Unidade 3 - Transformações elementares de matrizes, matriz escaloconada. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa

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1 MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 3 - Transformações elementares de matrizes, matriz escaloconada A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013

2 Transformações elementares de matrizes Nesta unidade, reinterpretaremos na matriz ampliada associada a um sistema de equações lineares as transformações que se efetuam nos sistemas de equações ao longo do processo de eliminação, explicitando seu caráter algorítmico, ou seja, de procedimento sistemático e efetivo. O método de eliminação em sistemas de equações lineares consiste em efetuar repetidamente transformações elementares sobre um sistema de equações lineares, de modo a ir obtendo sistemas equivalentes, até reduzir o sistema original a um sistema de fácil resolução. Esse método é essencialmente devido a Gauss e foi aperfeiçoado por Camille Jordan e, por este motivo, é chamado de eliminação de Gauss- Jordan. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 2/8

3 Transformações elementares de matrizes Seja A uma matriz m por n. Para cada 1 i m, denotemos por L i a i-ésima linha de A. Definimos as transformações elementares nas linhas da matriz A como segue: Permutar linhas L i e L j, indicada por L i L j ; Substituição de uma linha L i pela adição desta mesma linha com c vezes uma outra linha L j, indicada por L i L i + cl j ; Multiplicação de uma linha L i por um número real c não nulo, indicada L i cl i. Exemplo: [ L1 1 3 L 1 [ PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 3/8

4 Transformações elementares de matrizes [ L 2 2L 1 +L 2 [ Sejam A e B matrizes de ordem m n. A matriz A é dita ser equivalente por linhas à matriz B se B pode ser obtida de A pela aplicação sucessiva de um número finito de transformações elementares sobre linhas. Observe que a noção de equivalência de matrizes por linhas corresponde à noção de equivalência de sistemas lineares quando se efetuam as respectivas transformações sobre as equações. De fato, a sistemas equivalentes, correspondem matrizes associadas equivalentes, e viceversa.. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 4/8

5 Forma escalonada de uma matriz Toda matriz pode ser transformada por meio de uma sequência de transformações elementares sobre linhas numa matriz em uma forma muito especial, a forma escalonada, que será utilizada na próxima unidade para resolver sistemas de equações lineares. Seja A uma matriz m n. Dizemos que a matriz A está na forma escalonada se as seguintes condições são cumpridas: 1. As (possíveis) linhas nulas ficam abaixo das (possíveis) linhas não nulas; 2. O primeiro termo não nulo de cada linha não nula é igual a 1; 3. Os demais termos da coluna, à qual pertence o primeiro termo não nulo de uma linha não nula, são todos nulos; 4. Se L 1, L 2..., L p são as linhas não nulas e o primeiro elemento não nulo da linha L i ocorre na coluna k i, então k 1 < k 2 < < k p. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 5/8

6 Forma escalonada de uma matriz Exemplos: [ , , , I n. O resultado que apresentaremos a seguir nos garantirá que toda matriz é equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada. O interesse desse resultado reside no fato que ao reduzir a matriz ampliada associada a um dado sistema de equações lineares à forma escalonada, encontramos um outro sistema equivalente ao sistema dado que se encontra em sua expressão mais simples. Quando aplicado aos sistemas de equações lineares, este resultado é chamado de processo de eliminação de Gauss-Jordan. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 6/8

7 Forma escalonada de uma matriz Teorema: Toda matriz é equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada. O método apresentado no exemplo a seguir, para obtermos uma matriz equivalente por linhas a uma matriz dada, pode ser generalizado de forma a obtermos uma demonstração do teorema acima. Exemplo: L 2 L 2 L PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 7/8

8 Forma escalonada de uma matriz L 3 2L 1 +L /3 5/3 0 L 3 L 2 L 3 L 1 L 1 L 2 L 4 L 2 L 4 L L /3 29/ /3 5/3 0. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 8/8