Teoria das Estruturas I - Aula 07

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Henrique Lobo
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1 Teoria das Estruturas I - Aula 07 Arcos Isostáticos Definição e Tipos Casos Particulares de Arcos Equação do Arco Parabólico de 2º. Grau, Equação da Linha de Pressões e Arcos com Apoios Desnivelados Prof. Juliano J. Scremin 1

2 Aula 07 - Seção 1: Definição e Tipos 2

3 Arcos (1) Definição: Arco é uma estrutura linear de eixo curvo, situada em um plano vertical, vinculada em suas extremidades de modo a que estas não sofram translações, solicitada por cargas contidas no plano referido, provocando esforços de compressão, flexão e cisalhamento. Arco Triarticulado : arco isostático, com apoios fixos e descontinuidade interna do tipo rótula. Objetivo dos arcos: vencer grandes vãos com a redução dos esforços de flexão. 3

4 Arcos (2) 4

5 Arcos (3) 5

6 Tipos de Arcos Biengastado Triarticulado Biarticulado Viga Curva 6

7 Exemplos de Utilização 7

8 Nomenclatura 8

9 Aula 07 - Seção 2: Arcos Circulares 9

10 Viga Curva Biapoiada Carregada Verticalmente (1) Quando um arco é solicitado somente por cargas verticais, um recurso interessante é a utilização de uma viga análoga para auxílio no cálculo dos esforços: V S = V A senθ = P senθ/2 N S = V A cosθ = P cosθ/2 M S = V A (R Rcosθ) = PR(1 cosθ)/2 Diagrama de Momentos Fletores de uma Viga Análoga 10

11 Viga Curva Biapoiada Carregada Verticalmente (2) 11

12 Revisão do Círculo Trigonométrico 12

13 Mapeamento de Arcos Circulares (1) 13

14 Mapeamento de Arcos Circulares (2) 14

15 Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (1) Cálculo das Reações de Apoio: M A = V B. 2R PR = 0 V B = P/2 FV = V A P + V B = 0 V A = P/2 M C = H B. R + P/2. R = 0 H B = P/2 FH = H A H B = 0 H A = P/2 15

16 Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (2) Equacionamento dos Momentos Fletores: Trecho I : β entre 0 e 90 M I β = P 2 R Rcosβ P R senβ 2 M I β = PR 2 1 cosβ senβ 16

17 Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (3) Equacionamento dos Momentos Fletores: Trecho II : β entre 90 e 180 M I β = P 2 R Rcosβ P R senβ 2 M II β = M I β + PR cosβ M II β = PR cosβ senβ * O braço de alavanca da reação vertical P/2 é R + R cos β, porém, como β esta entre 90 e 180 seu cosseno é negativo sendo a distância calculada como R R cos β 17

18 Ideia Geral do Equacionamento de Cortantes e Axiais em Arcos 1. Fazer o somatório de todas as forçar verticais à esquerda da seção de análise (ΣVER); 2. Fazer o somatório de todas as forçar horizontais à esquerda da seção de análise (ΣHOR); 3. Decompor ΣVER e ΣHOR nos eixos Secante e Tangencial obedecendo a convenção de sinais para diagramas. OBS: a decomposição pode ser feita em relação tanto ao ângulo β quanto ao ângulo α indicados. 18

19 Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (4) Equacionamento dos Cortantes e Axiais: Trecho I : β entre 0 e 90 Em função de α: V I α = ΣVER. cosα - ΣHOR. senα N I α = ΣVER. senα- ΣHOR. cosα ΣVER = P/2 ΣHOR = P/2 Em função de β: V I β = ΣVER. senβ - ΣHOR. cosβ N I β = ΣVER. cosβ - ΣHOR. senβ 19

20 Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (5) Equacionamento dos Cortantes e Axiais: Trecho II : β entre 90 e 180 Em função de α negativo : V II α = ΣVER. cos( α) + ΣHOR. sen( α) N II α = ΣVER. sen( α)- ΣHOR. cos( α) Processando as substibuições -sen(α) = sen(-α) e cos(α) = cos(-α) ΣVER = P/2 P = P/2 ΣHOR = P/2 V II α = ΣVER. cos(α) - ΣHOR. sen(α) N II α = ΣVER. sen(α)- ΣHOR. cos(α) 20

21 Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (6) Equacionamento dos Cortantes e Axiais: Trecho II : β entre 90 e 180 Em função de β : V II β = ΣVER. cos(β 90 ) + ΣHOR. sen(β 90 ) N II β = ΣVER. sen β 90 - ΣHOR. cos(β 90 ) ΣVER = P/2 P = P/2 ΣHOR = P/2 21

cos α O ângulo α ser negativo NÃO INTERFERE na convenção de sinais e a mesma expressão válida para o intervalo de 0 a 90 também se aplica para 90 a 180. V I β = ΣVER.

22 Resumo do Equacionamento de Cortantes e Axiais (1) β entre 0 e 90 / α entre 90 e 0 V I α = ΣVER. cosα - ΣHOR. senα N I α = ΣVER. senα- ΣHOR. cosα β entre 90 e 180 / α entre 0 e -90 V II α = ΣVER. cos α- ΣHOR. senα N II α = ΣVER. senα- ΣHOR. cos α O ângulo α ser negativo NÃO INTERFERE na convenção de sinais e a mesma expressão válida para o intervalo de 0 a 90 também se aplica para 90 a 180. V I β = ΣVER. senβ - ΣHOR. cosβ N I β = ΣVER. cosβ - ΣHOR. senβ V II β = ΣVER. cos(β 90 ) + ΣHOR. sen(β 90 ) N II β = ΣVER. sen β 90 - ΣHOR. cos(β 90 ) O ângulo β ser maior do que 90 INTERFERE na convenção de sinais e fazem-se necessárias duas expressões: uma para intervalo de 0 a 90 e outra para 90 a

23 Resumo do Equacionamento de Cortantes e Axiais (2) Como equacionar cortantes e axiais no arco circular com equações válidas para todo o domínio de 0 a 180 no ângulo β? RESPOSTA: Dado que ângulo alfa não afeta a convenção de sinais de diagramas basta substituir a relação: α + β = 90 ou α = 90 β no equacionamento feito com alfa. V α = ΣVER. cosα - ΣHOR. senα N α = ΣVER. senα- ΣHOR. cosα V β = ΣVER. cos(90 -β) - ΣHOR. sen (90 -β) N β = ΣVER. sen(90 β) - ΣHOR. cos(90 -β) 23

24 Aula 07 - Seção 3: Arcos Parabólicos de 2 Graus e Uso da Viga Análoga 24

25 Arcos Triarticulados Parabólicos Um dos formatos mais comuns de arco triarticulado é o parabólico, sendo as posições y do arco definidas por uma equação do tipo: y(x) = a + b*x + c*x^2 Conhecidos 3 pontos da parábola é possível montar um sistema linear para definição da equação do arco. Ex., dados os pontos: (X1,Y1), (X2,Y2) e (X3,Y3): Y1 = a + bx1 + cx1 2 Y2 = a + bx2 + cx2 2 Y3 = a + bx3 + cx3 2 Y1 Y2 Y3 = 1 X1 X1 2 1 X2 X2 2 1 X3 X3 2. a b c 25

26 Arcos Triarticulados Carregados Verticalmente (1) Arcos triarticulados possuem reações horizontais em seus apoios denominadas Empuxo que podem ser quantificadas (também) fazendo uso da viga análoga antes mencionada. Arco Viga Análoga 26

27 Arcos Triarticulados Carregados Verticalmente (2) H = H A H B = 0 H A = H B = H M B = V A. L + Pi(L x i ) = 0 V A = + σ Pi(L x i ) / L = V Ao σ M A = 0 V B = V Bo Arco: M G = 0 V A. a σ Pi(a x i ) - H.f = 0 Viga Análoga: M Go = 0 V Ao. a σ Pi a x i = 0 H = M G0 f M27

28 Arcos Triarticulados Carregados Verticalmente (3) H A = H B = H M S (x) = M S0 (x) H.y(x) V S (x) = +V S0 (x) cosα (x) - H senα (x) Ns(x) = -V S0 (x) senα(x) - H cosα (x) Sendo o ângulo α também uma função da posição x, ou seja α(x) 28

29 Ângulo α(x) Conhecida a equação do arco y(x) é possível determinar o ângulo das tangentes do arco com a horizontal, em qualquer um dos infinitos pontos que compõe o arco contínuo por meio de: α(x) = arctg ( dy(x) / dx ) 29

30 Aula 07 - Seção 4: Equação da Linha de Pressões e Arcos com Apoios Desnivelados 30

Linha de Pressões A linha de pressões para um determinado carregamento permanente é a linha que define a geometria do arco de modo que este trabalhe somente com esforços normais.

31 Linha de Pressões A linha de pressões para um determinado carregamento permanente é a linha que define a geometria do arco de modo que este trabalhe somente com esforços normais. Um arco com estas característica é denominado arco funicular. Equação da Linha de Pressões: como a equação dos momentos fletores de um arco é função da equação do arco, fazendo M S (x) = 0 tem-se: y(x) = M S0 (x) / H Assim sendo, y(x) (equação da linha de pressões) pode ser escrita em função da equação de momentos fletores da viga análoga dividida pelo empuxo nas laterais do arco. 31

32 Arcos Triarticulados com Apoios Desnivelados H = M g f. cosα Fonte: 32

33 FIM 33

34 Exercício TE1-7.1 Para o arco triarticulado abaixo, obter as reações de apoio e os esforços Ms, Ns, e Qs: y = x² + 1.5x 34

35 Exercício TE1-7.2 Traçar o diagrama de momentos fletores para o arco parabólico de 2º grau abaixo: 35

36 Exercício TE1-7.3 Obter as equações da linha de pressões da estrutura triarticulada com os apoios A e B e articulação interna em C. Calcular a força normal na seção onde a tangente é nula: ( Viga Análoga ) 36

37 Exercício TE1-7.4 Para o arco parabólico de 2º grau triarticulado da figura abaixo determine: a) A equação do arco (considerar a origem do sistema cartesiano indicada na figura); b) As reações de apoio (V A, H A, V B, H B ); c) O momento fletor, o esforço cortante e o esforço normal na seção S indicada; 37

38 Exercício TE1-7.5 Traçar o diagrama de esforços axiais para o arco parabólico de 2º grau abaixo: 5,0 m 5,0 m 38

39 Exercício TE1-7.6 Obtenha as reações de apoio para o arco parabólico de 2º grau abaixo: 39

40 Exercício TE1-7.7 Determinar os momentos fletores, os esforços cortantes e os esforços axiais para o arco circular abaixo no ponto A e no ponto B bem como no ângulos β = 30, 60, 90, 120 e 150 (sentido horário): 40

41 Exercício TE1-7.8 Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço axial para o arco parabólico de segundo grau abaixo, determinando os valores destes esforços internos a cada 1 metro do eixo horizontal (x). 41

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