Revisão de Pré-Cálculo PÁRABOLAS. Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni Departamento de Matemática, FEG, UNESP Lc. Ismael Soares Madureira Júnior

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1 Revisão de Pré-Cálculo PÁRABOLAS Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni Departamento de Matemática, FEG, UNESP Lc. Ismael Soares Madureira Júnior Guaratinguetá, SP, Março, 2018 Direitos reservados. Reprodução autorizada desde que citada a fonte. 1

2 EQUAÇÃO DA PARÁBOLA EIXO // OY y = a x² + b x + c Coeficiente a está relacionado a concavidade da parábola côncava para cima côncava para baixo 2

3 PARÁBOLA - CONCAVIDADE Quanto maior o valor do a mais fechada é a parábola Exemplos y = 5 x² y = 2 x² y = x² y = ½ x² y = 1/5 x² 3

4 PARÁBOLAS COM EIXO EM OY Termo linear ausente (b =0): y = a x² + c Coeficiente c é a interseção da parábola com o eixo y (x=0) Exemplos y = x² + 2 y = x² + 1 y = x² y = x² 1 y = x² 2 Parábolas relacionadas entre si por translação vertical. 4

5 PARÁBOLAS COM EIXO // OY y = a x² + b x + c Coeficiente b está relacionado a posição do eixo da parábola, localizado sobre a vertical x = b/(2.a). Exemplo y = x² 2x 3 A parábola tem simetria de reflexão em torno do seu eixo. 5

6 VÉRTICE DA PARÁBOLA O vértice é o ponto de retorno da parábola. A coordenada horizontal xv = b/2a é a média das raízes. A coordenada vertical yv é obtida 2 y v = ax v + bxv + c. 6

7 PARÁBOLAS E O DISCRIMINANTE y = a x² + b x + c, = b² 4 a c Os gráficos para a < 0 são uma reflexão no eixo x dos gráficos acima. 7

8 INTERIOR E EXTERIOR DA PARÁBOLA Região Interior da parábola (a > 0): y > a x² + b x + c Região Exterior da parábola (a > 0): y < a x² + b x + c 8

9 PARÁBOLAS Geometria Euclidiana A Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto dado (foco) e de uma reta dada (diretriz). A reta perpendicular a diretriz passando pelo foco é o eixo da parábola. O vértice é o ponto sobre o eixo a meia distância entre o foco e a diretriz. 9

10 PARÁBOLAS DIREÇÃO DO EIXO Escolhendo o eixo x paralelo a diretriz (portanto, o eixo y é paralelo ao eixo da parábola) pode se mostrar que a equação da parábola é y = a.x² + bx + c (veja Simmons). Escolhendo a diretriz paralela ao eixo y, o eixo x será paralelo ao eixo da parábola. A equação da parábola se torna x = a y² + b y + c. Exemplo: x = y² 6y

11 PARÁBOLAS EIXO NA HORIZONTAL Equação da parábola (linear em x, quadrática em y). x = a y² + b y + c. Se a > 0, côncava para a direita; se a < 0, côncava para a esquerda. Raízes reais da equação ay² + by + c = 0 fornecem os pontos de interseção da parábola com o eixo y (x = 0). Vértice localizado em (xv, yv) = ( /4a, b/2a). 11

12 PARÁBOLAS PROPRIEDADE DE REFLEXÃO Raio incidente paralelo ao eixo da parábola é refletido passando pelo foco. Sentido inverso: raios que saem do foco são refletidos na parábola de tal forma que se tornam paralelos ao eixo da parábola. 12

13 TANGENTE À PARÁBOLA Reta tangente a parábola em um ponto P é a reta no exterior da parábola e que intersecciona a parábola apenas em P. A reta tangente à parábola em P é a bissetriz das retas PF (F é o foco) e PD (D é o ponto no pé da perpendicular à diretriz que passa por P). 13

14 PARÁBOLA FUNÇÃO QUADRÁTICA f(x) = a x² + b x + c. Considere a > 0 (gráfico é côncavo para cima), então a função f é decrescente para x < xv e crescente para x > xv. Observe que em um ponto no intervalo em que a função é crescente (decrescente), a reta tangente tem inclinação positiva (negativa). No vértice, a tangente é horizontal (inclinação nula). Para a > 0, o vértice é um ponto de mínimo da função. 14

15 EXERCÍCIOS 1) Para cada item abaixo, determine: (i) a concavidade, (ii) o discriminante, (iii) as raízes reais, (iv) o eixo e (v) o vértice da parábola. Faça um esboço do gráfico a) y = 2 x². b) y = x² x. c) y = x² 2x 2. d) y = x² 4x + 4. e) y = x² + x + 1. e) x = y² 4. f) x = y² + y ) Faça um esboço das curvas e destaque a região limitada definida por elas. a) y x x² e y 0. b) y x², y + x 2 e x 0. 15

16 EXERCÍCIOS 1) Uma função é definida por partes conforme mostrado a seguir 4x, se x 1, f (x) = x² + 2x + c, se x 1 Determine o valor da constante c para que a função seja contínua em x = 1. 16

17 EXERCÍCIOS - Problemas de Otimização 1) A distância, s, entre dois barcos é dada em função do tempo, t, por s(t) = 400t 1600t Determine para qual instante de tempo a distância é mínima. Dica: use o fato que a função raiz quadrada é crescente e seu mínimo é atingido quando seu argumento é mínimo. Simmons, cap 4, seção 3, Exemplo 5 (economia) Ponto de retorno em Mecânica/Movimento. 17

18 WOLFRAM ALPHA Comandos com saída (resposta) gráfica Plot s = 400 t^ t Solve y > x² 2x 3 Tangent Line to y = x^2 at x = sqrt(2) 18

19 GEOGEBRA Para exibir o gráfico de s = 400 t^ t , Para exibir o interior da parábola y = x^2 2x 3, na janela de álgebra escreva a equação, o gráfico será exibido na janela gráfica. na janela de álgebra escreva a desigualdade, o programa irá sombrear a região na janela gráfica. Para exibir a reta tangente ao gráfico de y = x² no ponto ( 2, 2) Insira a equação e o ponto, No menu de retas, escolha reta tangente, Selecione o ponto e depois o gráfico. 19