Turma: Referências principais (nas quais a lista foi baseada): 1. J. Stewart, Cálculo II Pioneira Thomson Learning,

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1 2 0 Lista MAT Cálculo Diferencial e Integral II (2 0 semestre 2015) Turma: Referências principais (nas quais a lista foi baseada): 1. J. Stewart, Cálculo II Pioneira Thomson Learning, 2. A. Chiang, K. Wainwright, Matemática para Economia, 3. D. B. Júnior, Cálculo para ciências humanas, 4. S.T. Tan, Matemática Aplicada a Adminisraçao e Economia, 5. J. E. Weber, Matemática para Economia e Administração. 1 Parte Lista anterior Recorde conteúdo na Lista VII Máximos e mínimos absolutos Problema 1.1. Seja f(x, y) = 2x 2 +x+y 2 2 Determine os valores máximos e mínimos da função f na região D = {(x, y) R 2 /x 2 + y 2 4}. Problema 1.2. Determine os pontos críticos e valores máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D. 1) f(x, y) = 5 3x + 4y, D é a região triangular fechada com vértices (0, 0), (4, 0) e (4, 5) 1

2 2) f(x, y) = x 2 + y 2 + x 2 y + 4, D = {(x, y) R 2 x 1, y 1} 3) f(x, y) = 1 + xy x y, D é a região limitada pela parábola y = x 2 e a reta y = 4. 4) F (x, y) = 2x 3 + y 4, D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} Problema 1.3. Determine os pontos críticos e valores máximos e mínimos absolutos de f(x, y) = x 2 + y 2 + 2x + 1 no conjunto D = {(x, y) R 2 (x 1/2) 2 + y 2 4}. 1.3 Respostas da parte 1 Problema 1.1 Verificamos que ( 1/4, 0) é ponto de mínimo absoluto e o valor mínimo é f( 1/4, 0) = 17/8. O ponto de máximo global por sua vez é (2, 0) e o valor máximo é 8. Problema 1.2 1) Valor mínimo 7 = f(4, 0), valor máximo 13 = f(4, 5). 2) Valor máximo 7 = f(1, 1) = f( 1, 1),valor mínimo 4 = f(0, 0). 3) Valor máximo 3 = f(2, 4),valor mínimo 9 = f( 2, 4) 4) Valor máximo 2 = f(1, 0), valor mínimo 2 = f( 1, 0). Problema 1.3: O ponto crítico é ( 1, 0). O valor máximo é 49/4 = f(5/2, 0) e o valor mínimo é 0 = f( 1, 0). 2

3 2 Parte 2: 2.1 VIII- Plano tangente e o teorema da função implícita Problema 2.1 (*). Enuncie o teorema da função implicita para uma função g : R 2 R. Problema 2.2 (*). Enuncie o teorema da função implícita para uma função g : R 3 R. Problema 2.3. Determine a equação do plano tangente à superfície S no ponto p. (1) S = {(x, y, z) R 3 x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 21} e p = (4, 1, 1). (2) S = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 z 2 2xy + 4xz = 4} e p = (1, 0, 1). (3) S = {(x, y, z) R 3 z + 1 = x exp(y) cos(z)} e p = (1, 0, 0). Problema 2.4. Seja S = {(x, y, z) R 3 ( x 2 + y 2 3) 2 + z 2 = 1}. (1) Esboce a superfície regular S. (2) Seja p = ( 1(3 + 2 ), 3 ( tangente à S no ponto p. ), ). Determine a equação do plano Problema 2.5 (*). Dê uma interpretação geométrica do plano tangente à uma superfície regular. Problema 2.6 (*). Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva formada pela intersecção do parabolóide z = x 2 + y 2 com o elipsoide 4x 2 + y 2 + z 2 = 9 no ponto ( 1, 1, 2). Problema 2.7 (*). Determine a reta tangente à intersecção do cilindro x x 2 2 = 2 com o gráfico da função h(x 1, x 2 ) = x x no ponto (1, 1, 4). 3

4 2.2 Respostas da Parte 2 Problema2.1 (Teorema da função implícita em R 2 ) Seja g : Ω R 2 R uma função de classe C 1. Suponha que a curva de nível C = {(x, y) R 2 g(x, y) = c} é regular (i.e., o vetor gradiente não se anula ao longo de C.) Então para todo p C existe um ɛ > 0 tal que uma das afirmações abaixo é verdadeira: (a) B ɛ (p) C = {(x, y) R 2 y = h(x), x I} (b) B ɛ (p) C = {(x, y) R 2 x = h(y), y I} Além disto, a função h é de classe C 1 e o Item (a) acontece se g (p) 0 e y o Item (b) acontece se g (p) 0. x Problema 2.2 (Teorema da função implícita em R 3 ) Seja g : Ω R 3 R uma função de classe C 1. Suponha que a superfície de nível S = {(x, y, z) R 3 g(x, y, z) = c} é regular (i.e., o vetor gradiente não se anula ao longo de S.) Então para todo p S existe um ɛ > 0 tal que uma das afirmações abaixo é verdadeira: (a) B ɛ (p) S = {(x, y, z) R 3 z = h(x, y), (x, y) D} (b) B ɛ (p) S = {(x, y, z) R 3 x = h(y, z), (y, z) D} (c) B ɛ (p) S = {(x, y, z) R 3 y = h(z, x), (z, x) D} Além disto, a função h é de classe C 1 e o Item (a) acontece se g (p) 0 e z o Item (b) acontece se g g (p) 0 e o Item (c) acontece se (p) 0 x y Problema 2.3 1) 4x 2y + 3z = 21 2) 3x y + z = 4 3) x + y z = 1 Problema 2.4 (1) S é um toro. 4

5 (2) 2 2 (x 1 2 ( )) (y 3 2 ( )) + 2(z 2 2 ) = 0 Problema2.5 (Interpretação geométrica do plano tangente) Sejam g : Ω R 3 R uma função C 1 e c g(ω). Seja S = {(x, y, z) R 3 /g(x, y, z) = c} a superfície de nível associada ao valor c. Suponha que grad g(x) é diferente de zero para todo x S. a) Seja β : I R 3 uma curva parametrizada C 1 tal que sua imagem está contida em S e β(0) = p. Então o vetor velocidade de β está contido no plano tangente T p S da superfície de nível S no ponto p. b) Seja T p S o plano tangente a um ponto p S e v T p S. Então existe uma curva β de classe C 1 cuja a imagem esta contida em S e tal que o vetor velocidade β (0) = v. Problema 2.6 α(t) = ( 1 10t, 1 16t, 2 12t) Problema2.7 β(s) = (1, 1, 4) + s(1, 1, 0) 5

6 3 Parte IX- Multiplicadores de Lagrange Problema 3.1. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). a) f(x, y, z) = 2x + 6y + 10z; S = {(x, y, z) R 3 g(x, y, z) = 35} onde g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. b) f(x, y, z) = xyz; S = {(x, y, z) R 3 g(x, y, z) = 6} onde g(x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2. c) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ; S = {(x, y, z) R 3 g(x, y, z) = 1} onde g(x, y, z) = x 4 + y 4 + z 4. d) f(x, y, z) = x + 2y; C = {(x, y, z) R 3 g 1 (x, y, z) = 1, g 2 (x, y, z) = 4} onde g 1 (x, y, z) = x + y + z, g 2 (x, y, z) = y 2 + z 2. e) f(x, y, z) = yz+xy; C = {(x, y, z) R 3 g 1 (x, y, z) = 1, g 2 (x, y, z) = 1} onde g 1 (x, y, z) = xy, g 2 (x, y, z) = y 2 + z 2. f) f(x, y, z) = 3x y 3z; C = {(x, y, z) R 3 g 1 (x, y, z) = 0, g 2 (x, y, z) = 1} onde g 1 (x, y, z) = x + y z, g 2 (x, y, z) = x 2 + 2z 2. Problema 3.2. Sejam S = {(x, y, z) R 3 (x 2)2 9 +y 2 +z 2 = 1} e f(x, y, z) = (x 1) 2 + y 2 + z 2. a) Determine a equação do plano tangente a superfície S no ponto (3, 2 3, 2 3 ) b) Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f restrita a superfície S e os pontos onde f assume tais valores. Problema 3.3. Seja U(x, y, z) = xyz a função utilidade onde x, y, z representam o número de unidades das mercadorias A, B, C consumidas mensalmente por uma pessoa. Sejam R$2, 00, R$3, 00 e R$4, 00 os preços unitários de A, B, C respectivamente. Suponha que as despesas para mercadorias sejam R$90, 00. Quantas unidades de cada mercadoria de cada tipo devem ser adiquiridas para maximizar a utilidade? 6

7 Problema 3.4. Na teoria clássica da demanda, o problema do consumidor consiste em escolher uma cesta de maneira que ele obtenha o máximo de utilidade à sua restrição orçamentária. Considerando dois bens 1 e 2 e denotando por x 1 e x 2 as respectivas quantidades demandadas desses bens, admita que a função utilidade seja dada por: u(x 1, x 2 ) = x x Se o preço do bem 1 é $30, 00, o preço do bem 2 é $20, 00, a renda do consumidor é $100, 00 e esses bens são desejáveis, a restrição orçamentária é então dada por: 30 x x 2 = 100 Determine a cesta ótima para este consumidor. Problema 3.5. O problema da firma consiste em minimizar os custos de produção. Assim, se temos dois fatores de produção digamos 1 e 2 com respectivos preços $2, 00 e $5, 00, queremos encontrar a maneira mais barata de produzir um nível 10 de output. Se x 1 e x 2 são as respectivas quantidades usadas dos dois fatores e a função de produção da firma é dada por: f(x 1, x 2 ) = x x o problema da firma consiste então em minimizar 2 x x 2 de maneira que se obtenha o nível x x = 10 Determine a quantidade ótima a ser usada dos fatores 1 e Respostas da parte 3 Problema 3.1 a) Máximo f(1, 3, 5) = 70, mínimo f( 1, 3, 5) = 70. b) Máximo 2/ 3, mínimo 2/ 3 7

8 c) Máximo 3, mínimo 1. d) Máximo f(1, 2, 2) = , mínimo f(1, 2, 2) = e) Máximo 3/2, mínimo 1/2. f) Máximo 2 6 = f( 6 3, 6 2, 6 6 ), mínimo 2 6 = f( 6 3, 6 2, 6 6 ). Problema 3.2 a) 2 9 (x 3) (y 2 3 ) (z 2 3 ) = 0. b) O valor máximo é 16 e ocorre no ponto (5, 0, 0). O valor mínimo é 56/64 e ocorre na curva {(7/8, y, z) R 3 y 2 + z 2 = 55/64} Problema 3.3: x = 15, y = 10, e z = Problema 3.4: A cesta ótima será x 1 = 10 9 e x 2 = Problema 3.5: x 1 = e x 2 =

9 4 Parte X- Recordação: Integração a uma variável Problema 4.1. Calcule: (1) 1 0 x(x2 + 1) 3 dx (2) π/2 0 sin 3 (x) cos(x) dx (3) 3 0 x 1 + x dx (4) 5 1 x 2x 1 dx Problema 4.2. Calcule (1) 2 1 t2 t dx (2) 1 0 (y 2 +2y) 3 y 3 +3y 2 +4 dx (3) 15 0 w (1+w) 3 4 dw (4) 5 x 3 dx 2 (5) 1 1 x x dx (6) 3 0 (x + 2) x + 1 dx (7) 2 1 x 3 +2x 2 +x+2 (x+1) 2 dx (8) 1 sin(πx) cos(πx) dx 0 d 3 (9) dx x sin(t) dt (10) d dx x x 1 dt 3+t 2 d x 3 (11) dx 1 3 t2 + 1 dt d tan(x) (12) dx 2 1 dt 1+t 2 9

10 Problema 4.3. Utilizando o teorema do valor médio e o teorema fundamental do Cálculo I prove que se f : [a, b] R é contínua então existe c (a, b) tal que b f(x) dx = f(c)(b a) a Problema 4.4. Calcule: (1) x exp(x) dx (2) ln(x) dx (3) x 2 sin(x) dx (4) 2x (x+1) 2 dx (5) tan(x) dx (6) sec(x) dx (7) cos 2 (x) dx (8) sin 2 (x) dx (9) cos 3 (x) dx (10) sin 3 (x) dx (11) sec 4 (x) dx Problema 4.5. Calcule: (1) x exp(x) (1+x) 2 dx (2) x 2 exp(x) dx (3) t ln(t) dt (4) exp(x)(x + 1) 2 dx (5) x+1 (x+1) 2 +4 dx (6) exp(x) cos(x) dx (7) x 2 exp( x) dx 10

11 (8) ln(x+1) x+1 dx Problema 4.6. Ache a área da região limitada pelas curvas y = x 2 e y = x 2 + 4x. Problema 4.7. Uma função f : R R contínua por partes é chamada função freqüência se : (a) f 0 (b) f(x) dx = 1 A probabilidade de um evento x ocorrer em um intervalo [a, b] é definida por P (a < x < b) := b a f(x) dx Num estabelecimento de autopeças, a proporção de encomendas atendidas por dia tem uma função de freqüência dada por f(x) = 20(x 3 x 4 ) para x [0, 1] e f(x) = 0 para x / [0,1]. Qual a probabilidade de se atender menos de 20 por cento das encomendas num dia? 4.2 Respostas da Parte 4 Problema 4.1 (1) 15 8 (2) 1 4 (3) (4) 16 3 Problema 4.2 (1) 2 9 (27 2 2) (2) (3)

12 (4) 29 2 (5) (6) (7) 11 6 (8) 0 (9) sin(x) (10) 2 3+x 2 (11) 3x 2 3 x (12) 1 Problema 4.3: Defina F (x) = x f(t) dt. Pelo teorema do valor médio a existe c tal que F (c) = = F (b) F (a) b a b f(x)dx a b a Por outro lado, o teorema fundamental do Cáculo I implica que F (c) = f(c) O resultado segue então das equações acima. Problema 4.4 (1) x exp(x) exp(x) + C (2) x ln(x) x + C (3) cos(x)x 2 + 2x sin(x) + 2 cos(x) + C (4) 2 ln x x+1 + C 12

13 (5) ln cos(x) + C (6) ln sec(x) + tan(x) + C (7) x 2 + sin(2x) 4 + C (8) x 2 sin(2x) 4 + C (9) sin(x) sin3 (x) 3 + C (10) cos(x) + cos3 (x) 3 + C (11) tan3 (x) 3 + tan(x) + C Problema 4.5: (1) exp(x) 1+x + C (2) exp(x)(x 2 2x + 2) + C (3) 1 2 (t2 ln(t) 1 4 t2 + C (4) exp(x)(x 2 + 1) + C (5) 1 2 ln((x + 1)2 + 4) + C (6) 1 exp(x)(sin(x) + cos(x)) + C 2 (7) exp( x)(x 2 + 2x + 2) + C (8) 2(x + 1) 1/2 (ln(x + 1) 2) + C Problema 4.6: 8 3. Problema 4.7: 20( x4 4 x5 5 ) = 0,

14 5 Parte X-Aplicações da integral na economia Problema 5.1. Seja q = f(p) a função demanda onde p é o preço e q a quantidade. A função demanda é positiva, em geral decrescente e em geral existe M (preço máximo) tal que f(m) = 0. O excedente do consumidor (a partir do preço p 0 ) é definido como ec := M p 0 f(p) dp. (a) Seja p 0 < < p n = M uma partição por preços do intervalo [p 0, M] e defina p i = p i+1 p i. Defina ec(p i ) como sendo o gasto de um consumidor que consome f(p i ) produtos ao preço p i + p i menos o gasto de um consumidor que consome f(p i ) produtos ao preço p i. Em outras palavras, ec(p i ) mede a diferença do gasto de um consumidor que, apesar do aumento de preço p i no preço p i, continua consumindo a mesma quantidade de produtos (i.e., f(p i )) com o gasto do consumidor que consome f(p i ) produtos a um preço p i. Verifique que para uma partição com p i pequenos o excedente do consumidor pode ser aproximado por i ec(p i.) (b) Sejam p = f 1 (q) a inversa da função demanda e q 0 = f(p 0 ). Verifique que ec = q0 0 f 1 (q) dq p 0 q 0. (c) Seja p = 32 4q q 2 a inversa da função demanda. Ache o excedente do consumidor a partir de p 0 = 27. Problema 5.2. Seja p = 39 q 2 a inversa da função demanda. excedente do consumidor se Ache o (a) q 0 = 5 2. (b) O bem é gratuito, i.e., p 0 = 0. Problema 5.3. Seja q = g(p) a função que representa a quantidade q de um produto que pode ser ofertada por uma empresa de acordo com o preço p. A função oferta é positiva, em geral crescente e em geral existe m (preço 14

15 mínimo) tal que g(m) = 0. definido como O excedente do produtor (até do preço p f ) é ep := pf m g(p) dp. (a) Seja m = p 0 < < p n = p f uma partição por preços do intervalo [m, p f ] e defina p i = p i+1 p i. Defina ep(p i ) como sendo o ganho do produtor que oferta g(p i+1 ) produtos ao preço p i+1 menos o ganho de um produtor que consegue oferecer g(p i+1 ) produtos ao preço menor p i = p i+1 p i. Verifique que para uma partição com p i pequenos o excedente do produtor pode ser aproximado por i ep(p i.) (b) Sejam p = g 1 (q) a inversa da função oferta e q f = g(p f ). Verifique que ep = p f q f qf 0 g 1 (q) dq. (c) Seja p = (q +2) 2 a inversa da função oferta. Ache o excedente do produtor até o preço p f = 25. Problema 5.4. Seja p = 9 + q a inversa da função oferta. Ache o excedente do produtor com q f = 7. Problema 5.5. A quantidade demandada q conc e o preço correspondente p conc, sob condições de concorrência perfeita, são determinadas pela inversa da demanda p = 36 q 2 e pela inversa da oferta p = 6 + q2, i.e., o ponto 4 (q conc, p conc ) esta na interseção da curva demanda com a curva oferta. Determine os correspondentes excedente do consumidor e produtor. Problema 5.6. Sejam p = 20 3q 2 a função inversa da demanda e p = 2q 2 a função inversa da oferta. Ache o excedente do consumidor e excedente do produtor sob condições de concorrência perfeita. Problema 5.7. Sejam C(R) a função consumo, P (R) a função poupança, dc dp a propensão marginal a consumir e a propensão marginal a poupar. dr dr Suponha que R = C +P. Seja 1/3 a propensão marginal a poupar. Suponha que quando a renda é zero o consumo é 11. Ache a função consumo. Problema 5.8. Sejam K(t) a formação de capital, I(t) := dk o fluxo de dt investimento líquido. Se o fluxo de investimento líquido é I(t) = 15t 1/4 e o estoque de capital inicial em t = 0 é 30, calcule a função formação de capital. 15

16 5.2 Respostas da Parte 5 Problema 5.1: (c) 8 3. Problema 5.2 (a) 31 4 (b) Problema 5.3: (c) 36 Problema 5.4: 10 3 Problema 5.5: Neste caso o ponto (q conc, p conc ) coincide com o ponto (q 0, p 0 ) do excedente do consumidor e com o ponto (q f, p f ) do excedente do produtor. Assim sendo temos que excedente do consumidor é 32 6 e o excedente do produtor é 8 6. Problema 5.6: ec = 16, ep = 32 3 Problema 5.7: C = 2 3 R Problema 5.8: K(t) = 12t 5/

17 6 Parte XI Integral Dupla Problema 6.1. Calcule: (1) U yda onde U = {(x, y) R2 x y 2, x + y 2}. (2) U 1 da onde U = {(x, y) R 2 1 x 2, 0 y x} (x 2 +y 2 ) 2 Problema 6.2. O gerente de um cinema determina que o tempo médio de espera na fila para as pessoas comprarem entrada para um filme seja de 10 minutos e que depois de entrarem no cinema, o tempo médio que levam para comprar pipoca seja de 5 minutos. Supondo que os tempos de espera sejam independentes, determine a probabilidade de um espectador esperar menos de 20 minutos até se dirigir ao seu assento. Problema 6.3. Calcule: 1) 4 1 2) R 1} ln(2) ln(y) 2 1 dxdy exp(x)+1 y x 2 +y 2 da onde R = {(x, y) R2 0 x 1; 0 y x; x 2 + y 2 3) R (x2 + y 2 ) 3 2 da onde R = {(x, y) R Problema 6.4. Calcule o volume do sólido U: (1) U = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 z 18 x 2 y 2 } (2) U = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 z 1 x z} Problema 6.5. Calcule: (1) 1 1 x y dxdy 1 1 (2) 1 4 x 2 x2 0 3x + y 2 dydx x 1; x y x} 17

18 6.2 Respostas da parte 5 Problema: 6.1 (1) (2) (π + 2) 64 Problema 6.2: 2 exp( 2) exp( 4) (aproximadamente 75 por cento). Problema: 6.3 (1) 1 ln(2) (2) (3) 2 Problema:6.4 (1) 81π (2) 9π 8 Problema:6.5 (a) 8 3 (b) 4π 9 18