Lista 1 - Conceitos Iniciais e EDO s de Primeira Ordem

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1 Lista - Conceitos Iniciais e EDO s de Primeira Ordem. Classi que as EDO s como lineares ou não-lineares. E ainda, determine a ordem e o grau de cada equação diferencial. (a) x x + 2 = sen(x) ; (b) = + e x ; (c) d3 dt 3 + td dt + cos2 (t) = t 3 ; (d) d2 r dt 2 = k, com k 2 R; r2 (e) d2 r + sen(t + ) = sen(t) ; dt2 (f) cosh (x) (4) +senh(x) 00 = 2; (g) (5) + 3 = e x ; (h) d cosh (x) 00 + x 3 sinh (x) = 4; 3 (i) t 4 d dt 3 + t 2 + = ln t 2. Veri que se a função = f (t) dada é solução da EDO (a) = e 3t, = 0; (b) = t 2 ln (t), t t = 0; (c) = e t + t 3, (4) = t; (d) = e x2 R x 0 e t2 dt + e x2, 0 2x = 3. Determine para que valor(es) de as EDO s que seguem possuem solução da forma (x) = e x (a) = 0 (b) = 0 4. Considere a EDO x x = 0 (#) Mostre que (a) as funções = x 2 e 2 = x 3 são ambas soluções da EDO (#); (b) qualquer combinação linear de e 2 é solução da EDO (#). 5. Considere a EDO 0 + p(x) = q(x) Sejam = (x) e = 2 (x) soluções da EDO homogênea e não homogênea, respectivamente.

2 2 (a) Mostre que = + 2 também é uma solução da EDO não homogênea. (b) Qualquer combinação linear do tipo = a + b 2 também é uma solução da EDO não homogênea? Justi que. 6. Com base no campo de direções, determine o comportamento de quando x! + (a) 0 = 2; (b) 0 = 2 + x 7. Resolva as EDO s separáveis dadas abaixo. (a) 0 = x2 ; (b) sen(x) = 0; (c) e x+ 0 = 3x; (d) x + e x d = 0; (e) e x d = e + e 2x ; (f) x p p + x 2 = 0; (g) x(x 2 + ) 0 + (x 2 ) = 0 8. Determine a solução das EDO s fracionárias dadas. (a) 2 + x + x 2 d = 0; (b) xd (ln x ln ) = 0; (c) x x 2 2 d = 0; (d) d = 2xe (x=) e (x=)2 + 2x 2 e (x=)2 9. Determine a solução das seguintes EDO s lineares (a) d + cos x = 0; (b) d + 2x + x 2 = + x 2 ; (c) cos (x) 0 + sen(x) = ; (d) 0 x + = (x + )2 ; (e) = x + e 2x ; (f) 0 + = xe x + ; (g) 0 + ( + 2x) e x2 = 0 0. Resolva o PVI dado e determine o maior intervalo sobre o qual a solução está de nida.

3 3 (a) d 2x = x; (0) = ; (b) t = sen(t) ; 2 = ; (c) 0 = (3x2 e x ) ; (0) = 2 5 (d) dr d = r2 ; r() = 2; (e) 0 = 2x + x 2 ; (0) = 2; (f) 0 = a + b; (0) = c; (g) p + t 2 d t 3 dt = 0; (0) =. Encontre uma solução contínua do problema de valor inicial 0 + = f(x), (0) = ; se 0 x onde f(x) = ; se x > 2. No problema de valor inicial 0 = 2, (0) = 0 ; determine o valor de 0 para que! 2 quando t! Resolva o PVI 0 a = be t ; (0) = 0 onde a; são constantes tal que a > e b é um número real qualquer. Que condição(ões) devemos impor sobre 0 para que lim (t) = 0? t!+ 4. Classi que as EDO s dadas como sendo de Bernoulli ou Ricatti. A seguir resolva as EDO s de Bernoulli. (a) x d + = 2 (b) p d + p 3 = ; (c) d = x + x2 ; (d) d + [ + t ( + t)] dt = 0; (e) (x ln x) 0 = 2 5. Resolva as EDO s de Ricatti, sabendo que = (t) satisfaz a equação dada. (a) 0 = 4 t 2 t + 2, = 2 t ; (b) d = e2x + ( + 2e x ) + 2, = e x ; (c) 0 = 2 cos2 (t) sen 2 (t) + 2, = sen(t) 2 cos (t) 6. Resolva as EDO s exatas.

4 4 (a) 2x x 0 = 0; (b) 3 2 sen (x) x + 3x cos (x) d = 0; (c) x 2 3 d + 9x 2 + x3 2 = 0; (d) cos (x) cos () 0 = sen(x)sen() tg(x) 7. Veri que que as EDO s abaixo não são exatas, mas mediante a multiplicação de um fator integrante elas podem ser reduzidas a EDO s exatas. A seguir, resolva-as. (a) 3x x 2 + x d = 0; (b) d = e x e x cotg () + 2cossec () ; (c) 4 x x + 4 d = Considere a EDO M (x; ) + 9 3x 2 cos (2x) d = 0 () (a) Determine uma função M = M (x; ) para que a EDO () seja exata. (b) Encontre a solução da EDO (), usando a função M obtida no item (a). 9. Considere a EDO ( x sen (x) + 2 cos (x)) + 2x cos (x) d = 0 () (a) Mostre que a EDO () não é exata, mas torna-se exata ao ser multiplicada pelo fator integrante (x; ) = x. (b) Obtenha a solução da EDO (). 20. Classi que cada uma das EDO s e resolva os PVI s abaixo. (a) x 2 d 2x = 3 4 ; () = 2 ; (b) (x + e x ) xe x d = 0; () = 0; (c) (x + ) 2 + (2x + x 2 )d = 0; () = ; (d) x + (x 2 4)d = 0; ( p 5) = (e) x + x 2 d =, () = 0 (f) (x + ) d + = ln x, () = 0 (g) sec () d + sen(x ) = sen(x + ), 3 = 2 2. Determinar a curva que passa pelo ponto P (; 2) e que possui em cada um de seus pontos o coe ciente angular igual a x + p x 22. Considere o PVI 8 < d = x 2 2( ) (2) = 0

5 5 (a) Encontre uma solução explícita para o PVI dado. (b) Determine o maior intervalo sobre o qual a solução encontrada no item (a) é válida. (c) Mostre que, se resolvermos a equação dada usando a condição inicial (2) = ; encontraremos duas soluções distintas para este PVI. Explique por que isso não contradiz o teorema da existência e unicidade de soluções. 23. Devido a uma maldição rogada por uma tribo vizinha, os membros de uma aldeia são gradualmente impelidos ao assasinato ou ao suicídio. A taxa de variação da população é 2 p p pessoas por mês, quando o número de pessoas é p. Quando a maldição foi rogada, a população era de 600 pessoas. Quando morrerá toda a população? 24. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes no instante t Após 3 horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 0 horas, 2000 bactérias. Qual era o número inicial de bactérias? 25. Inicialmente, havia 00 miligramas de uma substância radioativa. Após seis horas, a massa decresceu em 3% Supondo que a taxa de decaimento é proporcional à quantidade de substância no instante t; determine a quantidade remanescente após 24 horas. 26. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Observou-se que após hora houve uma redução de 0% da quantidade inicial da substância, determine a meia vida desta substância. 27. Certa indústria lança seus dejetos químicos em um rio que desagua num lago. Os dejetos causam irritação na pele quando sua concentração é superior ou igual a 20 partes por milhão (ppm). Pressionada pelos ecologistas do Greenpeace, fazem 30 dias que a fábrica parou de lançar dejetos, cuja concentração no lago foi estimada em 20 ppm. Hoje, veri cou-se que a concentração de dejetos no lago é de 60 ppm. Supondo-se que a taxa de variação de concentração de dejetos no lago é proporcional à concentração presente no lago em cada instante, quanto tempo ainda levará para se poder nadar sem o perigo de sofre irritação na pele? 20; se 0 t Uma força eletromotriz E(t) = é aplicada em um circuito em série 0, se t > 20 LR no qual a indutância é de 20 henrs e a resitência é de 2 ohms. Determine a corrente sabendo que a corrente inical é nula. 29. Uma força eletromotriz de 200 volts é aplicada a um circuito em série RC no qual a resitência é de 000 ohms e a capacitância é farads. Obtenha (a) A carga no capacitor se i(0) = 0; 4; (b) A carga e a corrente em t = 0; 005s; (c) A carga quando t! +

6 6 30. Um circuito LR possui indutor variável com a indutância de nida por t L = 0, se 0 t < 0 0, se t 0 Determine a corrente i (t), se a resitência é de 0; 2 ohm, a voltagem é E (t) = 4 e a corrente inicial é nula. 3. Um termômetro é removido de uma sala onde a temperatura ambiente é de 70 F e levado para fora, onde a temperatura é de 0 F. Após 2 minuto, o termômetro indica 50 F. Qual será a leitura no termômetro após minuto? Quanto tempo levará para o termômetro atingir 5 F? 32. Uma pequena barra de metal, cuja temperatura inicial é de 20 C, é colocada em um recipiente com água fervendo. Quanto tempo levará para a barra atingir 90 C se sua temperatura aumentar 2 em segundo? Quanto tempo levará para a barra atingir 98 C? 33. Arqueologistas usaram pedaços de madeira queimada ou carvão encontrados em um sítio para datar pinturas pré-históricas e desenhos nas paredes e no teto de uma caverna em Lascaux, França. Sabendo que a taxa de decaimento da quantidade de Carbono 4 (C-4) é diretamente proporcional a quantidade de C-4 presente em um instante de tempo t (em anos) e que a meia vida do C-4 é aproximadamente 5700 anos, determine a idade aproximada de um pedaço de madeira, se tivesse sido descoberto que 80% do C-4 haviam decaídos. 34. Um pequeno vilarejo tem 000 habitantes. Inicialmente, 80 pessoas tinham ouvido um boato. Após 4 horas, metade da população tinha ouvido o boato. Sabendo que um modelo para a propagação de um boato é que a taxa de propagação é proporcional ao produto da população que ouviu o boato pela não ouviu o boato, quanto tempo levou para que 90% da população já tivesse ouvido o boato? Respostas. - (a) linear, ordem 2 e grau ; (b) não linear, ordem e grau ; (c) linear, ordem 3 e grau ; (d) não linear, ordem 2 e grau ; (e) não linear, ordem 2 e grau ; (f) linear, ordem 4 e grau ; (g) não linear, ordem 5 e grau ; (h) não linear, ordem 3 e grau 2; (i) não linear, ordem e grau 3.

7 (a) É solução; (b) É solução; (c) É solução; (d) É solução. Dica Pelo teorema fundamental da cálculo R d x 0 f (t) dt = d (F (x) F (0)) = F 0 (x) = f (x) 3. - (a) 3 e 2; (b) 0, e (a) - (b) Não (a) (b) lim = x!+ 2 lim = + x! (a) 2 = 2 3 x + c; (b) = c cos(x) ; (c) = ln (c 3e x (x + )) ; (d) 2 + 2e x (x ) = c; (e) e ( ) + 3 e 3x + e x = c; (f) p p x 2 + = c; (g) = cx x (a) +2x = kx 2 ; (b) x + ln x = k; (c) 2 x 2 ln = +c;

8 8 (d) 9. - (a) = ce sin(x) ; (b) = x+c x 2 + ; (c) = k cos (x) + sin (x) ; (d) = c (x + ) + 2 x x2 + x; (e) = ce 3x + e 2x + x 3 (f) = ce x + 2 x2 e x + ; (g) = ce x2 x + e x2 9 ; 0. - (a) = 3 2 ex2 2, x 2 R; (b) = sin(t) t 2 cos(t) t + 2 4t 2 t 2, t > 0; (c) = 5 2 2p 4x 3 4e x + 3; 4x 3 4e x + 3 > 0; (d) r = 2 2 ln ; 0 < < p e; (e) 2 = 2 ln x ; x 2 R; (f) = ac+b a (e ax b) ; x 2 R; p5 p (g) = p3 2 p, t 2 t 2 2 ; 5 2. =, se 0 x 2e x, se x > 2. = ( 0 + 2) e x 2, 0 = = b a (a) Bernoulli, 3 = + cx 3 (b) Bernoulli, 3 2 = + ke 3 2 x (c) Ricatti. (d) Ricatti. (e) Bernoulli, = (a) = 2 t + ct 3 t=4 ; (b) = e x + ce x ; ln x ln x+2

9 9 (c) 6. - (a) x 2 + x 2 = k; (b) x cos (x) x 2 2 = k; (c) x 3 3 arctan (3x) = k; (d) ln jcos (x)j + cos (x) sin () = k (a) x x2 2 = c; (b) e x sin () + 2 = c; (c) x 4 + 3x + 4 = c (a) M = 2 sin 2x 3 + c; (b) (a) cos (2x) x3 + 9 = k (b) x 2 2 cos x = k (a) Bernoulli, = 3 q 5x ; 9+49x 5 (b) Fracionária, = x ln (ln (x) + ) ; (c) Exata, x3 3 + x2 + x = 0; (d) Separável, 2 = ln x ; (e) Bernoulli na variável x, x = 2 2 e 2 2 ; x ln x x + 2 (f) Linear, = ; x + (g) Separável, ln jcossec () cotg ()j = sin x q x + ln x 2 p 2 ln 2 = q x (a) = x ; p p (b) 2 + 2; ; (c) Note que em = a função f (x; ) = x 2 2( ) não esta de nida.

10 meses bactérias miligramas 26. 6; 6 horas ,5 dias. t 60 60e 0 ; 0 t i(t) = 60 (e 2 ) e t 0 ; t > (a) q (t) = 0; 2e 2t + 0; C; (b) i (0; 005) = A e q (0; 005) = 0; 098 C; (c) lim q (t) = 0; C. t!+ 30. i (t) = 20 5 (0 t)2, se 0 t < 0 20, se t 0 3. T () = 36; 76 F ; s e 45; 7s 33. t = 3236 anos. 34. '7h e 36 min. 0