LEEC Exame de Análise Matemática 3

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1 LEEC Exame de Análise Matemática 3 0 de Janeiro de 005 Justifique cuidadosamente todas as respostas Não é permitida a utilização de máquina de calcular O tempo para a realização desta prova é de horas Cotações: Parte : Cada pergunta vale um valor Parte : Cada pergunta vale um valor e meio As respostas devem ser apresentadas nos seguintes quatro grupos de folhas separadas, a cada um dos quais está associado uma folha dupla: Grupo - Perguntas a 5; Grupo - Perguntas 6 a 8; Grupo 3 - Perguntas 9 a ; Grupo 4 - Perguntas 3 a 6 FLP JBS JDL PARTE Verifique quais das seguintes funções são holomorfas fz = Imz + irez gz = Imz irez Resposta Como fz = Imz + irez, com z = x + i, tem-se fx + i = + ix, logo ux, = Refz = e vx, = Imfz = x As condições de Cauch-Riemann não são verificadas em nenhum ponto x, : x = 0 = v e = v x = Pelas condições de Cauch-Riemann concluí-se que a função fz não é derivável em nenhum ponto, logo não é holomorfa em nenhum ponto Analogamente, como gz = Imz irez tem-se gx + i = ix, logo ux, = e vx, = x Note-se que u e v são funções diferenciáveis As condições de C-R são neste caso verificadas para todo o ponto x, : x = 0 = v e = = v Concluí-se que a função gz é derivável em C, logo x holomorfa em C Esboce o caminho definido por t = 3i 4 + e it, t 0, π Usando a fórmula de Cauch, calcule o integral zz + dz Resposta O caminho é uma circunferência centrada no ponto z = 3i 4 e raio igual a percorrida no sentido horário A função zz + = é holomorfa em C {i, 0, i} zz + iz i Uma vez que apenas o ponto z = i está no interior do conjunto delimitado pelo lacete, escolhe-se fz = para aplicar da fórmula de Cauch zz + i

2 Assim, obtem-se: zz + dz = fz = πfi = πi z i O sinal negativo deve-se ao facto do sentido do caminho ser o oposto ao sentido directo são convergentes porque as sucessões correspondentes são al- i n 3 Estude a convergência da série n n= i n Resposta Note-se que n = i i i 5 = n n n= n= n n+ Ambas séries e n n n= n= ternadas e de termo geral a convergir para zero i n+ + n Logo, como uma série complexa converge se e só se as séries associadas à sua parte real e à sua parte i n imaginária convergirem, a série n é convergente n= 4 Desenvolva a função fz = z + z + i Qual o raio de convergência? em série de potências em torno da origem Resposta Note que, dividindo os polinómios do numerador e do denominador e alguma manipulação, se tem fz = z + z + i = + i z + i = + i i iz = + i iz Como iz = i n z n, tem-se que z + z + i = i + i i n z n O desenvolvimento é válido no conjunto z < i, logo o raio de convergência é R = n= 5 Aplicando o teorema dos resíduos, calcule o integral + x + x + dx Resposta Seja fz = z Observe-se que f tem como singularidades os pontos z = + i + z + e z = i Uma vez que f não tem singularidades no eixo real do plano complexo, tem-se que + fxdx = fzdz = πi Res zk f, onde os z k, k =,,, são as singularidades da função k fz no semi-plano superior e é um lacete orientado no sentido directo e que engloba todo o semiplano superior Logo, simples, Logo, + + x + x + dx= πi i = π fxdx = πi Res +i f Como a singularidade z = + i é um polo Res +i f = lim z +i z i = i 6 Resolva equação diferencial de primeira ordem + x = x e Indique o domínio da solução

3 Resposta Equação de variáveis separáveis e = e dx = x + x x + x dx = + x dx e x = x arctanx + C x = ln arctanx x + K O domínio da solução é {x R : arctanx x + K 0} Note que dividindo o polinómio x pelo polinómio x + se obtem x + x = Esta conclusão + x também pode ser obtida notando que = + x + x = + x + x + x 7 Resolva a equação diferencial de primeira ordem = 4x 4x + Resposta Equação homogénea de grau = 0 torna a equação trivial x Seja 0 Logo x = fx, := A equação é homogénea de grau uma vez que, t R, ftx, t = fx, Seja xz = Então, xz + z = = 4 z 4 z + Donde xz = z3 + z 4z + 4 z = z z + 4 z Logo dx x = z dz z z + 4 = 5 dz 4 z + 5 z + dz z + 4 Integrando, obtem-se ln x = 5 ln z + 5 ln z arctan z K = x x x 5 e 5 arctan x + C Ou seja, 8 Escreva uma base para o sistema fundamental de soluções e determine a solução geral da equação diferencial ordinária + + = 0 Determine a solução particular para 0 =, 0 = Resposta Equação linear de grau O polinómio característico é: r +r+ = r++ir+ i Logo a base para o sistema fundamental de soluções poderá ser constituida pelas funções: x = e x cosx, x = e x sinx A solução geral é: x = c x + c x = e x c cosx + c sinx A solução particular obtem-se concluindo que c = e c = através de 0 =, 0 = Ou seja, = 0 = x x=0 = c = 0 = x x=0 = e x c c cosx c + c sinx x=0 = c c 3

4 PARTE 9 Represente o caminho e calcule fz = t = fzdz quando: z + z z z { e iπt + i t 0, i + t t, 3 Resposta O primeiro ramo do caminho é uma semi-circunferência de centro no ponto z = i e raio unitário percorrida no sentido directo O segundo ramo do caminho é um segmento de recta que une o ponto z = i a z = i + As singularidades de fz são os pontos z = 0, z = + i e z = i Observe que no interior do lacete só existe uma singularidade, z = + i Seja gz = z + z z i Pela fórmula de Cauch: z + z z z dz = gz z + idz = πig + i = πi i = i π 0 Desenvolva fz = convergência Resposta z + z + z + em série de potências em torno do ponto z 0 = e calcule o raio de z + fz = z + z + = z + i + z i = z + i + z + + i = i +i + z i z +i z n = n z n + n i i + i + i n = i n+ + + i n+ z n O desenvolvimento é válido no conjunto z < min{ i, + i } Logo o raio de convergência é R = 5 Utilizando o teorema dos resíduos, calcule o integral fz = fzdz onde e z z 3 + 4zz 9 e é um caminho de sentido directo definido por {z C : z + i 4 = } 4

5 Resposta As singularidades da função fz são os zeros do denominador zz + 4z 9 Logo as singularidades de fz são os pontos 0, i, i, 3 e 3, sendo estas duas últimas pólos duplos A única singularidade situada no interior do lacete é z = 0 Pelo teorema dos resíduos, fzdz = πi Res 0 f A singularidade z = 0 é um pólo simples, logo Concluí-se que fzdz = πi 6 e z Res 0 f = lim z 0 z + 4z 9 = 34 Determine uma função complexa de variável complexa holomorfa, f, satisfazendo f + i = + i, e Ref z = x x + Resposta A função que se pretende encontrar é holomorfa, logo satisfaz as condições de Cauch- Riemann: x = v e = v x Sabe-se também que f z = x + i v x Logo Ref z = x = x x + Pelas condições de C-R tem-se também que: v = x x + Primitivando as duas ultimas expressões em ordem a x e a respectivamente, obtém-se : ux, = x + + C vx, = x x + + Dx A condição = v x toma a forma x x + + C = x x + D x, o que implica que C = D x Deste modo tem-se que C = k + c e Dx = kx + c, ou seja, ux, = x + + k + c vx, = x x + kx + c Como f + i = + i, tem-se que u, = e v, =, o que implica c = k e c = + k Para cada valor de k tem-se uma função nas condições pretendidas 3 Resolva a seguinte equação diferencial ordinária quando 0 = Resposta Equação de Bernoulli Seja z = + tgx = sinx 3 z = 3 = 3 tanx + sinx 3 = tanx sinx = tanxz sinx Obtem-se uma equação linear em z com px = tanx e gx = sinx Note que rx = e tanxdx = e ln cosx = cosx = cos x Logo x = onde zx é zx dado por zx = K + rxgxdx = rx K cos x sinxdx K + cos = 3 cos3 x x cos = K cos x + x 3 cosx 3 cosx, x tal que + cos 3 x Como 0 =, tem-se que z0 =, de que resulta K = Logo x = 3 cosx > 3, ou seja x arccos 3, arccos 3 + kπ k Z 5

6 4 Verifique se a seguinte equação x + sec x + x x sec x é uma diferencial exacta Calcule a respectiva solução Resposta Sejam Mx, = x + sec x que M x, = x + sec x = x sec x = 0 e Nx, = x x sec x Sendo secz = cos z, tem-se + cos 3 x x sin x 3 cos 3 x x sin x = N x, x A solução é definida implicitamente por Φx, = 0 onde Φx, = x + sec x x dx = x + tan + g Para determinar g basta notar que o que implica g = 0, ou seja g = C Φ x, = x x sec x + g = Nx, 5 Utilize o método do polinómio aniquilador para calcular a solução particular da seguinte equação diferencial ordinária + + = e x cosx onde 0 = 0 = 0 = Resposta Seja L = + + O polinómio característico associado é pr = r 3 + r + r = rr + + ir + i qr = r++ir+ i é o polinómio característico associado ao operador Q que aniquila gx = e x cosx Logo a solução geral da equação diferencial homogénea Q L = 0 de polinómio característico qrpr = 5 rr + r +, é dada por x = c i i x onde i= x =, x = e x cosx, 3 x = e x sinx, 4 x = e x x cosx e 5 x = e x x sinx Para determinar os parâmetros c 4 e c 5, observe que, sendo x = e x c + c 3 + c 4 + c 4 + c 5 x cosx + c c 3 + c 5 c 4 + c 5 x sinx x = e x c 3 + c 4 + c 5 c 5 x cosx + c c 4 c 5 + c 4 x sinx x = e x c + c 3 3c 5 + c 4 + c 5 x cosx + c + c 3 + 3c 4 c 4 + c 5 x sinx, se tem que Lx = x + x + x = e x c 4 c 5 cosx + c 4 c 5 sinx = e x cosx Donde se conclui que c 4 = c 5 = 4 3 Observação: Note que, como L c i i x calcular c 4 e c 5 i= = 0, basta utilizar Lc 4 4 x + c 5 5 x = e x cosx para Para calcular a solução particular basta verificar que = 0 = c + c, = 0 = c + c 3 4 e = 0 = c 3 Daqui se conclui que c = 4, c = 7 4 e c 3 = 6

7 0 6 Calcule a solução do sistema ẋt = Axt, onde A = 3, com x0 = Resposta Aqui aparecem as duas alternativas, cada uma das quais requerendo o cálculo dos valores e dos vectores próprios da matriz A λ Cálculo dos valores próprios detλi A = det = λ λ λ + = λ + λ + Cálculo dos vectores próprios λ = : v = 0 = v = λ = : Alternativa A xt = c v e λt + c v e λt = c e t + c e t c x0 = + c c = = c c = 6, c = 5 v = 0 = v = Alternativa B e xt = e At x0, onde e At = T e Λt T, com e Λt t 0 = 0 e t, T =, T = Logo xt = T e Λt 6 6e t 6e = T 5 5e t = t 5e t 3e t + 5e t 7