Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT.

Transcrição

1 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 6 - Seção 6.5 do livro texto da disciplina: Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Função quadrática: uma propriedade notável da parábola slide 1/11

2 Números e Funções Reais Função quadrática: uma propriedade notável da parábola Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 Ao girarmos uma parábola em torno de seu eixo obtemos uma superfície conhecida como superfície parabólica. Essa superfície possui uma propriedade notável que descrevemos agora: Ondas (de calor, de luz, de rádio, etc.) quando refletidas numa superfície parabólica concentram-se no foco. Uma importante aplicação desta propriedade está nas antenas parabólicas. Quando estas estão apontadas para a posição estacionária do satélite, a grande distância faz com que os sinais emitidos sejam praticamente paralelos ao eixo da superfície da antena, os quais se refletem na superfície e convergem para o foco. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Função quadrática: uma propriedade notável da parábola slide 3/11

4 Analizaremos agora o fundamento matemático por tráz dessa propriedade. Inicialmente assumiremos o princípio segundo o qual, quando um raio incide sobre uma superfície refletora, o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Em nosso contexto, a superfície parabólica será substituída pela parábola obtida pela interseção dessa superfície com o plano que contém o eixo de rotação, o raio incidente e o raio refletido. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Função quadrática: uma propriedade notável da parábola slide 4/11

5 Definição A reta tangente à uma parábola no ponto P é a reta que tem em comum com a parábola somente esse ponto P e tal que os demais pontos da parábola estão em somente um dos semiplanos determinados por essa reta. Definição Definimos o ângulo entre uma reta e uma curva que se intersectam no ponto P como sendo o ângulo entre essa reta e a reta tangente à curva traçada pelo ponto de intersecção. É desta forma que interpretamos o ângulo de incidência e de reflexão. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Função quadrática: uma propriedade notável da parábola slide 5/11

6 Teorema Seja P = (x 0, y 0 ) um ponto da parábola dada pelo gráfico da função quadrática f (x) = ax 2 + bx + c. Então, a reta tangente à essa parábola no ponto P é a reta que passa por P e tem inclinação 2ax 0 + b. Ver livro texto página 140. Observação: Todas as retas paralelas ao eixo de uma parábola, embora tenham apenas um ponto em comum com a parábola, nenhuma delas é tangente pois há pontos da parábola em ambos semiplanos determinados por ela. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Função quadrática: uma propriedade notável da parábola slide 6/11

7 Lema Seja P = (x, y) um ponto da parábola dada pelo gráfico da função quadrática f (x) = ax 2 + bx + c e Q o pé da perpendicular baixada de P sobre a diretriz d. Então, a inclinação da reta FQ é 1 2ax+b (inversa-simétrica da inclinação da reta tangente em P). Observemos a figura abaixo: PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Função quadrática: uma propriedade notável da parábola slide 7/11

8 Demonstração: 1 o ) Se P for o vértice então a reta FQ é vertical e a tangente no ponto P é horizontal e portanto tem inclinação zero. 2 o ) Suponhamos que P não é o vértice da parábola. Isso significa que sua abcissa x não é igual a b/2a, e portanto 2ax + b 0. Para calcularmos a inclinação da reta FQ observamos que F = (m, k + 1 4a ) e Q = (x, k 1 4a ) onde m = b/2a e k é a ordenada do vértice da parábora. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Função quadrática: uma propriedade notável da parábola slide 8/11

9 Logo, a inclinação de FQ é igual a k 1 4a (k + 1 4a ) x m = 1 2a(x m) = 1 2ax + b. Isto significa que o segmento FQ é perpendicular à reta TT, tangente à parábola no ponto P. (ver o livro texto, lema 6.7, página 143) Finalizaremos demosntrando a propriedade geométrica da parábola na qual se baseiam as aplicações da superfície parabólica. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Função quadrática: uma propriedade notável da parábola slide 9/11

10 Teorema A tangente à parábola num ponto P faz ângulos iguais com a paralela ao eixo e com a reta que une o foco F a esse ponto. Demonstração: Seja Q o pé da perpendicular baixada de P sobre a diretriz d. Da definição de parábora segue-se que FP = PQ, logo o triângulo FPQ é isósceles. Como vimos no lema anterior, FQ é perpendicular à tangente, portanto essa tangente é bissetriz do triângulo FPQ. Desta forma, os ângulos F ˆPT e T ˆPQ são iguais. Logo AˆPT = F ˆPT. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Função quadrática: uma propriedade notável da parábola slide 10/11

11 . Até breve! PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Função quadrática: uma propriedade notável da parábola slide 11/11