Geometria analítica: descobrindo a reta que tange duas circunferências e entendendo a construção geométrica.

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Paula Carrilho Lombardi
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1 Geometria analítica: descobrindo a reta que tange duas circunferências e entendendo a construção geométrica. Sobre Ontem estava pensando em algumas funções interessantes para implementar em um editor de imagem vetorial e me veio em mente traçar guias tangenciando circunferências simultaneamente. Fiz uma busca rápida e encontrei apenas a construção geométrica (clique para abrir em nova aba) no blog O baricentro da mente. A construção A construção é relativamente simples, começamos com duas circunferências, sendo que uma não pode conter (completamente) a outra. No exemplo temos os pontos A(3,3) e B(16,) como centros de circunferências com raios 3 e 1, respectivamente.

2 Outra circunferência é criada para auxiliar o desenho, sendo que ela possui o mesmo centro que a maior e o raio resultante da subtração do raio maior e do menor. No exemplo teremos uma circunferência com centro em A e raio. Depois traçamos o ponto médio (C) entre os centros, no exemplo C(9,5 ;,5). Depois basta construir uma circunferência com centro em C e diâmetro AB. Usando o ponto A e os pontos de intercessão dos dois círculos auxiliares, traçamos duas retas, até a intercessão com o círculo maior.

3 Traçando os segmentos BD e BE e depois prolongando retas paralelas até os pontos em laranja (intercessões na circunferência maior) temos as duas retas que tangenciam simultaneamente as duas circunferências. A lógica da coisa

4 Toda construção geométrica não passa da representação de processos algébricos na forma de desenho. Essa forma que apresentei visa simplificar a construção transformando a circunferência menor em um ponto. Para que uma reta tangencie uma circunferência em um ponto P é preciso que o ângulo entre a reta e o segmento que parte do centro até P seja reto. Observe na figura acima a reta que passa pelos pontos de tangência F e E, considerando a formação do ângulo reto nesses pontos podemos afirmar que as semi-retas que partem do centro das circunferências até o ponto de tangência são paralelas entre si e perpendiculares à reta tangente. A reta que passa pelos pontos B e D é paralela à reta tangente, sendo perpendicular as retas vermelhas, mas com o diferencial de passar pelo centro da circunferência menor. A subtração dos raios existe simplesmente para deslocar a reta e permitir que ela passe pelo centro. Agora precisamos resolver mais um problema: como determinar o ponto onde passa a reta tangente no círculo criado pela subtração dos raios?

5 Uma propriedade interessante das circunferências é que unindo um ponto qualquer do perímetro com o segmento do diâmetro o triângulo formado será retângulo. Veja no exemplo acima. Aqui está a grande sacada dessa construção: considerando o segmento AB o diâmetro de uma circunferência de centro C temos que qualquer ponto de intercessão no perímetro dessa circunferência formará um triângulo retângulo.

6 Olhando por outra ótica: a reta que contém o cateto DB é tangente à circunferência de centro A e passa por B. Acompanhe abaixo: Agora basta criar uma reta paralela a reta do cateto BD e movê-la na reta que contém AD uma distância correspondente ao raio do círculo de centro em B. A matemática da coisa Dadas as circunferências c e d, com centros em A(1,7) e B(4,) e raios e, respectivamente, encontre que tangencia simultaneamente as circunferências.

7 Podemos desenhar o círculo auxiliar com centro em B, que deve ter raio = e marcar o ponto médio M entre os centros: M 1 + 4, 7 + M,5 ; 4,5 Podemos agora definir o raio da circunferência de diâmetro AB e centro em M: r = x a x b + y a y b r = 34 As equações que representam a circunferência de centro em M e a circunferência auxiliar de centro em B são: e: x 4 + y = f: x 5 + y 9 = 34 4

8 Desenvolvendo as equações, temos: e: x² 8x + y² 4y = 18 f: x² 5x + y² 9y = 18 Subtraindo as equações: t: 3x + 5y = 0 A reta t resultante está destacada de laranja na imagem abaixo e ela possui os dois pontos de intercessão das circunferências e e f : Isolando uma variável da reta e substituindo em e ou f, temos: y = 3x 5 x 8x + 3x 5 4 3x 5 = 18 x = 5 e x = y = 3 e y = 7 17

9 D 5, 3 e C 45 17, 7 17 Para descobrir as retas que tangem a circunferência auxiliar e basta encontrar as retas que contém os segmentos AC e AD, exemplificarei apenas para AD. A equação da reta s que contém AD que está destacada de laranja é: s: x + y = 8 Agora é hora de subir a reta de forma que ela tangencie as duas circunferências originais, vamos começar traçando o caminho por onde se dará o deslocamento, a reta v, que contém o segmento BD: v: x y =

10 O segmento que representa o deslocamento (representado pela fecha vermelha) possui o mesmo comprimento que o raio da circunferência c, já que ele é a parte do raio da circunferência d reduzida para formar a circunferência e, ambas concêntricas. Podemos imaginar o deslocamento como um vetor e decompor em um deslocamento vertical e outro horizontal, logo:

11 d t ² = d v ² + d h ² Tomando o deslocamento vertical como sendo x, e considerando a equação geral da reta, temos: Ax + By + C = 0 Para cada aumento de A vezes na horizontal (x) há um aumento de B vezes na vertical (y), logo: d h = x d v = B x A E para descobrir x: d t ² = x² 1 + B² A² Esses valores informam o deslocamento em vertical ou horizontal sobre um caminho retilíneo, e é notável que um deslocamento vertical apenas soma (ao subir) ou subtrai (ao descer) um valor d v no termo isolado (C). Já um deslocamento horizontal soma (para a esquerda) ou subtrai (para a direita) um valor d x A no termo isolado (C). Voltando ao exemplo temos que mover a reta s sobre a reta v, sendo suas equações na forma geral: s: x + y 8 = 0 v: x y = 0 Como o deslocamento ocorre sobre a reta v e possui o comprimento de, temos: ² = x² 1 + ( 1)² (1)² x = 1 ; d v = 1 ; d h = 1

12 Considerando a reta s deslocada para a direita e para cima: s : x + y 8 d x A d v = 0 s : x + y 10 = 0 E ai a reta que tange as duas circunferências citadas! Um caminho provavelmente mais simples seria após descobrir a reta que tange a circunferência auxiliar e o centro da menor circunferência manter o coeficiente angular (A), substituir na equação de um dos círculos originais, reduzir a equação para duas raízes e eliminar a possibilidade que não tange. Em anexo está um modelo interativo no Geogebra com essa construção.

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