NONA LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo III. MATEMÁTICA DCET UESC Humberto José Bortolossi Derivadas Parciais

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1 NONA LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo III MATEMÁTICA DCET UESC Humberto José Bortolossi Derivadas Parciais (Entregar os exercícios [02] (a), [03], [07], [14] e [30] até o dia 14/07/2003) [01] Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções de duas variáveis abaixo. (a) z = f(r, s) = r 2 + s 2. (b) z = f(s, t) =t/s s/t. (c) z = f(x, y) =2x 4 y 3 xy 2 +3y +1. (d) z = f(t, v) =ln (t + v)/(t v). (e) z = f(x, y) =(x 3 y 2 ) 2. (f) z = f(x, y) =xe y + y sen(x). (g) z = f(x, y) =e x ln(xy). (h) z = f(x, y) =xcos(x/y). [02] Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções de três variáveis abaixo. (a) w = f(x, y, t) =(x 2 t 2 )/(1 + sen(3 y)). (b) w = f(x, y, z) =(y 2 + z 2 ) x. (c) w = f(r, s, v) =(2r +3s) cos(v). (d) w = f(r, s, t) =r 2 e 2 s cos(t). (e) w = f(x, y, z) =xe z ye x + ze y. (f) w = f(x, y, z) =xyze xyz. [03] Na figura (1) encontram-se os gráficos de três funçõesdeduasvariáveis: f, f/ x e f/ y. 1

2 z (a) x y z (b) x y z (c) x y Figura 1: Os gráficos de f, f/ x e f/ y. 2

3 Faça uma identificação entre os gráficos e as funções. [04] Para cada uma das funções abaixo verifique que w xy = w yx. (a) w = xyz. (b) w = xy 4 2 x 2 y 3 +4x 2 3 y. (c) w = x 2 /(x + y). (d) w = x 3 e 2 y + y 2 cos(x). (e) w = y 2 e x2 +1/(x 2 y 3 ). (f) w = x 2 + y 2 + z 2. [05] Resolva as questões abaixo. (a) Calcule w xyz para w =3x 2 y 3 z + xy 4 z 2 yz. (b) Calcule w tut para w = u 4 vt 2 3 uv 2 t 3. (c) Calcule w zzy para w = y ln(x 2 + z 4 ). [06] Resolva as questões abaixo. (a) Calcule 3 w/ z y 2 para w = x 2 /(y 2 + z 2 ). (b) Calcule 3 w/ z y x para w = sen(xyz). [07] (Função harmônica) Uma função z = f(x 1,...,x n )é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace 2 z x z x z x 2 n =0. Mostre que z = f(x, y) =x 3 3 xy 2 e z = g(x, y) =ln x 2 + y 2 são funções harmônicas. [08] Quais destas funções satisfazem a equação de Laplace (veja a questão anterior)? (a) z = f(x, y) =x 2 y 2. (b) z = f(x, y) =x 2 + y 2. (c) z = f(x, y) =xy. (d) z = f(x, y) =y 3 +3x 2 y. (e) z = f(x, y) =e x sen y. 3

4 [09] Se w = e c2t sen(cx), mostre que w xx = w t para todo real c. [10] Mostre que v = sen(kx) sen(ak t) satisfazaequação da onda 2 v t = 2 a2 2 v x 2. [11] Seja C a curva resultante da interseção do parabolóide z =9 x 2 y 2 com o plano x = 1. Determine a equação da tangente l a C no ponto P =(1, 2, 4). Esboce o gráfico do parabolóide, de C edel. [12] Calcule lim h 0 3+(x + y + h) 2 z (3 + (x + y) 2 z). h [13] Utilizando diretamente a definição de derivadas parciais, calcule f/ x e f/ y para as funções f dadas abaixo. (a) z = f(x, y) =x +2y. (b) z = f(x, y) =x 2 +3y 2. [14] Encontre f x (0, 0) e f y (0, 0) para x 3 + y 3 se (x, y) (0, 0), z = f(x, y) = x 2 + y 2 0 se (x, y) =(0, 0), e g x (0,y), com y R, para x 2 xy se (x, y) (0, 0), z = g(x, y) = x + y 0 se (x, y) =(0, 0). [15] Encontre f x (x, y) ef y (x, y) para as funções abaixo. (a) z = f(x, y) = (b) z = f(x, y) = y x y x ln(sen(t)) dt. e cos(t) dt. [16] Calcule todas as derivadas parciais de primeira ordem da função ( x ) u = g(x, y, z) =xz + e z t 2 e t dt. 4 0

5 [17] Calcule todas as derivadas de terceira ordem da função de produção Q =4K 3/4 L 1/4. Use o teorema de Young para acelerar o processo. [18] Seja z = f(x, y) =x 4 y 3 x 8 + y 4. (a) Calcule 3 z/ y x x, 3 z/ x y x e 3 z/ x x y. (b) Calcule 3 z/ x y y, 3 z/ y x y e 3 z/ y y x. *[19] O objetivo deste exercício é examinar uma função de classe C 1 para a qual a tese do teorema de Young falha: as derivadas parciais mistas não são iguais. Seja x 3 y xy 3 se (x, y) (0, 0), z = f(x, y) = x 2 + y 2 0 se (x, y) =(0, 0). (a) Prove que f se anula sobre os eixos x e y. Conclua então que ( f/ x)(0, 0) e ( f/ y)(0, 0) são iguais a zero. (b) Calcule f/ x e f/ y para pontos (x, y) (0, 0) e conclua que ( f/ x)(0,y)= y e( f/ y)(x, 0) = x. (c) Mostre que 2 f y x (0, 0) = ( ) f (0, 0) = lim y x y 0 (d) Mostre que 2 ( ) f f (0, 0) = (0, 0) = lim x y x y x 0 f f (0,y) x x y 0 f f (x, 0) y y x 0 (0, 0) (0, 0) = 1. =+1 e conclua que as derivadas parciais mistas de f não são iguais em (0, 0). (e) Calcule ( 2 f/ x y)(x, y) para(x, y) (0, 0). (f) Use o item anterior para mostrar que ( f 2 / x y)(x, x) =0para x>0. (g) Conclua que ( 2 f/ x y)(x, y)é descontínua na origem (0, 0) (assim, f não é uma função de classe C 2 )queé a hipótese do teorema de Young não se verifica. 5

6 [20] Seja z = f(x, y) =g(x) h(y) onde g e h são funções diferenciáveis de uma única variável. Encontre uma expressão para f/ x e f/ y. Dica: lembre-se como calcular uma derivada parcial de maneira prática! [21] Estabeleça os mesmos resultados da questão anterior com o uso direto da definição de derivadas parciais. [22] Qual é a diferença (se é que existe) entre 2 f/ x 2 e( f/ x) 2? [23] Calcule todas as derivadas parciais de ordem 1 da função z = f(x 1,...,x n )=x x 2 n. [24] Diga se cada uma das sentenças a seguir é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa. (a) Se f : R 3 R é uma função de classe C 1 satisfazendo f x (0, 0, 0) = 0, f y (0, 0, 0) = 0 e f z (0, 0, 0) = 0, então f(x, y, z) = 0 para todo (x, y, z) R 3. (b) Se f : R 3 R é uma função de classe C 1 satisfazendo f x (x, y, z) = 0, f y (x, y, z) =0ef z (x, y, z) =0paratodo(x, y, z) R 3,então f(x, y, z) =0paratodo(x, y, z) R 3. [25] Diga se cada uma das sentenças a seguir é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa. (a) Se f : D R 3 R é uma função de classe C 1 definida no conjunto aberto D = { (x, y, z) R 3 x<1 } { (x, y, z) R 3 x>2 } satisfazendo f x (x, y, z) =0,f y (x, y, z) =0ef z (x, y, z) =0para todo (x, y, z) D, então f(x, y, z) =0paratodo(x, y, z) D. (b) Se f : D R 3 R é uma função de classe C 1 definida no conjunto aberto D = { (x, y, z) R 3 x<1 } { (x, y, z) R 3 x>2 } satisfazendo f x (x, y, z) =0,f y (x, y, z) =0ef z (x, y, z) =0para todo (x, y, z) D e f(0, 0, 0)=0,então f(x, y, z) = 0 para todo (x, y, z) D. 6

7 [26] A Companhia ACME produz três tipos de roller skates. O custo em reais para se produzir x, y e z unidades de cada tipo de skate é c(x, y, z) = x +36y +47z. (a) O valor c/ x representa a taxa variação no custo devido ao acréscimo de uma unidade na produção do skate mais barato, sendo que os níveis de produção das outras unidades mais caras permanecem constantes. Encontre esta taxa. (b) Encontre c/ z eforneça uma interpretação. [27] Quando um poluente tal como óxido nítrico é emitido por uma chaminé de h metros de altura, a concentração C(x, y) (emµ/m 3 )dopoluente em um ponto P situado a y metros acima do chão e cuja projeção ortogonal sobre o chão está ax quilômetrosdabasedachaminépode ser representada por C(x, y) = a ( e b (y h)2 /x 2 + e b (y+h)2 /x 2) x 2 em que a e b são constantes positivas que dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão do poluente (veja a figura (2)). Suponha y P h 0 x Figura 2: Concentração de um poluente emitido por uma chaminé. que C(x, y) = 200 ( x e 0.02 (y 10)2 /x 2 + e 0.02 (y+10)2 /x 2). 2 Calcule e interprete C/ x e C/ y no ponto P =(2, 5). 7

8 [28] A análise de certos circuitos eletrônicos envolve a fórmula I = V R2 + L 2 ω, em que I é a corrente, V a voltagem, R a resistência, L a indutância e ω uma constante positiva. Calcule e interprete I/ R e I/ L. [29] A maioria dos computadores tem apenas um processador que pode ser utilizado para cálculos. Os supercomputadores modernos, entretanto, têm entredois a vários milhares de processadores. Um supercomputador multiprocessador é comparado a um computador uniprocessador em termos de speed up. A speed up S éonúmero de vezes mais rápido que um cálculo pode ser feito com um multiprocessador do que com um uniprocessador. A lei de Amdahl éumafórmula para determinar S: S(p, q) = p q + p (1 q), em que p éonúmero de processadores e q éafração de cálculo que pode ser realizada utilizando todos os processadores disponíveis em paralelo, isto é, usando-os de maneira que os dados sejam processados concomitantemente por unidades separadas. A situação ideal, paralelismo completo, ocorre quando q = 1. (a) Se q =0.8, ache o speed up quando p é igual a 10, 100 e Mostre que o speed up S não pode exceder 5, independentemente do número de processadores disponíveis. (b) Ache a taxa de variação de S em relação a q. (c) Qual a taxa de variação no item anterior se há paralelismo completo? Como o número de processadores afeta esta taxa de variação? A eficiência E de um cálculo por multiprocessador pode ser calculada pela equação S(p, q) 1 E = = p q + p (1 q). (d) Mostre que se 0 q<1, então E é uma função decrescente de p. Conclua que sem paralelismo completo, o aumento do número de processadores não aumenta a eficiência do cálculo. 8

9 [30] No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura T no instante t e à profundidade x pode ser dada aproximadamente por em que T 0, ω e λ são constantes. T = T 0 e λ x sen(ωt λx), (a) Calcule e interprete as derivadas parciais T/ t e T/ x. (b) Mostre que T satisfaz a equação unidimensional do calor: T t = k 2 T x, 2 com k =2λ 2 /w. [31] A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do sexo masculino com x anos de idade e y centímetros de altura, V pode ser aproximada pela fórmula V =27.63 x y. Calcule e interprete as derivadas parciais V/ x e V/ y. [32] Em um dia claro, a intensidade da luz solar às t horas após o nascente eà profundidade oceânica de x metros, pode ser aproximada por I(x, t) =I 0 e kx 3 sen(πt/d), com I 0 a intensidade da luz solar ao meio-dia, D a quantidade horas do dia com luz solar e k uma constante positiva. Se I 0 = 1000, D =12 e k =0.10, calcule e interprete as derivadas parciais I/ t e I/ x quando t =6horasex = 5 metros. [33] Em Economia, a elasticidade de preço de procura de um artigo indica areação dos consumidores a uma alteração no preço de mercado do artigo. Suponhamos que n artigos A 1, A 2,..., A n tenham preços p 1, p 2,..., p n, respectivamente, e que a demanda pelo artigo A k seja uma função q k dos preços p 1, p 2,..., p n : q k = f k (p 1,p 2,...,p n ). A elasticidade de preço do artigo A k é a função e k (que depende dos preços p 1, p 2,..., p n ) definida por e k = p k q k q k p k. 9

10 Mostre que se modelarmos a demanda q k com uma Cobb-Douglas q k = b k p a k,1 1 p a k,2 2 p a k,n n, ( ) onde a k,1, a k,2,..., a k,n são constantes não-negativas, então a elasticidade e k será uma função constante. Diz-se que o artigo A k é independente do artigo A j se uma variação no preço p k de A k não afeta a demanda q j de A j. Isto equivale à condição q j / p k = 0. Mostre que se a demanda q k é modelada pela Cobb- Douglas ( ), então A k é independente de A j se, e somente se, a j,k =0. Texto composto em L A TEX2e, HJB, 06/07/