Geometria Analítica e Números Complexos DISCIPLINA. Estudando as quádricas. Autores. Cláudio Carlos Dias. Neuza Maria Dantas. aula

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1 DISCIPLINA Geometria Analítica e Números Complexos Estudando as quádricas Autores Cláudio Carlos Dias Neua Maria Dantas aula 15

2 Governo Federal Presidente da República Lui Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário de Educação a Distância SEED Ronaldo Motta Universidade Federal do Rio Grande do Norte Reitor José Ivonildo do Rêgo Vice-Reitor Nilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho Secretária de Educação a Distância Vera Lúcia do Amaral Secretaria de Educação a Distância- SEDIS Coordenadora da Produção dos Materiais Célia Maria de Araújo Coordenador de Edição Ary Sergio Braga Olinisky Projeto Gráfico Ivana Lima Revisores de Estrutura e Linguagem Eugenio Tavares Borges Marcos Aurélio Felipe Revisora das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva Revisoras de Língua Portuguesa Janaina Toma Capistrano Sandra Cristinne Xavier da Câmara Revisora Tipográfica Nouraide Queiro Ilustradora Carolina Costa Editoração de Imagens Adauto Harley Carolina Costa Diagramadores Bruno de Soua Melo Adaptação para Módulo Matemático Thaisa Maria Simplício Lemos Pedro Gustavo Dias Diógenes Imagens Utiliadas Banco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN Fotografias - Adauto Harley MasterClips IMSI MasterClips Collection, 1895 Francisco Blvd, East, San Rafael, CA 94901,USA. MasterFile MorgueFile Pixel Perfect Digital FreeImages FreeFoto.com Free Pictures Photos BigFoto FreeStockPhotos.com OneOddDude.net Stock.XCHG - Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central Zila Mamede Dias, Cláudio Carlos. Geometria analítica e números complexos / Cláudio Carlos Dias, Neua Maria Dantas. Natal, RN : EDUFRN, p. : il 1. Geometria analítica plana. 2. Geometria analítica espacial. 3. Números complexos. I. Dantas, Neua Maria. II. Título. ISBN CDU RN/UF/BCZM 2006/88 CDD Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utiliada ou reproduida sem a autoriação expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

3 Apresentação Nas aulas 4 (A elipse), 5 (A parábola) e 6 (A hipérbole), você estudou as cônicas: elipse, parábola e hipérbole. Nesta aula, vamos estudar as quádricas, que são, no espaço, o similar às cônicas no plano. Estudaremos basicamente seus nove tipos. Objetivos Ao final desta aula, esperamos que você esteja apto a identificar e representar geometricamente uma quádrica a partir de sua equação e, reciprocamente, dar à equação de uma quádrica, conhecida sua representação geométrica. Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos 1

4 Quádricas Vamos analisar a seguir as equações que representam os nove tipos de quádricas, com a finalidade de representá-las geometricamente. Para tanto, examinaremos a interseção dessas superfícies, com planos x m, y l, k paralelos aos planos coordenados estudados na aula 14 (Planos no espaço tridimensional). Reconhecidas tais interseções, chamadas de seções, tentaremos remontar a superfície a partir das mesmas. Vamos estudar a seguir os nove tipos de quádricas. 1º O cilindro elíptico: Ao estudar, na aula 4, a equação no plano, você verificou que se trata de uma elipse com eixos nos eixos coordenados. Agora, se considerarmos essa mesma equação no espaço, significa que queremos analisar o conjunto de pontos (x,y,) do espaço tais que, note que a variável é independente de x e y. Ora, isso significa que qualquer plano k, paralelo ao plano xy, intercepta a superfície numa elipse nesse plano, de equação, ou seja, é sempre a mesma elipse, porém em diferentes planos paralelos ao plano xy. Isso significa que a superfície pode ser reconstruída unindo-se os pontos dessas elipses em planos paralelos ao plano xy, por retas paralelas (geratries do cilindro) ao eixo, conforme ilustrado na figura a seguir. Nesse caso, o eixo é dito o eixo do cilindro. Nota Observe que quando a b c a equação da elipse se torna a equação do círculo x y r. Nesse caso, o cilindro di-se circular reto. R> -b a -a b y x R< Figura 1 O cilindro elíptico: 2 Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos

5 Veja na Figura 1 que quando y, fica e, quando x, tem-se, que são as extremidades dos eixos da elipse em cada plano k. Exemplo 1 Identifique e esboce o gráfico da quádrica, de equação y. Solução Dividindo os dois membros por 36, obtemos, o que resulta, ou seja,. Isso di que a variável x é livre e para cada valor m de, é uma elipse no plano x m. Pelo que vimos anteriormente, trata-se de um cilindro elíptico com eixo igual ao eixo x exibido na figura a seguir. x m < x y x x m > Figura 2 O cilindro elíptico Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos 3

6 2º. O cilindro hiperbólico: Se fosse no plano, a equação anterior representaria uma hipérbole simétrica em relação ao eixo y, com vértices nos pontos a) e a. Acontece que, nesse caso, queremos o conjunto dos pontos (x,y,) do espaço tais que. Repetindo o procedimento usado no caso anterior, verifica-se que os planos k interceptam a superfície segundo a hipérbole de equação nesse plano. Isso significa que para recompor a superfície liga-se as diferentes hipérboles nos planos paralelos ao plano xy por retas paralelas ao eixo, conforme ilustrado na figura que se segue. k > k> k -a a k < x k Figura 3 O cilindro hiperbólico: Atividade 1 Identifique e esboce o gráfico da quádrica dada pela equação x y 4 Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos

7 3º. O cilindro parabólico: y ax ; a Como nos dois casos anteriores, essa equação no plano xy representa uma curva, no caso, uma parábola, com vértice na origem, e simétrica em relação ao eixo y. Acontece que queremos identificar o conjunto dos pontos (x,y,) do espaço tais que y ax para qualquer valor de. Aqui, o procedimento é análogo aos anteriores. Ou seja, os planos paralelos ao plano xy de equações k interceptam essa quádrica segundo a parábola da equação y ax nesses planos. De modo que para refaer a superfície da quádrica basta ligar os pontos dessas parábolas por retas paralelas ao eixo, conforme mostrado na seguinte figura. y x Figura 4 O cilindro parabólico: y ax ; a> Atividade 2 Identifique e esboce o gráfico da quádrica de equação x by, b >. Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos 5

8 4º. O cone elíptico: Vamos analisar as interseções dessa quádrica com planos paralelos ao plano xy, isto é, por planos constante. Vejamos que para k> teremos, ou ainda,. Essa equação representa no plano k uma elipse de semieixos ak e bk. Isso significa que, à medida que o plano = k se afasta do plano xy, essas elipses vão aumentando de eixos. Isto é, quanto maior o valor de k, maiores os eixos das elipses. Observamos que se tivermos k <, fica mas, k k donde representa, no plano k, uma elipse de semi-eixos ak e bk, significando que à medida que o plano = k se afasta do plano xy os eixos dessas elipses crescem. Em resumo, os planos k, k > ou k < interceptam a quádrica em elipses, de modo que quanto mais distante esse plano está do plano xy, maiores são os eixos de tais elipses. Quando 0, tem se, ou seja, x y, que é a origem. Isso mostra que o plano xy intercepta a superfície apenas na origem. Para saber onde essas elipses se apóiam, vejamos que o plano y de equação x intercepta a quádrica segundo a curva de equação ou seja,,, que representa um par de retas no plano, x, passando pela origem. 6 Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos

9 Feitas essas análises, o esboço da quádrica é dado na Figura 5. k > x k > k < x k < Figura 5 O cone elíptico: Nota Na equação do cilindro elíptico, quando a b r, tem-se que os planos k interceptam a quádrica segundo um círculo, nesses planos, de raios rk e centros no eixo, o que é fácil de comprovar. Nesse caso, o cone é dito circular ou de revolução. Atividade 3 Identifique e esboce a quádrica dada pela equação x y. 5º. O elipsóide: Comecemos observando que para um ponto x,y, pertencer ao elipsóide, necessariamente, a x a,b y b e c c. Isso é claro, pois se fosse x a ou x a, teríamos, Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos 7

10 logo, donde nenhum ponto x,y, com x a ou x a pode pertencer ao elipsóide. Do mesmo modo, pontos x,y, com y b ou y b, bem como c ou c, não podem pertencer ao elipsóide. Veja que quando, então e, para que esteja sobre o elipsóide, devemos ter y,, ou seja, e pertencem ao elipsóide.. De modo análogo, A análise anterior nos permite concluir que, qualquer plano k, k > c paralelo ao eixo xy, ou qualquer plano y l, l > b paralelo ao eixo x, ou ainda, qualquer plano x m, m > a paralelo ao plano y onde k ou k, y l ou y l, x m ou x m, não interceptam a quádrica. Enquanto os planos e interceptam o elipsóide em, e. Portanto, para: k, c k c, temos, ou, a condição c k c di que. Logo, a equação anterior pode ser escrita como, que é a equação de uma elipse no plano k; y l, b l b, temos 8 Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos

11 , ou ainda, que é a equação de uma elipse no plano y l ; x m, a m a ou seja,,, que é a equação de uma elipse no plano x m. Esse estudo nos permite esboçar o elipsóide na Figura 6, na qual destacamos apenas as seções y constante e constante. c k -a -b b y a y l y l -c y k x Figura 6 O elipsóide: Nota Quando a b c r, o elipsóide torna-se uma esfera x y r. Enquanto, se apenas dois dos valores a, b e c são iguais, o elipsóide é dito um esferóide ou um elipsóide de revolução. Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos 9

12 Atividade 4 Identifique a quádrica dada pela equação x y e esboce o seu gráfico. 6º. O hiperbolóide de uma folha: Faendo k, obtemos ou, ou ainda, que representa uma elipse de semi-eixos. Vejamos que quanto maior o valor de k, maior é o eixo da elipse. Geometricamente, isso significa que os planos paralelos ao plano xy, quanto mais afastados desse plano estão, interceptam a quádrica em elipses com eixos cada ve maiores. Por outro lado, se y, temos, que representa uma hipérbole simétrica em relação ao eixo x. Enquanto se x, temos, 10 Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos

13 que representa uma hipérbole simétrica em relação ao eixo y. Isso significa que as elipses obtidas pela interseção dos planos paralelos ao plano xy se apóiam nessas hipérboles, conforme ilustrado na figura que segue. k > -b a -a k > b y k' < x k' < Figura 7 O hiperbolóide de uma folha: Nota Veja que para a b r a equação do hiperbolóide de uma folha é, isso significa que os planos k o interceptam em círculos de raios e centros no eixo, localiados nesses planos, chamaremos a quádrica de hiperbolóide de revolução de uma folha. Atividade 5 Descreva a quádrica dada pela equação x y r e esboce o seu gráfico. 7º. O hiperbolóide de duas folhas: Reescrevendo essa equação como, Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos 11

14 temos que, pois. Donde c, ou seja, c ou c (isto é, c), o que equivale a dier que os planos k com k < c não interceptam a quádrica. Portanto, substituindo k com kc na equação da quádrica, obtemos ou ainda, que é a equação de uma elipse no plano k, cujos eixos crescem à medida que o plano de equação k se afasta do plano xy. Para descobrirmos em que curvas tais elipses se apóiam, basta ver que, quando x, a equação da quádrica torna-se, que é uma hipérbole de vértices,c e,c. Com essas informações, é possível esboçar o gráfico da quádrica representado na seguinte figura. x k y k y k' x k' Figura 8 O hiperbolóide de duas folhas: Nota Quando a b r, a equação do hiperbolóide de duas folhas fica Desse modo, os planos k, k >c interceptam essa quádrica 12 Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos

15 segundo círculos de raio e centro no eixo. Por isso, diemos tratar-se de um hiperbolóide de revolução de duas folhas. Atividade 6 Identifique a quádrica de equação e esboce o seu gráfico. 8º. O parabolóide elíptico: Como, segue-se que, isso mostra que os planos k com k <, paralelos aos planos xy, não interceptam a quádrica. Mas, para k com k 0, tem-se, logo, se k, vem que x e y, ou seja, o plano xy que é o plano intercepta a quádrica na origem, enquanto para k >, obtém-se, ou ainda, Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos 13

16 que representa uma elipse com semi-eixos e, isso significa que, quanto maior o valor de k, isto é, quanto mais os planos k se afastam do plano xy, maiores são os semi-eixos da elipse. Por outro lado, substituindo x na equação da quádrica, obtemos, a qual representa uma parábola simétrica em relação ao eixo, mostrando que as elipses obtidas anteriormente se apóiam nessa parábola. Essas informações nos permite representar o gráfico da quádrica pela figura seguinte. y, x = b k > k > y x Figura 9 O parabolóide elíptico: Nota Quando a b r, a equação do parabolóide torna-se r x y. Isso significa que os planos k, k > interceptam a superfície nos círculos dados nesses planos com centros no eixo e raios. Nesse caso, a quádrica é chamada de parabolóide de revolução. Atividade 7 Descreva a quádrica representada pela equação y x e esboce o seu gráfico. 14 Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos

17 9º. O parabolóide hiperbólico: Ao invés de começarmos com os planos k, como fiemos para as quádricas anteriores, é conveniente começarmos analisando as seções com os planos y l paralelos ao plano x. Nesse caso, a equação passa a ser, que representa em cada plano y l uma parábola de vértice com concavidade voltada para baixo. Por outro lado, faendo x na equação inicial, obtemos que representa no plano y uma parábola com vértice na origem e concavidade voltada para cima. Veja que a interseção dessa parábola com cada plano y l é o ponto, que é o vértice de cada parábola descrita anteriormente, proveniente da interseção do plano y l com a quádrica. Ora, sabemos que o vértice de uma parábola é seu ponto de máximo ou de mínimo, conforme a parábola esteja com a concavidade voltada para baixo ou para cima, respectivamente. Feita essa observação, podemos concluir que a superfície em questão é obtida dependurando-se, pelo vértice, cada parábola no plano y l, na parábola no plano y, conforme ilustrado na Figura 10. y l < x 0, = y b y y l < x y y l > y l > Figura 10 O parabolóide hiperbólico: Nota Na equação do parabolóide hiperbólico, quando k, k, fica, que é a equação de uma hipérbole nesse plano, simétrica em relação ao eixo x, se k >. Daí a origem do nome hiperbólico para qualificar o parabolóide. Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos 15

18 Essa superfície é muitas vees chamada de uma sela, devido a sua aparência lembrar uma sela de cavalo. Exemplo 2 Dar o nome e a equação da quádrica representada pela figura seguinte. - x, y -y, x y x Figura 11 Representação de uma quádrica Solução É só observar que o plano y secciona a quádrica segundo a parábola de equações, enquanto o plano x a secciona segundo a parábola de equação y. Isso di que a quádrica é o parabolóide hiperbólico de equação uma sela montada sobre o eixo x., que representa Atividade 8 Identifique e esboce o gráfico da quádrica dada pela equação. Indique no gráfico as hipérboles obtidas pela interseção dos planos y e y com essa quádrica. 16 Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos

19 Exercícios 1 Se o ponto P(x,y, está sobre um cone elíptico, mostre que P t tx,ty,t, t, ainda está sobre esse cone, isto é, que a reta que passa pela origem e pelo ponto P t está totalmente contida no cone. Faça uma figura representativa de tal situação. 2 Mostre que, se um cilindro tem seu eixo paralelo ao eixo e se Px,y, é um ponto nesse cilindro, então a reta que passa por P e é paralela ao eixo está contida no referido cilindro. Ilustre esse fato com uma figura. Translação de eixos Observando bem as figuras que representam os nove tipos de quádricas estudadas, vemos que quase todas têm uma espécie de centro na origem. Acontece que em muitos casos essa espécie de centro está deslocada da origem, como mostra o exemplo 3. Exemplo 3 Identifique e esboce o gráfico da quádrica dada pela equação Solução x x y y Vamos usar a técnica de completar os quadrados em cada uma das variáveis x, y e. Para x, temos x x x xx x x xx Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos 17

20 Para y, vem y y y yy y y 2 y (y Para, fica Substituindo essas expressões na equação inicial, obtemos x y ou ainda x y o que dá. Introduiremos um novo sistema de coordenadas x', y' e ', sendo x'x y'y '. Assim, ficamos com, ou seja,. Sabemos que essa equação representa um elipsóide de semi-eixos e no novo sistema de coordenadas com centro na origem. Enquanto no velho sistema de coordenadas, o centro é o ponto C. A figura seguinte representa essa quádrica. Figura 12 O elipsóide de equação x xy y 18 Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos

21 Nota Di-se que o sistema x', y', ' anterior foi obtido do sistema x, y, pela translação do vetor. De um modo geral, dado um sistema de coordenadas x, y,, se x', y', ' são tais que x' x h, y' y k, ' l, diemos que esse sistema de coordenadas é obtido do antigo pela translação do vetor h,k,l. Veja que se um vetor v tem coordenadas (x,y, no antigo sistema, então as coordenadas x',y',' do vetor v', no sistema novo e de mesma extremidade que v, são obtidas observando que vtv', sendoth,k,l no sistema antigo. Isso significa que x,y,h,k,lx',y','x'h, yk', ' ou seja, x x' h x x h y y' k y' y k ' l ' l, o que justifica o termo translação usado anteriormente. A figura a seguir descreve geometricamente essa discussão. x t v v y y x Figura 13 Translação de eixos coordenados Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos 19

22 Observação 1 Usando a técnica de completar os quadrados, vamos verificar que qualquer equação do tipo, sendo A, B e C, representa uma quádrica. De fato, somando-se os termos e a ambos os membros dessa equação, obtemos ou ainda mas. Feito isso, podemos escrever a equação inicial como. Seja, 20 Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos

23 então, Introduiremos o novo sistema de coordenadas x', y', ', sendo. e chamando a equação transforma-se na equação padrão de uma quádrica, a saber. Caso G', obtemos Ax' By' C', que representa também a equação padrão de uma quádrica. Observe que a translação de eixos do sistema x, y, para o sistema x', y', ' foi feita através do vetor. Continuando os exercícios 3 Identifique e esboce o gráfico das quádricas representadas pelas equações: a) y y b) x x c). Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos 21

24 Resumo Nesta aula, estudamos as quádricas que são análogas no espaço às cônicas no plano. Vimos também que qualquer equação do segundo grau nas variáveis x, y, sem termos do tipo x, xy ou yx representa um dos nove tipos de quádricas tratados aqui. Auto-avaliação 1 No cone elíptico de equação, identifique e esboce os gráficos das seções dessa quádrica com os planos que contêm o eixo, isto é, os planos de equação y kx. 2 Identifique e esboce a interseção dos planos paralelos ao plano xy, isto é, dos planos k, com o parabolóide hiperbólico de equação a>0, b>. Considere os casos em que k > 0, k = 0 ou k < 0. 3 Diga o nome e a equação da quádrica representada na Figura 14. Figura 14 Representação de uma quádrica 22 Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos

25 Sugestões para a resolução dos exercícios 1. Basta verificar que cada ponto P t satisfa a equação do cone. 2. Dedua que qualquer ponto sobre a reta que passa por Px,y, e é paralela ao eixo é do tipo x,y,t, t. 3. a) Complete os quadrados para concluir que se trata de um cilindro elíptico com eixo paralelo ao eixo x e centro no ponto. b) Complete o quadrado na variável x para obter a equação de um cilindro parabólico. c) Ao completar os quadrados em x, y,, aparece naturalmente a equação de um hiperbolóide de uma folha. Referência SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Mcgraw Hill, v. Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos 23

26 Anotações 24 Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos

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