Instituto Tecnológico de Aeronáutica / Departamento de Matemática / 2 o Fund / a LISTA DE MAT-32

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1 1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica / Departamento de Matemática / 2 o Fund / a LISTA DE MAT-32 Nos exercícios de 1 a 9, classi car e apresentar, formalmente, solução (ou candidata a solução) para as seguintes edo s de primeira ordem: 1. dx = y2 + 2xy : x 2 2. y x y = 3x: 3. e y dx + (xe y + 2y) = 0: 4. dx = x + y x y : 5. (x 2 2y 2 )dx + xy = 0: 6. (2y x 3 )dx = x: 7. x 2 dx = x y : 8. dx = yex : 9. xy 0 = y + 2xe y=x : 10. Resolva as seguintes equações ou pvi s: (i) dx = x2 1 y 2 : (ii) dx = y cos x 1 + 2y 2 ; y(0) = 1: (iii) y 0 + y 2 sen x = 0: (iv) xy 0 = p 1 y 2 : 11. Resolva o pvi y 0 = 3x2 3y 2 4 ; y(1) = 0 ; e determine um intervalo no qual a solução é válida. 12. Mostre que a expressão x + y + e xy = 0 de ne implicitamente y = (x) como uma solução da equação não-linear (1 + xe xy ) dx yexy = 0 :

2 2 13. Resolva as seguintes equações: (i) 2x + y 2 + 2xyy 0 = 0: (ii) 4sen x sen 3y cos x dx 3 cos 3y cos 2x = 0: (iii) dx = 3x2 + 6xy 2 6x 2 y + 4y 3 : (iv) (y cos x + 2xe y ) + (sen z + x 2 e y 1)y 0 = 0: (v) (3xy + y 2 ) + (x 2 + xy)y 0 = 0: (vi) e y dx + (xe y + 2y) = 0: (vii) ydx + (x 2 y x) = 0: 14. Mostre que qualquer equação separável M(x) + N(y)y 0 = 0 também é exata. 15. Ache o valor da constante b para o qual a equação (xy 2 + bx 2 y)dx + (x + y)x 2 = 0 é exata e, em seguida, resolva a equação para este valor de b. 16. Mostre que se M = Q ; onde Q = Q(y) é uma função de y somente, então a equação M(x; y) + N(x; y)y 0 = 0 Z tem um fator integrante da forma (y) = exp Q(y) : N x M y 17. Mostre que o pvi tem in nitas soluções. dt = y1=3 ; y(0) = 0 ; 18. Com respeito a equações de primeira ordem, existe uma classe de equações chamadas de homogêneas (não confundir com a noção geral de equação homogênea que você já conhece). Uma função f = f(x; y) é dita homogênea de grau n sse f(tx; ty) = t n f(x; y) para todos os valores convenientemente restritos de x; y e t, inclusive t podendo depender de x. Uma edo Mdx + N = 0 é dita homogênea (neste sentido) sse M e N são funções homogêneas de mesmo grau. Neste caso, a equação pode ser escrita como dx = f(x; y) ; (1) M(x; y) onde f(x; y) = é uma função homogênea de grau zero (num domínio N(x; y) onde o denominador não se anule). Como f(tx; ty) = t 0 f(x; y) = f(x; y); em particular para t = 1 = x, obtemos f(x; y) = f(1 ; y = x):

3 3 (i) Mostre que a mudança de variáveis y = zx (mais precisamente, y(x) = xz(x)), transforma (1) na seguinte equação separável: dz f(1; z) z = dx x (2) (ii) Resolva as seguintes edo s: a) xy 0 = p x 2 + y 2 ; (b) (x 2 2 y 2 )dx + xy = 0: 19. Encontre uma família de curvas ortogonais às curvas que satisfazem a edo x 2 1 y + 3xy + 0 2y2 = 0: 20. Usando o fato de que duas retas no plano xy com inclinações m 1 ; m 2, respectivamente que se interceptam com um ângulo satisfazem a relação (tan )(1 + m 1 m 2 ) = m 2 m 1 ; encontre uma família de curvas que se interceptam num ângulo de 45 o as curvas da família dada por x 2 + y 2 = c 2 : 21. Resolva o pvi dx = y 3 1 2xy 2 ; y(0) = 1: 22. Seja (x o ; y o ) um ponto arbitrário no plano e considere o pvi y 0 = y 2 ; y(x o ) = y o : Explique por quê este problema tem uma solução única em algum intervalo jx x o j h: Considerando as soluções que passam por (0; 0) e (0; 1), mostre que nem sempre acontece de a solução ser válida no domínio de de nição da equação, que no caso é R. 23. Mostre que f(x; y) = p y (i) não satisfaz a condição de Lipschitz no retângulo jxj 1 e 0 y 1; (ii) satisfaz a condição de Lipschitz no retângulo jxj 1 e c y d ; onde 0 < c < d: 24. Considere o pvi y 0 = jyj ; y(x o ) = y o : (i) Para que pontos (x o ; y o ) o teorema de Picard de existência e unicidade implica que este problema tem solução única em algum intervalo jx x o j h? (ii) Para que pontos (x o ; y o ) este problema realmente tem solução única em algum intervalo jx x o j h? (iii) Usando o método das aproximações sucessivas, encontre uma sequência de funções que converge para a solução do pvi com uma condição inicial escolhida no domínio estabelecido em (ii),

4 4 25. Considere o seguinte pvi: y 0 = 2x(1 + y) ; y(0) = 0: (i) Escolha um intervalo de de nição do problema de forma que você possa garantir que ele tenha uma e somente uma solução. O teorema de existência e unicidade que você terá que se referir garante que a solução é global (i.e., vale em todo o intervalo de de nição do problema)? (ii) Compare a solução aproximada (pelo método das aproximações sucessivas) com a solução exata do problema. 26. Considere o pvi: dx = y cos x ; y(0) = 1 : 1 + 2y 2 (i) Mostre que nenhuma solução não-trivial da edo cruza o eixo dos x s. (ii) Mostre que a solução do pvi satisfaz jy(x) 1j 1 2 p 2 jxj: (Note que esse ítem ca mais fácil se você considerar diretamente o pvi em vez de sua solução). 27. Enuncie e prove um teorema de existência e unicidade para um pvi da forma: dx = f(x) ; y(a) = Resolva x 2 + xy = sen x ; y(1) = 2: dx (Dê um intervalo de de nição seguro para a equação). 29. Apresente algum intervalo onde o pvi y 0 = y 2 ; y(0) = 1 tenha solução única. Justi que sua resposta e encontre esta solução. 30. Consdere o pvi abaixo. Estabeleça a região no plano xy onde as hipóteses do teorema de existência e unicidade são satisfeitas e apresente a conclusão que você obter com base no teorema. dx = ln jxyj ; y(x 1 x 2 + y 2 o ) = y o : 31. Mostre que a substituição z = ax + by + c transforma a edo y 0 = f(ax + by + c) em uma equação a variáveis separáveis. Aplique este método para resolver as seguintes equações: (i) y 0 = (x + y) 2 (ii) y 0 = sen 2 (x y + 1):

5 5 32. Uma extensão natural da edo linear de primeira ordem é a chamada equação de Riccati: y 0 = p(x) + q(x)y + r(x)y 2 : (3) (i) Mostre que, se y = y 1 (x) é uma solução particular de (3), então a solução geral tem a forma y(x) = y 1 (x) + z(x), onde z = z(x) é a solução geral da equação de Bernouilli z 0 (q(x) + 2r(x)y 1 )z = r(x)z 2 (que, por sua vez, pode ser transformada numa equação linear mediante a substituição w = z 1 ). (ii) Ache a solução geral da equação y 0 = y x + x3 y 2 x 5 : (Obs.: Ache uma solução particular y 1 (x) por inspeção i.e., chute, bom senso, tentativa e erro). 33. Transforme (sem precisar resolvê-lo) o pvi abaixo em um outro pvi equivalente onde a condição inicial é dada na origem t = 0 : 34. Sem calcular a solução do pvi y 0 = t 2 + y 2 ; y(1) = 2: dx = y cos x ; y(0) = 1 ; 1 + 2y 2 mostre que a diferença entre o valor de y(2) e 1 não é maior que 35. Resolva as seguintes edo s e pvi: (i) y 00 = y 0 + (y 0 ) 3 : (ii) ydx + (x 2 y x) = 0 (iii) y 0 + p(t)y = 0 ; y(0) = 1 ; onde p(t) = 36. Use redução de ordem para achar a solução do pvi abaixo: y 00 + y = 0 ; y(0) = y 0 (0) = 1: p 2 2 : 2 ; se 0 t 1 1 ; se t > Resolva a seguinte edo: (x + y)dx + x ln x = 0 ; x 2 (0; 1): 38. Ache a solução geral de (e x sen y 2y sen x)dx + (e x cos y + 2 cos x) = 0: 39. Encontre uma solução fraca ( contínua, podendo deixar de ser derivável em algum ponto) para o seguinte problema: 8 y 2 + 2xy y 0 = f(x; y) ; y(1) = 1 >< ; se 1 x 3 x 2 2 ; onde f(x; y) = 2 >: 4 ; se 3 2 x < 2

6 6 40. Ache a solução geral das edo s abaixo: (i) y y = t 2 e 3t + 6: (ii) 2y y 0 + y = t sen t: (iii) y 00 + y = 3 sen 2t + t cos 2t (iv) y 00 y 0 2y = cosh 2t: 41. Ache a solução do pvi dado: (i) y 00 2y 0 3y = 3te 2t ; y(0) = 1 ; y 0 (0) = 0: (ii) y y 0 + 5y = 4e t cos 2t ; y(0) = 1 ; y 0 (0) = 0: 42. Ache a solução de classe C 1 do seguinte problema: 8 < t ; se 0 t y 00 + y = ; y(0) = 0 ; y 0 (0) = 1: : e t ; se t > Plote o termo não-homogêneo e a solução como funções do tempo t 0. (Sug.: Resolva primeiro o pvi em 0 t ; em seguida, resolva para t >, determinando as constantes neste caso a partir das condições de continuidade em t = :) 43. Determine quais das seguintes equações abaixo são exatas e resolva aquelas que são: (i) x ydx = 0: y (ii) (y x 3 )dx + (x + y 3 ) = 0: (iii) 1 y sin x y + x y 2 sin x y dx = 0: 44. Encontre todas as soluções da edo dx = 2xp y 1: 45. A equação dx + p(x)y = q(x)yn ; que é conhecida como equação de Bernoulli, é linear quando n = 0 ou 1. Mostre que ela pode ser reduzida a uma equação linear para qualquer valor de n através da mudança de variável z = y 1 n. Aplique este método para resolver a equação xy 0 + y = x 4 y 3 :