SHEFFIELD - O NOVO TRILHO MATEMÁTICO DO CENTRO DA CIDADE
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- Oswaldo Canário Rios
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1 SHEFFIELD - O NOVO TRILHO MATEMÁTICO DO CENTRO DA CIDADE Este trilho tira partido da arquitetura e dos espaços públicos do centro de Sheffield e foi elaborado pela equipa do Centro de Educação Matemática da Universidade de Sheffield Hallam, que tem uma considerável experiência em trabalhar de forma inovadora com crianças e escolas locais. O trilho inclui perguntas acessíveis a crianças pequenas e perguntas desafiantes a adultos e crianças mais velhas, sem assumir qualquer base de conhecimento matemático particular. Existem perguntas que devem ser respondidas durante o percurso e alguns outros problemas mais desafiantes que deverão ser explorados mais tarde, em casa ou em sala de aula. Fase 1 (Edifício Owen, Universidade de Sheffield Hallam) Entre no átrio do Edifício Owen. 1. A escada em espiral, no sentido descendente, tem vários patamares. Diga qual a forma geométrica desses patamares. 2. No último patamar, qual é a área do trapézio curvo (representado na figura a azul e rosa)? A que fração do semicírculo corresponde? (difícil)
2 3. Há algumas grades brancas por cima do patamar. Diga que tipos diferentes de quadriláteros consegue aí encontrar. 4. Quantos triângulos consegue contar? Saia do prédio através da Receção. Fase 2 Na Rua Howard 5. (a) Do lado de fora do prédio há quatro lugares de estacionamento em espinha. Se 4 carros (por exemplo, um vermelho, um azul, um verde e um amarelo) aí estacionarem, de quantas maneiras diferentes o podem fazer? (b) E se houver 6 lugares de estacionamento diferentes (continuando a haver apenas 4 carros)? Desça a Rua Howard. 6. Observe a fonte. Se um pequeno peixe sair da fonte, que distância percorre antes de chegar ao ralo? Quanto tempo vai demorar? Continue na Rua Howard e observe o edifício Owen à sua esquerda.
3 7. Leia a poesia que aí encontra. Se adicionar os dígitos do ano em que foi escrita encontra um número que pode descobrir na diagonal (principal) de uma tabela de multiplicar. Quais são os dois números seguintes nessa diagonal? 8. Olhe para os padrões de tijolo na parede do pub Globe. (a) De quantas maneiras diferentes pode ser construído o retângulo interior marcado na figura, usando cinco tijolos inteiros (do tamanho indicado na figura)? (b) Os construtores optaram por não usar tijolos inteiros fora desse retângulo. Encontre uma maneira de construir o retângulo exterior marcado na figura usando apenas tijolos inteiros do mesmo tamanho dos usados no retângulo interior. (c) De quantas maneiras diferentes pode ser construído o retângulo exterior com tijolos inteiros do mesmo tamanho? (difícil) Continue na Rua Howard, até ao cimo. 9. Algo espreita no topo de um edifício! Cada um dos olhos dos quatro abutres é feito de tijolos. (a) Quantos tijolos foram usados para fazer os olhos dos abutres?
4 (b) Com o número de tijolos anterior, de quantas maneiras diferentes pode dividir os tijolos entre os quatro abutres? Não importa em que ordem os abutres estão, mas cada abutre deve ter pelo menos um olho, e cada olho deve ter no máximo três tijolos. Retroceda para Arundel Gate e vire à direita, em direção à passadeira. 10. Olhe para trás, para a escadaria que desce para a universidade. O primeiro lance tem quatro degraus. Se puder descer os degraus um de cada vez ou dois de cada vez, de quantas maneiras diferentes pode descer o lance de escadas? (Por exemplo, se fossem 3 degraus poderíamos descer das seguintes formas: ou 1+2 ou 2+1.) 11. Antes de atravessar a rua, olhe para a placa que indica NOVOTEL do outro lado da rua. Usando apenas estas letras, quantos mais novos nomes de cadeias de hotel consegue formar, usando alternadamente vogais e consoantes? (Por exemplo, TENOLOV.) Atravesse a rua na passadeira. Fase 3 Galerias Millennium e Jardins de Inverno 12. Qual é a potência de 2 mais próxima de um milénio? Continue para os Jardins de Inverno. 13. Nos Jardins de Inverno - quantos painéis de vidro estão nos arcos? 14. Os jardins foram inaugurados pela Rainha e pelo Duque de Edimburgo. Em que ano? Trata-se de um número primo? Saia para a Praça Millennium. Fase 4 Praça Millennium 15. As bolas existentes na praça são de um artista chamado Colin Rose. Chamam-se "Rain".
5 (a) Na praça, a bola maior tem um diâmetro aproximadamente duas vezes maior que a menor. Quantas vezes maior é o seu volume? (b) Há nove bolas de diferentes tamanhos. Se as bolas fossem todas do mesmo tamanho quantas mais bolas precisaria de empilhar para obter uma pirâmide triangular? (c) De quantas bolas precisaria para obter uma pirâmide triangular maior? Continue em direção aos Jardins da Paz. Fase 5 Jardins da Paz 16. Consegue descobrir quem foi Samuel Holbery? Durante quanto tempo viveu? Esse número é "perfeito" (isto é, um número natural para o qual a soma de todos os seus divisores próprios, excluindo ele mesmo, é igual ao próprio número). (a) Qual é o primeiro número perfeito maior do que um 1? (b) Entre estes dois números perfeitos existe mais algum? 17. (a) Quantos jatos verticais de água existem na fonte? (b) Desenhe um esboço da projeção vertical de todos os jatos. (c) Quantos eixos de simetria tem esse esboço? (d) Qual é a ordem da simetria rotacional (de quantas maneiras pode rodar a figura de forma a deixá-la invariante)? (e) Se tivesse espaço para construir uma fonte maior, seguindo o mesmo padrão e de forma a ter 12 jatos na parte mais larga, ela ainda teria as mesmas simetrias? Faça um esboço. Quantos jatos de água teria então a fonte? (f) Quantos jatos de água teria a fonte seguinte, segundo o mesmo padrão?
6 (g) Quantos jatos de água teria a fonte, se quisermos ter 100 jatos na parte mais larga? (difícil) 18. As fontes em torno dos jardins têm oito degraus. (a) Se puder subir um ou dois degraus de cada vez, de quantas formas pode subir as escadas? (difícil) (b) Quantos degraus tem a escadaria ao pé destas fontes? De quantas formas a pode subir, subindo um ou dois degraus de cada vez? (difícil) Suba a escadaria e volte à direita em direção à Câmara Municipal. Fase 6 Ao redor da Câmara Municipal 19. O passeio da fama tem placas com estrelas de cinco pontas que homenageiam pessoas famosas naturais de Sheffield. Há pelo menos uma em cada ano consecutivo recente. A soma dos algarismos de cada um desses números também são números consecutivos. Qual é o primeiro ano a quebrar a sequência?
7 20. Quando são 9h no relógio da Câmara Municipal, os ponteiros formam um ângulo reto. Isto também é verdade às 15h. a) Entre as 9h e as 15h, quantas vezes mais os ponteiros formarão um ângulo reto? b) Que horas são em cada uma delas? (difícil) c) O mostrador do relógio tem um desenho com seis quadriláteros iguais. Qual é o nome desse quadrilátero? d) De que ângulos é formado? Vire para a Rua Surrey. Fase 7 Rua Surrey 21. Olhe para o topo do Banco de Yorkshire. Qual é o ângulo formado pelas direções definidas pelo olhar de grifos adjacentes?
8 22. Há uma velha cabine telefónica para a polícia na Rua Surrey. (a) Em que ano foi esta cabine usada pela primeira vez? (b) Qual é o produto dos algarismos desse número? (c) Se puder escolher quaisquer dois desses algarismos para fazer um número de 2 algarismos, quantos números diferentes pode obter? (d) Quais desses números são divisíveis por 4? 23. Como pode justificar que o ano de abertura da Ervanária Wicker não é um número primo? Entre na Praça Tudor. Fase 8 Praça Tudor e regresso ao ponto de partida 24. Uma das lojas tem umas grades muito interessantes, que parecem matemáticas. Com alguma imaginação, podemos possivelmente ver quatro números e três ou quatro símbolos matemáticos. (a) Pode com eles formar os números 3, 95 e 24? (b) Pode usar os símbolos para construir a expressão algébrica (7x - 6). Para que valores de x esta expressão é um número inteiro positivo? 25. (a) Quantos tamanhos diferentes de quadrados podem ser encontrados no painel de uma das janelas do primeiro andar da Biblioteca? (b) Quantos há de cada tamanho? (c) Quantos há ao todo?
9 26. Estas setas foram esculpidas na Biblioteca. (a) quantas vezes se cruzam as setas (incluindo os pontos escondidos pela fita)? (b) se mover uma seta, quantos mais cruzamentos pode obter? (c) qual é o número máximo de cruzamentos que pode obter se mover todas as setas? 27. O pub Graduate tem nas paredes exteriores algumas formas matemáticas interessantes. (a) Desenhe as que consegue ver. (b) Que forma consegue ver no meio da figura que tem 5 pontas? (c) Se a forma que tem 6 pontas estivesse perfeitamente desenhada, de que tamanho seria o ângulo formado por cada uma das pontas? FIM DO TRILHO (adaptado)
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deve ter a forma 2 3 5, com a, b e c inteiros, 0 a 8, é dessa forma. Cada um dos outros números possui um fator primo diferente de 2, 3 e 5.
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