Teorema da Divergência e Teorema de Stokes

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1 Teorema da Divergência e Teorema de tokes Resolução umária) 19 de Maio de 9 1. Calcule o fluxo do campo vectorial Fx, y, z) x, y, z) para fora da superfície {x, y, z) R 3 : x + y 1 + z, z 1}. a) Pela definição. Resolução: Uma parametrização de é por exemplo g :], π[ ], 1[ R 3 dada por gθ, z) 1 + z cos θ, ) 1 + z sen θ, z, uma vez que em coordenadas ciĺındricas a equação que define se escreve r 1+z. Uma vez que e g θ g 1 e e z sen θ 1 + z cos θ z1 + z ) 1 cos θ z1 + z ) 1 sen θ z cos θ, ) 1 + z sen θ, z aponta para fora de, concluímos que g induz a orientação correspondente à normal exterior unitária, e que portanto o fluxo de F para fora de pode ser calculado a partir de F n dv 1 π 1 π 1 + z cos θ, 1 + z sen θ, z) 1 + z cos θ, ) 1 + z sen θ, z dθdz 1 + z + 4z )dθdz 6π. b) Usando o Teorema da Divergência. Resolução: É fácil ver que F. A superfície é um pedaço de um hiperbolóide cujo eixo é o eixo dos zz, e o seu bordo é constituído por uma circunferência de raio 1 contida no plano z e uma circunferência de raio 3 contida no plano z 1. Para aplicar o Teorema da Divergência que só pode ser aplicado a superfícies 1

2 que limitam volumes), adicionamos a os dois círculos D 1 e D contidos nos planos z e z 1 e cujos bordos são e. A normal unitária indicada corresponde então à normal unitária exterior n ao volume V limitado por D 1 D. Note-se que, em D 1, n,, 1) e, em D, n,, 1). Por outro lado, Fx, y, ) x, y, ) e Fx, y, 1) x, y, ). Pelo Teorema da Divergência tem-se então F n dv + F n dv + F n dv F dv 3, D 1 D V ou seja, F n dv dv D 1 )dv D V D ). Como D é um círculo de raio 3, V D ) 3π, e portanto F n dv 6π, em conformidade com o nosso cálculo anterior. c) Usando o Teorema de tokes para campos vectoriais. Resolução: Note-se que F. Como F está definido em R 3, que é um conjunto em estrela, concluímos que F é um campo rotacional. e A é um potencial vector para F então devemos ter A x A y z Como é sabido, o facto de o potencial vector estar definido a menos de um gradiente permite-nos sempre assumir que uma das componentes deste se anula. Escolhemos por exemplo A 3. Então obtém-se A y x A z A xz + fx, y) A 1 yz + gx, y) z + f z g z Portanto podemos por exemplo escolher f g, e um potencial vector para F é então A yz, xz, ). Pelo Teorema de tokes, F n dv A dg + A dg onde as orientações de e devem ser compatíveis com a normal unitária n. Mais precisamente, deve ser percorrida no sentido directo quando vista do semieixo

3 positivo dos zz, e no sentido inverso. Uma parametrização para é gθ) cos θ, sen θ, ), e portanto π A dg,, ) sen θ, cos θ, ) dθ. Uma parametrização para é gθ) 3 cos θ, 3 sen θ, 1 ) ; o sentido de correspondente a esta parametrização é no entanto o contrário àquele que pretendemos, pelo que A dg π π 3dθ 6π. ) 3 sen θ, 3 cos θ, 3 sen θ, ) 3 cos θ, dθ Portanto mais uma vez concluímos que F n dv 6π.. Considere a superfície { x, y, z) R 3 : z } x + y 1, < z < 1. a) Calcule o fluxo de Fx, y, z) x + cosyz), y + e x +z, z + 1) através da superfície, no sentido da normal unitária cuja terceira componente é negativa. Resolução: Apesar do campo F ser algo complicado, é fácil ver que F 3. Portanto será conveniente usar o Teorema da Divergência. A superfície é um pedaço de um cone cujo eixo é o eixo dos zz, e o seu bordo é constituído por uma circunferência de raio 1 contida no plano z e uma circunferência de raio contida no plano z 1. Para aplicar o Teorema da Divergência que só pode ser aplicado a superfícies que limitam volumes), adicionamos a os dois círculos D 1 e D contidos nos planos z e z 1 e cujos bordos são e. A normal unitária indicada corresponde então à normal unitária exterior n ao volume V limitado por D 1 D. Note-se que, em D 1, n,, 1) e, em D, n,, 1). Por outro lado, Fx, y, ) x + 1, y + e x, 1) e Fx, y, 1) x + cos y, y + e x +1, ). Pelo Teorema da Divergência tem-se então F n dv + F n dv + F n dv F dv 3, D 1 D V ou seja, F n dv V 3dV 3 1)dV D 1 dv D 3V 3 V ) + V D 1 ) V D ). Como D 1 e D são círculos de raios 1 e, V D 1 ) π e V D ) 4π. Por outro lado, 1 z+1 π 1 [ ] r z+1 V 3 V ) rdθdrdz π dz 7π 3. 3

4 Logo, F n dv 3 7π 3 + π 4π. b) Usando o teorema de tokes, calcule o fluxo do campo vectorial Gx, y, z) y + z, x + z, x + y) através de, no sentido da normal unitária cuja terceira componente é negativa. Resolução: Note-se que G. Como G está definido em R 3, que é um conjunto em estrela, concluímos que G é um campo rotacional. e A é um potencial vector para G, i.e., se G A, então devemos ter A A y + z x + z x + y Como é sabido, o facto de o potencial vector estar definido a menos de um gradiente permite-nos sempre assumir que uma das componentes deste se anula. Escolhemos por exemplo A. Então obtém-se y + z x y x + z A 3 y + zy + fx, z) g f x + z A 1 xy y + gx, z) Portanto podemos por exemplo escolher fx, z) e gx, z) xz+ z. Um potencial vector para G é então ) A xz + z y y xy,, + zy. Pelo Teorema de tokes, G n dv A dg + A dg onde as orientações de e devem ser compatíveis com a normal unitária n. Mais precisamente, deve ser percorrida no sentido directo quando vista do semieixo positivo dos zz, e no sentido inverso. Uma parametrização para é gθ) cos θ, sen θ, ), e portanto A dg π π sen θ cos θ sen θ,, sen θ sen θ cos θ + 1 ) sen3 θ dθ. ) sen θ, cos θ, )dθ Uma parametrização para é gθ) cos θ, sen θ, 1); o sentido de correspondente a esta parametrização é no entanto o contrário àquele que pretendemos, pelo 4

5 que A dg π cos θ + 1 ) sen θ 4 sen θ cos θ,, sen θ + sen θ sen θ, cos θ, )dθ π Portanto 4 cos θ sen θ sen θ + 4 sen 3 θ + 8 sen θ cos θ ) dθ. G n dv. 5