9º ANO FUNÇÕES. Função Quadrática. Nuno Marreiros

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1 Nuno Marreiros 9º ANO FUNÇÕES Função Quadrática

2 Ponto de partida Já foi estudada a função de proporcionalidade direta bem como a função de proporcionalidade inversa. Hoje vamos aprender e estudar um pouco da função quadrática. Mas para isso comecemos pelo seguinte resumo Proporcionalidade Direta y y k k k 0 k 0 Proporcionalidade Inversa k y k y k 0 k 0

3 Função quadrática Uma primeira abordagem à função quadrática pode ser feitas em conteto geométrico. Se designarmos por a medida do lado de um quadrado e por y a medida da área, tem-se y = 2. A cada valor positivo de corresponde um e um só valor y, designadamente, y = 2. Tendo em conta que um par ordenado genérico é do tipo (, y), podemos obter, para este eemplo, pares ordenados do tipo (, 2 ).

4 Função quadrática Vamos representar, no conteto do problema, graficamente a função y = 2 Usemos uma tabela de coordenadas: y = 2 0,5 0, ,5 2, ,5 6,25 3 9

5 Parábola Unindo sequencialmente os pontos obtemos uma curva ao qual se atribui o nome de PARÁBOLA. y = 2 0,5 0, ,5 2, ,5 6,25 3 9

6 Generalizando e aplicando As funções do tipo y = a 2, com a 0, são eemplos de funções quadráticas. Estas funções e as respetivas parábolas têm várias aplicações práticas, físicas ou teóricas no nosso dia-a-dia. As funções quadráticas são fundamentais, por eemplo, no estudo do movimento de projéteis (balística) e de modelos económicos, entre outras. Além disso, podemos encontrar arcos de parábolas em variadas estruturas arquitetónicas.

7 Influência POTÊNCIAS E do RAÍZES parâmetro a no gráfico de uma função quadrática Vamos estudar as funções do tipo y = a 2, com a > 0.

8 Influência POTÊNCIAS E do RAÍZES parâmetro a no gráfico de uma função quadrática Podemos concluir que: Todos os pontos estão sobre uma linha curva a que se chama parábola. O seu eio de simetria coincide com o eio dos yy. O valor de a influencia a abertura da parábola: quanto maior o seu valor, menor será a sua abertura, aproimando-se cada vez mais do seu eio de simetria. O ponto (0, 0), origem do referencial, pertence ao gráfico de todas as funções. Este ponto diz-se o vértice da parábola (ponto de interseção dela com o eio de simetria). Os pontos (1, a) e ( 1, a) pertencem aos gráficos destas funções. A concavidade da parábola está voltada para cima. y = a 2, com a > 0

9 Influência POTÊNCIAS E do RAÍZES parâmetro a no gráfico de uma função quadrática Vamos estudar as funções do tipo y = a 2, com a < 0.

10 Influência POTÊNCIAS E do RAÍZES parâmetro a no gráfico de uma função quadrática Podemos concluir que: Todos os pontos estão sobre uma linha curva a que se chama parábola. O seu eio de simetria coincide com o eio dos yy. O valor absoluto de a influencia a abertura da parábola: quanto maior o seu valor absoluto, menor será a sua abertura, aproimando-se cada vez mais do seu eio de simetria. O ponto (0, 0), origem do referencial, pertence ao gráfico de todas as funções. Este ponto diz-se o vértice da parábola (ponto de interseção dela com o eio de simetria). Os pontos (1, a) e ( 1, a) pertencem aos gráficos destas funções. A concavidade da parábola está voltada para baio. y = a 2, com a < 0

11 Influência POTÊNCIAS E do RAÍZES parâmetro a no gráfico de uma função quadrática Conclusão geral: y = a 2, com a 0 O parâmetro a influencia a abertura e o sentido da concavidade da parábola. Quanto maior for o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola.

12 Curiosidade A parábola faz parte de um conjunto de curvas designadas por cónicas. Cortes feitos por um plano numa superfície cónica determinam três tipos de cónicas: Hipérboles Parábolas Elipses Foi o astrónomo e matemático grego Apolonius de Perga ( a.c.) que batizou as cónicas com as designações ainda hoje usadas.

13 Função de Proporcionalidade Direta y y k k k 0 k 0 Ponto de chegada Função de Proporcionalidade Inversa k y k y k 0 k 0 Função Quadrática a 0 a 0 2 y a a y 2