Unidade 2 - Matrizes. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 9 de agosto de 2013

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1 MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 2 - Matrizes A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 9 de agosto de 2013

2 O dono de uma pequena frota de quatro táxis, movidos a gasolina, faz todo semestre um levantamento do consumo de combustível de cada carro em cada mês. Veja o resultado do primeiro semestre de 2012, através da tabela a seguir. Carro Jan Fev Mar Abr Mai Jun A B C D As tabelas, de um modo geral, servem para simplificar a leitura de levantamento de dados. Se omitirmos o significado das linhas e colunas da tabela acima, obteremos: PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 2/13

3 Estes números dispostos em linhas e colunas constituem aquilo que chamamos de matriz. Daremos a seguir, formalmente, a definição de matriz. As matrizes nos ajudam bastante em vários direcionamentos de assuntos e estudos que fazemos no dia a dia, as aplicações dessas tabelas nos auxiliam por exemplo em estudos realizados nos campos da econômia, engenharia, física e informática. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 3/13

4 Sejam m, n naturais. Uma matriz m por n A sobre R é dada por m n valores a ij R, com 1 i m e 1 j n, agrupados em m linhas e n colunas, e será representada como: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn ou simplesmente A = (a ij ) onde 1 i m e 1 j n. O símbolo M(m, n) denota o conjunto das matrizes m por n. Sendo cada matriz uma lista ordenada, postulamos a igualdade de duas matrizes pela igualdade de seus termos correpondentes, isto é, as matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ) são iguais se, somente se, a ij = b ij para quaisquer i e j. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 4/13

5 A seguir, apresentamos alguns tipos especiais de matrizes: Quando m = 1, diz-se que a matriz é uma matriz linha. Se n = 1, a matriz é denominada matriz coluna. A matriz A = (a ij ) cujos termos são todos nulos, isto é a ij = 0 quaisquer i e j, é denominada matriz nula. Quando m = n, dizemos que a matriz é quadrada. Uma matriz quadrada A = (a ij ) diz-se triangular superior se: a ij = 0 sempre que i > j. Analogamente, define-se matriz triangular inferior. Uma matriz quadrada A = (a ij ) chama-se diagonal se: a ij = 0 sempre que i j. Se a ii = 1, i, a matriz diagonal chama-se matriz identidade e será denotada por I n. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 5/13

6 Definição: Seja A = (a ij ) uma matriz quadrada. Chama-se diagonal principal da matriz A, a lista ordenada (a 11, a 22,..., a nn ) e chama-se diagonal secundária da matriz A, a lista ordenada (a 1n, a 2(n 1),..., a (n 1)2, a n1 ). Observe que a soma dos índices dos termos da diagonal secundária é sempre igual a n + 1. No conjunto M(m, n) de todas as matrizes m por n podemos definir as seguintes operações: Soma de matrizes: Se A = (a ij ), B = (b ij ) M(m, n), então a soma A + B é a matriz C = (c ij ) M(m, n) tal que c ij = a ij + b ij para cada par (i, j). Multiplicação por escalar: Se A = (a ij ) M(m, n) e α R, definimos o produto de α por A como sendo a matriz B = (b ij ) M(m, n) tal que b ij = α a ij para quaisquer i e j. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 6/13

7 Deixamos a cargo do leitor a verificação de que M(m, n) com as operações de soma de matrizes e multiplicação por escalar, definidas acima, é um espaço vetorial sobre R. O conjunto das matrizes tem uma estrutura muito mais rica do que a de simples espaço vetorial, obtida com a noção de produto de matrizes, noção esta, fundamental para a resolução de sistemas de equações lineares com o uso de matrizes. Apresentamos a seguir um exemplo que motiva a definição de produto de matrizes. Exemplo: Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: E 1, E 2 e E 3. A quantidade de material empregado (na unidade de medida correspondente) na construção de cada estilo é dada conforme a tabela a seguir: PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 7/13

8 Estilo Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo E E E Suponha agora que os preços (vezes mil reais), por unidade de material, pesquisados em três lojas (L 1, L 2, L 3 ) sejam conforme mostra a seguinte tabela: Loja L 1 L 2 L 3 Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 8/13

9 Por meio de cálculos simples obtemos o demonstrativo dos orçamentos, apresentados na tabela abaixo, de cada estilo em cada loja: Estilo-Loja L 1 L 2 L 3 E E E Veja que: para obtermos o orçamento da casa de estilo E i na loja L j, basta somarmos os produtos dos termos da linha i da tabela de material empregado (matriz A) pelos termos correspondentes da coluna j da tabela de preços por unidade de material (matriz B). Esta matriz, cujos termos são os produtos escalares das linhas de A pelas colunas de B, chama-se o produto da matriz A pela matriza B. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 9/13

10 Passamos agora a estabelecer formalmente a definição do produto de uma matriz por outra. Sejam A = (a ij ) M(m, n) e B = (b ij ) M(n, p). Podemos definir o produto de A por B como sendo a matriz C = (c ij ) M(m, p) tal que n c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = a il b lj. Esta propriedade é distributiva, com relação á soma de matrizes, e associativa. Deixamos a cargo leitor provar tais propriedades. Contudo, em geral, tal operação não é comutativa. Veja exemplo abaixo: [ ] [ ] [ l=1 ] [ ]. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 10/13

11 Dado um sistema linear quadrado a 11 x a 1n x n = b 1..., a n1 x a nn x n = b m podemos escrevê-lo na forma matricial A X = B, onde a 11 a 1n x 1 A =.., X = e B = a n1 a nn. x n b 1. b n. Suponha que existe uma matriz A tal que A A = I n, então o sistema linear pode simplificado a X = A B. Ou seja, o sistema linear pode ser resolvido utilizando produto de matrizes. Este fato motiva a definição a seguir. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 11/13

12 Dada uma matriz quadrada A de ordem n (matriz n por n), chamamos de inversa de A a matriz quadrada B de ordem n tal que BA = AB = I n. Neste caso, denotamos B = A 1. Uma matriz quadrada A é dita invertível se admite uma matriz inversa. Mostra-se que a matriz inversa é única. Como consequência da definição de produto de matrizes e da existência da matriz inversa, podemos definir potência de uma matriz para expoente inteiro positivo e negativo, respectivamente. A saber: dados A M(n, n) e k N {0}, definimos A 0 = I n, A k = k fatores k fatores {}}{{}}{ AA A e A k = A 1 A 1 A 1. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 12/13