Nota de aula 8 - Estado Plano de Tensões - Resistência dos Materiais II

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1 Nota de aula 8 - Estado Plano de Tensões - Resistência dos Materiais II Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo) MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF o. semestre de 011 Flávia Bastos RESMAT II 1/18

2 Caso particular do problema 3D Informações sobre este documento: Estes slides servem para auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo. Flávia Bastos RESMAT II /18

3 Caso particular do problema 3D Estado Plano de Tensões Figura: Caso particular do problema 3D Flávia Bastos RESMAT II 3/18

4 Expressões Gerais Caso particular do problema 3D ρ n = Ñ Vetor tensão total σ n = σ ρ n Ñ Tensão normal τ n = ρ n σ n Tensão tangencial No caso de problemas de estado plano de tensão, temos que: [ ] σxx τ = xy (1) σ τ xy σ yy Ñ = [ l x l y ] = [ cosα senα ] α ângulo que Ñ faz com o eixo x. () Flávia Bastos RESMAT II 4/18

5 Expressões Gerais Caso particular do problema 3D Temos então: { ρnx ρ ny } [ σxx τ = xy τ xy σ yy ] { cosα senα } (3) A tensão normal então fica: { ρnx = σ xx cosα + τ xy senα ρ ny = τ xy cosα + σ yy senα (4) σ n = ρ nx cosα + ρ ny senα = (σ xx cosα + τ xy senα)cosα + (τ xy cosα + σ yy senα)senα = σ xx cos α + τ xy senαcosα + σ yy sen α (5) Flávia Bastos RESMAT II 5/18

6 Expressões Gerais Caso particular do problema 3D Como: Chegamos a: { cos α = 1+cosα sen α = 1 cosα (6) σ n = σ xx + σ yy + σ xx σ yy cosα + τ xy senα (7) Flávia Bastos RESMAT II 6/18

7 Expressões Gerais Caso particular do problema 3D A tensão tangencial fica: τ n = ρ nx + ρ ny (ρ nx cosα + ρ ny senα) (8) τn = ρ nx(1 cos α) + ρ ny(1 sen α) ρ nx ρ ny senαcosα = ρ nxsen α + ρ nycos α ρ nx ρ ny senαcosα = (ρ ny cosα ρ nx senα) (9) τ n = ρ ny cosα ρ nx senα (10) Flávia Bastos RESMAT II 7/18

8 Expressões Gerais Caso particular do problema 3D Substituindo as expressões de ρ nx e ρ ny nesta fórmula: τ n = (τ xy cosα + σ yy senα)cosα (σ xx cosα + τ xy senα)senα = τ xy cos α + σ yy senαcosα (σ xx cosαsenα + τ xy sen α) (11) O que nos leva a: τ n = σ yy σ xx senα + τ xy cosα (1) Flávia Bastos RESMAT II 8/18

9 Caso particular do problema 3D Tensões Normais Principais A determinação das tensões principais pode ser feita a partir da equação característica para este caso. Sendo: [ ] σxx τ σ = xy (13) τ xy σ yy A equação característica que permite calcular as tensões principais escreve-se: ( ) det σ l Ĩ = 0 (14) σ onde σ l é a tensão principal e Ĩ [ é o tensor identidade de ] 1 0 segunda ordem Ĩ = 0 1 Flávia Bastos RESMAT II 9/18

10 Caso particular do problema 3D Tensões Normais Principais Ficamos então com: σ xx σ l τ xy τ xy σ yy σ l = 0 (15) (σ xx σ l )(σ yy σ l ) τ xy = 0 (16) cujas raizes são: σ ξ = σxx+σyy + σ l (σ xx + σ yy )σ l + σ xx σ yy τ xy = 0 (17) ( ) σxx σ yy + τ xy σ η = σxx+σyy ( σxx σ yy ) + τ xy Flávia Bastos RESMAT II 10/18

11 Caso particular do problema 3D Tensões Principais como valores extremos De: σ n = σ xx + σ yy + σ xx σ yy cosα + τ xy senα (18) dσ n dα = 0 σ xx σ yy senα + τ xy cosα = 0 (19) Que resulta em: tgα = que possui duas soluções α 0 e α 0 + π. τ xy σ xx σ yy (0) Flávia Bastos RESMAT II 11/18

12 Caso particular do problema 3D Tensões Principais como valores extremos Para a determinação do valor de σ n no plano com α dado pela solução da equação trigonométrica acima construimos o triângulo***: senα = cosα = τ xy (σ xx σ yy ) + 4τ xy (σ xx σ yy ) (σ xx σ yy ) + 4τxy (1) () Flávia Bastos RESMAT II 1/18

13 Caso particular do problema 3D Tensões Principais como valores extremos Substituindo na expressão de σ n resulta em: σ ξ,η = σ xx + σ yy ± (σxx σ yy ) + τ xy (3) O que mostra que as tensões principais são os valores extremos (máximo e mínimo) entre todas as tensões normais atuantes no ponto. Flávia Bastos RESMAT II 13/18

14 Caso particular do problema 3D Tensões Tangenciais Máximas A determinação dos valores extremos da tensão tangencial em um ponto é obtido através de: τ n = σ xx σ yy senα + τ xy cosα (4) dτ n dα = σ xx σ yy cosα τ xy senα = 0 (5) que resulta em: que possui duas soluções α 0 e α 0 + π. tgα = σ xx σ yy τ xy (6) Flávia Bastos RESMAT II 14/18

15 Caso particular do problema 3D Tensões Tangenciais Máximas A determinação dos extremos é feita a partir do triângulo*** (mnemônico): cosα = senα = τ xy (σ xx σ yy ) + 4τ xy (σ xx σ yy ) (σ xx σ yy ) + 4τxy (7) (8) Flávia Bastos RESMAT II 15/18

16 Caso particular do problema 3D Tensões Tangenciais Máximas que substituídos na expressão de τ n resulta: τ nmax/min = ± (σxx σ yy ) + τ xy (9) Pode-se constatar, subtraindo σ ξ de σ η, obtidos na página anterior, que: (σxx σ yy σ ξ σ η = De onde concluímos que: ) + τ xy (30) τ max = τ min = σ ξ σ η (31) Flávia Bastos RESMAT II 16/18

17 Caso particular do problema 3D Posição relativa entre as direções de σ nmax e τ max O ângulo α 0 onde as tensões normais são máximas é dado por: tg(α 0 ) = τ xy σ xx σ yy (3) E o ângulo α 0 onde as tensões tangenciais são máximas é dado por: tg(α 0 ) = σ xx σ yy τ xy (33) Multiplicando-se uma expressão pela outra, obtém-se: tg(α 0 )tg(α 0 ) = 1 (34) Flávia Bastos RESMAT II 17/18

18 Caso particular do problema 3D Posição relativa entre as direções de σ nmax e τ max Logo α 0 e α 0 diferem de π isto é: ou α 0 = α 0 + π α 0 = α 0 + π 4 (35) (36) Logo concluimos que os planos nos quais ocorrem as tensões normais extremas formam um ângulo de 45 o com os planos nos quais as tensões tangenciais são máximas. Flávia Bastos RESMAT II 18/18

19 Nota de aula 9 - Estado Plano de Tensões - Resistência dos Materiais II Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo) MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF o. semestre de 011 Flávia Bastos RESMAT II 1/16

20 Informações sobre este documento: Estes slides servem para auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo. Flávia Bastos RESMAT II /16

21 O par (σ n, τ n ) das tensões normal e tangencial em um plano qualquer, num estado plano de tensões gera uma figura no plano de coordenadas σ, τ que é conhecida como círculo de Mohr. Temos que σ n e τ n podem ser determinados por: { σn = σxx+σyy + σxx σyy cosα + τ xy senα τ n = σxx σyy senα + τ xy cosα Chamando σ m = σxx+σyy temos: { σn σ m = σxx σyy cosα + τ xy senα τ n = σxx σyy senα + τ xy cosα (1) () Flávia Bastos RESMAT II 3/16

22 Elevando cada um dos termos das igualdades anteriores ao quadrado e somando-os obtém-se: ( (σ n σ m ) + τn σxx σ yy = Chamando σ n = σ; τ n = τ e R = chegamos a: ) + τ xy (3) ( ) σxx σ yy + τ xy, (σ σ m ) + τ = R (4) que é a equação de uma circunferência no plano (σ, τ) com centro sobre o eixo σ no ponto σ = σ m = σxx+σyy e cujo raio é o valor de R acima descrito. Flávia Bastos RESMAT II 4/16

23 M -> Ponto que representa as tensões em torno de P na direção α. Da figura constatamos novamente que a máxima tensão tangencial vale: τ max = R = σ ξ σ η (5) Flávia Bastos RESMAT II 5/16

24 Expressão do círculo de Mohr a partir das tensões principais Considerando como ponto de partida as expressões de σ n e τ n obtidas em função de σ 1 e σ 3 temos: { σ n = σ ξ+σ η + σ ξ σ η cosθ τ n = σ ξ σ η senθ (6) A figura ao lado esclarece o significado dessas expressões. Estas expressões são obtidas das expressões anteriormente vistas para σ n e τ n nas quais fez-se σ xx = σ ξ, σ yy = σ η, τ x,y = 0 e usamos θ no lugar de α. Flávia Bastos RESMAT II 6/16

25 Expressão do círculo de Mohr a partir das tensões principais Chamando σ m = σ ξ+σ η, σ n = σ, τ n = τ e elevando ambas as expressões ao quadrado e somando-as resulta em: ( ) (σ σ m ) + τ σξ σ η = (7) ou ( σ σ ) ξ + σ η + τ = ( ) σξ σ η (8) que descreve o mesmo círculo desenvolvido anteriormente já que: σ xx + σ yy = σ ξ + σ η ( ) σ ξ σ η σxx σ = yy (9) + τ xy = R Flávia Bastos RESMAT II 7/16

26 Casos Particulares i) Estado de tração simples Todas as tensões normais em torno do ponto (em qualquer direção) são de tração. Neste caso: τ max = σ ξ já que σ η = 0! Flávia Bastos RESMAT II 8/16

27 Casos Particulares ii) Estado de compressão simples Todas as tensões normais em torno do ponto (em qualquer direção) são de compressão. Neste caso: τ max = ση já que σ ξ = 0! Flávia Bastos RESMAT II 9/16

28 Casos Particulares iii) Estado de cisalhamento simples Todas as tensões principais são iguais e de sinal contrário. τ max = σ η = σ ξ. Flávia Bastos RESMAT II 10/16

29 Casos Particulares iv) Estado de tensão uniforme ou hidrostático Neste caso σ ξ = σ η = σ e τ = τ max = 0. Flávia Bastos RESMAT II 11/16

30 Decomposição do tensor de tensão Dado um tensor de tensão σ, é possivel decompô-lo do seguinte modo: = σ h + σ σ D onde σ h Tensor de tensão hidrostático; σ Tensor de tensão desviador. D (10) Definindo-se σ como um tensor tal que trσ = 0 e, como já visto (em qualquer D sistema de eixos): D p 0 0 σ h = 0 p 0 (11) 0 0 p Flávia Bastos RESMAT II 1/16

31 Decomposição do tensor de tensão - Determinação das componentes σ h e σ : Se escolhemos as direções principais de D σ para sua descrição temos: σ = 0 σ 0 (1) σ 0 0 σ 3 Logo podemos escrever: = σ σ σ σ 3 = p σ 1 p σ p σ 3 p (13) Flávia Bastos RESMAT II 13/16

32 Decomposição do tensor de tensão Verificação: pela invariância da soma da diagonal principal do tensor de tensão temos que: σ 1 + σ + σ 3 = 3p + (σ 1 p) + (σ p) + (σ 3 p) (14) Escolhendo para σ tensor com traço nulo (soma da diagonal principal), temos que: D e que σ 1 + σ + σ 3 = 3p (15) p = σ 1 + σ + σ 3 3 (16) Flávia Bastos RESMAT II 14/16

33 Decomposição do tensor de tensão Ficamos com (para qualquer sistema de eixos!): p 0 0 σ h = 0 p 0 (17) 0 0 p e σ = σ h (18) D σ Obs: A parcela σ h é responsável pela variação de volume e a parcela σ D, chamada de tensor desviador, é responsável pela mudança de forma como se verá no estudo das deformações. Flávia Bastos RESMAT II 15/16

34 Decomposição do tensor de tensão Concluindo, podemos afirmar que, se = σ então: σ h = σ xx + σ yy + σ zz σ xx τ xy τ xz τ yx σ yy τ yz τ zx τ zy σ zz, (19) e: σ D = σ xx p τ xy τ xz τ yx σ yy p τ yz τ zx τ zy σ zz p com p = σ xx + σ yy + σ zz 3 (0) Flávia Bastos RESMAT II 16/16