h =17B h 1 1 A 1 1 E + B C 1 7 B = resultado parcial = resultado parcial transporte transporte Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 6

7 Adição em bases 10 [2] Vamos somar = 2 2 resultado parcial = resultado parcial 0 1 transporte = 4 2 transporte resultado parcial = transporte Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 7

8 Subtracção em base 10 [1] Para subtrair números representados numa base 10, há que perceber bem como o fazemos na base empréstimo no valor da base Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 8

9 Subtracção em bases 10 [1] Vamos subtrair base +8 =26 8 Vamos subtrair base base base =11 2 Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 9

10 Representação de inteiros com sinal [1] Todas as conversões até ao momento envolveram números positivos Para representar números negativos é preciso fixar com quantos bits se trabalha Reserva-se o bit de maior peso (mais à esquerda) para representar o sinal Os bits restantes contêm o valor a representar Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 10

11 Representação de inteiros com sinal [2] Há (pelo menos) três maneiras diferentes de representar números binários negativos Magnitude com sinal Complemento para um Complemento para dois Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 11

12 Representação de inteiros com sinal [3] Magnitude com sinal Coloca-se o sinal no bit de maior peso Coloca-se nos restantes bits o valor absoluto do número a representar Exemplo (representação usando 8 bits): Representação para 3: Representação para -3: Operações matemáticas entre números sinal sinal representados por magnitude com sinal exigem um hardware complexo Há duas representações possível para o valor zero, e.g., (8 bits) e Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 12

13 Representação de inteiros com sinal [4] As representações complementares são uma forma alternativa para representar números negativos O complemento de um dígito determina-se pela subtracção do valor desse dígito ao valor da base menos um Exemplos: Usando 3 dígitos em base dez, o complemento para 9 de é ( =876) Usando 8 bits em base 2, o complemento para um de (=3 10 ) é (=-3 10 ) C 1 corresponde a trocar o bits a 0 para 1 e vice-versa Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 13

14 Representação de inteiros com sinal [5] Operações matemáticas entre números representados em complemento para um também exigem um hardware complexo É, no entanto, mais simples que usando a representação em magnitude com sinal Mantém a desvantagem de ter duas representações para o valor zero: zero positivo ( ) e zero negativo ( ) A representação em complemento para dois resolve estes problemas Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 14

15 Representação de inteiros com sinal [6] Para representar um número decimal em binário em complemento para dois (C 2 ) Se o número for positivo, é necessário apenas convertê-lo para binário Se o número for negativo, convertê-lo para binário, determinar o seu complemento para um, e depois adicionar um Exemplo: representar -3 em binário em C 2 com 8 bits 3 10 = = Complemento para um + 1 Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 15

16 Representação de inteiros com sinal [7] Para realizar somas de números em complemento para dois, basta adicionar os dois números, ignorando qualquer eventual transporte no último bit (bit de sinal) Exemplo: determine a soma de 48 com -19 em complemento para dois Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 16

17 Representação de inteiros com sinal [8] Quando se usa números com um número finito de dígitos, corre-se sempre o risco de que o resultado de um cálculo seja demasiado grande (em valor absoluto) para guardar nos bits que dispomos (transbordo) Não podemos evitar situações de transbordo, mas podemos detectá-las Em binário é fácil Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 17

18 Representação de inteiros com sinal [9] Transporte e transbordo são conceitos diferentes As flags de carry e overflow estão associadas aos conceitos anteriores Carry A flag de carry é activada quando há transporte do último dígito para fora do número Em números sem sinal, indica que houve transbordo Em números com sinal, não é representativa (isoladamente) Overflow A flag de overflow é activada apenas quando há transbordo ao operar números com sinal Detecta-se que há transbordo ao operar números com sinal se a carry-in e a carry-out do dígito mais à esquerda (digito de sinal) são diferentes Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 18

19 Representação de inteiros com sinal [10] Exemplo: calcule a soma de 107 com 46, usando complemento para dois Há transbordo quando os transportes de entrada e de saída do bit de sinal são diferentes Houve ou não transbordo neste caso? Sim! Houve transbordo! carry-in = 1 carry-out = 0 Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 19

20 Representação de inteiros com sinal [20] Expressão Resultado Carry? Overflow? Resultado correcto? 0100 (+4) (+2) 0100 (+4) (+6) 1100 (-4) (-2) 1100 (-4) (-6) 0110 (+6) Não Não Sim 1010 (-6) Não Sim Não 1010 (-6) Sim Não Sim 0110 (+6) Sim Sim Não Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 20

21 Questão escolha múltipla A soma dos números binários de 4 dígitos em complemento para dois 1110 com 0101 seria Que se pode dizer sobre o resultado da operação? Está correcto! Está incorrecto porque ocorreu carry e overflow Está incorrecto porque ocorreu carry Está incorrecto porque correu overflow Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 21

22 Multiplicação de inteiros base 10 Multiplicação de inteiros na base = resultado parcial 10 1 base transporte = x10 0 = x > base? Se sim, divide-se o resultado pela base o resto faz parte do resultado, o quociente é o transporte Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 22

23 Multiplicação de inteiros **sem sinal** na base 2 É semelhante à multiplicação na base = 26 = 5 = = c = 50 Será que funciona com números em complemento para dois? = 6 = = -18 = -50 Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 23

24 Multiplicação de inteiros com ou sem sinal na base 2 [1] O algoritmo de Booth M = 26 = 5 = = c = : -M 1 0: M 0 0: 0 1 1: 0 Converter M para 8 bits M= M= = 6 = : -M 1 0: M 0 1: -M 1 1: = -18 = -18 Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 24

25 Multiplicação de inteiros com ou sem sinal na base 2 [2] Mais um exemplo graaannnde! M= M= = C = *126= = -75 = 126 = Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/ : 0 0 1: -M 1 1: 0 1 1: 0 1 1: 0 1 1: 0 1 1: 0 1 0: M

26 Questão escolha múltipla O método de Booth pode ser usado para multiplicar números binários inteiros sem sinal? Não, pois não garante que o resultado fica correcto Sim, é necessário Sim, mas não é obrigatório Não, pois o resultado fica necessariamente errado Introdução aos Sistemas e Redes de Computadores 2008/09 26