QUESTÕES ANPEC CÁLCULO A VÁRIAS VARIÁVEIS. 5. Em cada opção assinale se falsa ou verdadeira:

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1 QUESTÕES ANPEC CÁLCULO A VÁRIAS VARIÁVEIS QUESTÃO Calcule o comprimento do vetor z e que minimiza o valor da função QUESTÃO Ache os valores de e correspondentes ao máimo da função 0 0 e satisfazem a equação 5 Em cada opção assinale se falsa ou verdadeira: (0) 0 e () e () e () e 0 () e QUESTÃO Calcule o valor máimo que a função (, = + pode atingir quando e estão sujeitos às restrições + = e = - QUESTÃO Dadas as duas esferas representadas respectivamente por: z 6 8 z 0 0 e z 6 8 0z 0 Indique as afirmativas verdadeira ou falsas: (0) Ambas se situam inteiramente no primeiro octante () Sua interseção define um círculo situado num plano horizontal (paralelo a OXY) () O segmento de reta definido pelos seus centros é ortogonal ao eio vertical (OZ) () As esferas não se interceptam () As esferas são concêntricas QUESTÃO 5 Dada a função (, = 8, indique as afirmações verdadeiras e as falsas: (0) A partir do ponto (,0), o vetor (0,) indica a direção de maior crescimento da função () A partir do ponto (0,5), o vetor (,) indica a direção de maior crescimento da função

2 () A partir do ponto (0,), o vetor (-,-½) indica a direção de maior crescimento da função () A partir do ponto (,), o vetor (,) indica a direção de maior crescimento da função QUESTÃO 6 Indique, para o sistema abaio, quais as afirmativa verdadeiras e quais as falsas: 5 (0) Duas equações podem ser ignoradas ao mesmo tempo, sem que isso altere o conjunto de soluções do sistema () A quarta equação pode ser ignorada, sem que isso altere o conjunto de soluções do sistema () A primeira equação pode ser ignorada, sem que isso altere o conjunto de soluções do sistema () Há um número finito de soluções () O conjunto de soluções do sistema é vazio QUESTÃO 7 Dada a função z = + + sujeita à restrição + 6 =, determine o valor mínimo que ela pode obter QUESTÃO 8 Dado que a função z = (, é homogênea de grau um em seus argumentos, determine o seu valor quando = =, sabendo que, neste caso, 5 e QUESTÃO 9 8 Dada a epressão 000z 0, determine a razão /, quando z = / z QUESTÃO 0 Seja (, z Ache a soma dos valores absolutos dos z determinantes dos menores principais da matriz hessiana avaliada em = = z =

3 QUESTÃO Calcule o valor máimo da função (, 8, sujeita à restrição QUESTÃO Sabendo que a equação z z 9 define como função de e, calcule z z no ponto (0,-) QUESTÃO Calcule o valor mínimo da função: (,, ) QUESTÃO Seja a função (, Esta função: (0) Apresenta um ponto de máimo em (/, -/) () Apresenta um ponto de mínimo em (0, 0) () Apresenta um ponto de máimo em (/, 0) () Não apresenta ponto de sela QUESTÃO 5 Determine o grau de homogeneidade da função abaio: (, ln QUESTÃO 6 Dada a equação z 0, calcule z no ponto (,, z) = (-,, ) QUESTÃO 7 Ache a raiz característica de maior valor positivo da matriz simétrica proveniente da forma quadrática, 6 9

4 QUESTÃO 8 Seja a função F: homogênea do grau e diferenciável Dado F(,,) = 6, verifique se as afirmativas abaio são verdadeiras ou falsas (0) F(,6,8) = 6 () Se as derivadas parciais em relação às duas primeiras variáveis no ponto (,,) são respectivamente F (,,) = e F (,,) =, então concluise que F (,,) = () Com base nos valores das derivadas parciais F e F no ponto (,,) dados no item anterior, pode-se concluir que F (,6,8)/ F (,6,8) = () Seja i a elasticidade em relação a uma das variáveis Com base nas informações dadas, pode-se concluir que i i QUESTÃO 9 Indique se as afirmativas abaio são verdadeiras ou falsas (0) O valor máimo da função (, = + sujeito à restrição 9 é inferior a () O valor máimo da função (, = sujeito à restrição ( ) é superior a () O valor máimo da função (, = ( ) ( ) sujeito à restrição + = é igual a 9/ QUESTÃO 0 Indique se as afirmativas abaio são verdadeiras ou falsas (0) Dada a equação z cos ln(, pode-se afirmar que dz/d no ponto (,,z) = (0,0,) é menor que (0) Y (ln ln ) ( ) ln, então, Y '( e ) e / () ( ) 0 Então, no ponto (, = (,), d/d = 0 () () = tg(), então, d / d ( / ) QUESTÃO Considere a equação,,,, z,, z z z 0, que é satisfeita no ponto

5 Uma condição suficiente para aplicar o teorema da função implícita é que 0 em,, z,, z (0) Qual o valor de em,, z,,? z () Aplique o teorema da função implícita e calcule 60 z,, z,, () Aplique o teorema da função implícita e calcule em,, z,, z em QUESTÃO Determine o valor mínimo da função f(, sujeito à QUESTÃO Os itens abaio referem-se ao teorema da função implícita Julgue as afirmações: (0) Seja f (, ) Pelo teorema da função implícita, podemos epressar como função ( ) de se, e somente se, () Seja g(, ) 7 9 podemos escrever e suponha que 6 0 Então ( ) e, além disso, vale d d 6 () Seja h(, ) 6 5 Então d d ( 5 ) 8 5 () Seja z(, ) e suponha que > 0 Então ( d )( ) 60 d QUESTÃO A respeito das funções f: definidas abaio, responda V ou F (0) O valor mínimo da função f(,= sujeito à restrição +9 9 é inferior a - (menos um); () O valor mínimo da função f(,= - sujeito à restrição (-) + = é superior a zero; () O valor máimo da função f(,= (-) + (-) sujeito à restrição + = é superior a

6 QUESTÃO 5 Seja a função F: homogênea do º grau, e diferenciável Dados F,, 6, 6 /, e as derivadas parciais F,, 6 8 / e F, 6, 9, responda V ou F: (0) F(,6,9) =9 () F, 6, 9 6 () F,, 6 0 / 7 QUESTÃO 6 Tem-se a seguinte função de produção z f,, w w w Em um ponto em que as Produtividades Marginais de e de são e respectivamente, qual deve ser a quantidade de w para que a produção total seja? QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): sen( ) lim ; (, (0,0) (0) () Se f (, é o menor valor entre e, então f (, ; () Se f (, tem derivadas parciais de todas as ordens em torno do ponto f (-,) e se, e 7 (, (, 0 f,então, ; () Se f (, for diferenciável 0,0 e se sua derivada direcional em 0,0 na direção do vetor, for e, na direção de, for, então f 0,0 ; () A reta 6 é tangente a isoquanta de f (, e que passa pelo ponto 9,0 f f

7 QUESTÃO 7 Sendo dada a função f : R R :(, f (, 6, calcule o valor máimo de f (, sujeito às restrições: e QUESTÃO 8 A respeito das funções R n R abaio assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Dada f R : R, definida por f (,, z) e z, então o vetor gradiente de f no ponto ( 0,,0) é f ( 0,,0) (,/,/ ) ; () Dada uma função g : R R diferenciável homogênea do terceiro grau, sabe-se que no ponto (,,6) o vetor gradiente de g é g(,,6) (,,) Conclui-se que o valor de g neste ponto é g (,,6) ; () Dada uma função h : R R diferenciável, para cada ponto R associa-se implicitamente um ponto R por meio da epressão h(, Sabendo-se que no ponto h (,) (, ), então a derivada d d (,) R o vetor gradiente de h é é igual a (dois); () Dada a função f : R R, definida por f (,, define-se uma nova função F : R R pela regra: F(u) valor máimo de f (, sujeito à restrição / u / Então a derivada du df / calculada no ponto u / é igual a ; () O conjunto dos pontos em que a função h : R R, definida por h(, e, atinge seu valor máimo é uma parábola QUESTÃO 9 A respeito da função f (verdadeiro) ou F (falso): : R R, definida por f (, ( e (0) Essa função não possui ponto de mínimo global; () Os pontos de máimo global de f formam uma reta; () O valor máimo de f é superior a (um); () f (, d d 0 0 ; () lim f (, 0 para todo fiado QUESTÃO Considere a função no ponto (, assinale V F : diferenciável e F() denotando o gradiente de F Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

8 (0) Sabendo-se que F é estritamente côncava, e que no ponto (,, ) tem-se F (,,) 0 e F (,,) (,,5 ), conclui-se que seu valor no ponto (,,) satisfaz a F (,,) () Se F for homogênea do segundo grau e no ponto (,6,0) seu gradiente for F (,6,0) (,, ), conclui-se que seu valor no ponto (,,5 ) é igual a F (,,5) 6 () Dados o plano P {(,, ) ; 9} e a superfície S {(,, ) ; F(,, ) 9}, Se no ponto (,,5 ) tiver-se F (,,5) 9 e F (,,5) (,, ), conclui-se que o plano P é tangente à superfície S no ponto (,,5 ) () Dados o plano L {(,, ) ; 7} e a superfície H {(,, ) ; F(,, ) 7}, sabe-se que o plano L é tangente à superfície H no ponto (,, ) Isto posto, se F for estritamente convea, então, se F ( ) 7 para todo ponto L, (,, ) () Sabendo-se que F é ao mesmo tempo côncava e convea, e que no (,,7) tem-se F (,,7) (,, ), F (,,7) 6, pode-se afirmar que a forma funcional de F é necessariamente F,, ) QUESTÃO 0 Assinale V (Verdadeiro) ou (F) Falso: ( (0) A função f (, tem dois pontos críticos em ( 7 é paralelo ao plano z 0 0, para todo () O plano tangente à superfície z ponto,, ) () 5 () ( 0, 0 ) é ponto de mínimo de () Fiado 0, QUESTÃO (, f (,, se V ( é o valor máimo de ( 0, ), então '( 0 V Assinale V (Verdadeiro) ou (F) Falso: (0) Se definimos z(, em torno de ( 0, 0 ) pela equação (, z(, 0 z então ( 0, 0 ) é ponto crítico de z(, no,

9 () Se f (,, z) z z e z(, é definida em torno de (,, -)como função de (, ), em que z z 0, então f (,, z(, ) 6 (, (, ) () Se ( t) ( ( t), ( t), z( t)) c é uma curva diferenciável para c ( 0) (,, ) e ( t) ( t) z( t) ( t) 0 '(0) '(0) z'(0) 0 () No sistema de equações t tal que z, então 0 0 é possível definir as variáveis e como funções das variáveis e () No sistema de equações é possível definir as variáveis e como funções das variáveis e QUESTÃO Calcule o valor máimo da função f(, = +, sujeita à restrição g(, = / + / = 5 QUESTÃO Considerando a função f (,, assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) ( 0, 0 ) é ponto de mínimo de f no círculo ; () ( 0, 0 ) é ponto de mínimo de f no plano ; () (,0) é ponto de máimo de f no círculo ; (), é ponto de sela de f ; f para () (, QUESTÃO Calcule o valor máimo da função / f (,, z) ( z) sujeito a ++z = 90 QUESTÃO 5 Seja V(b) o valor máimo da função f(, sobre o conjunto determinado pela restrição g(,=b, em que f, g : são funções duas vezes continuamente

10 diferenciáveis e b é um parâmetro eógeno Se multiplicador de Lagrange quando b = 50 QUESTÃO 6 V ( b) b b, determine o Considere a região do plano B {(, / 6 e, 0} e a função f(, = Calcule a integral dupla f (, dd B QUESTÃO 7 Seja vz () a função que associa a cada z R, o valor máimo da função f (, na região (, R : 5 z Avalie as afirmativas: (0) A função v é positivamente homogênea de grau () A função v é derivável para z 0 () A derivada da função v em z é igual a 5 v () () v é crescente () v(0) QUESTÃO 8 Considere o problema (P) de maimização condicionada abaio: ma f (, sujeito a g(, ; ) b Os parâmetros reais b e são eógenos Suponha que as funções f e g são duas vezes continuamente diferenciáveis em todos os seus argumentos Suponha ainda que o gradiente de g (nas variáveis e nunca se anule Admita que eiste um único ponto crítico (*(b,),*(b,)), aqui epresso como função dos parâmetros Avalie as afirmativas: (0) Se g é linear nas variáveis e, então uma condição necessária, mas não suficiente, para que o ponto crítico seja solução é que a função f seja quasecôncava () Quando avaliados na solução do problema, os vetores gradientes de f e de g são paralelos () Seja o multiplicador de Lagrange do problema (P) e V(b,) a função-valor, ou seja, a função-objetivo avaliada na solução Se b varia em uma unidade infinitesimal, então V(b,) varia em unidades infinitesimais V () Se g(,;)= + e se *(b,)=0, então 0 () Se b >0, g(,;) =+ e f (,, então o multiplicador de Lagrange não depende de b

11 QUESTÃO 9 Encontre o valor de d dt t 0 0 dd t QUESTÃO 0 Seja 0, 0 o vetor que maimiza a função f, ln ln na região, R : 5 Calcule o valor de a 0 0 QUESTÃO Julgue as afirmativas: (0) Seja f (,, n ) uma função continuamente diferenciável definida em um conjunto A aberto não-vazio e S {(,, n) : g(,, n) b}, em que g é uma função continuamente diferenciável definida em A tal que seu gradiente nunca se anula, S e b é uma constante Se * (,, n ) é solução, então o gradiente de f em * é paralelo ao gradiente de g em * () Seja f (,, n ) duas vezes continuamente diferenciável Se f é côncava e n f (,, ) f (,, n ) 0, então n f (,, n ) ( i i ), para qualquer (,, n ) no domínio de f () Toda função estritamente quase-côncava é estritamente côncava, mas a recíproca não é verdadeira () Seja f (,, n ) duas vezes continuamente diferenciável Se f é estritamente quase-côncava, então S {(,, n) : f (,, n) c} é conveo, para qualquer constante c () Em um problema de otimização condicionada, se uma restrição não é ativa, o multiplicador de Lagrange associado é sempre não nulo QUESTÃO Resolva o seguinte problema de maimização condicionada: i 8zw ma s a z w,, z, w 0 i n * *