Relações de recorrência

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1 Relações de recorrência Sequências. Relações de recorrência. Equação caraterística. Relações de recorrência de ª ordem não homogéneas. Referência: Capítulo: 4 Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 006

2 Sequências definidas recursivamente Definição de fatorial ssss nn = 0 nn! = nn nn nn. ssss nn Exemplos 0! =! = 3! = 3.. = 6 6! = = 70 Definição recursiva de fatorial (recorrente, indutiva) ssss nn = 0 nn! = nn nn! ssss nn Fatorial de ordem n definido à custa de fatorial de ordem n- Relações de recorrência -

3 Cálculo iterativo do fatorial Fatorial(n){ i= fat= while (i<n) { i= i+ fat= fat*i } } Mostrar que, no final, fat=n! Invariante (afirmação a provar): no final de cada ciclo fat=i! Base: antes do ciclo i= e fat ==i! Indutivo: assumir que fat=i!; se i<n executa-se outro ciclo e i passa a i+ e fat passa a fat*(i+)=i!*(i+)= (i+)! Relações de recorrência -3

4 Implementação recursiva Fatorial(n){ if (n=) return else return n*fatorial(n-) } Calcula o fatorial(n) à custa do n e do fatorial(n-) Segue a prova indutiva Relações de recorrência -4

5 Sequência Uma sequência é uma função cujo domínio é um conjunto infinito de inteiros e que toma valores num conjunto de números reais Definição da sequência f (n) = n Por lista:, 4, 9, 6, Definição da sequência f (n) Por lista:, 4, 8, 6, Recursivamente: o a = o a k+ = a k, para k Por fórmula explícita o a n = n condição inicial relação de recorrência solução da relação de recorrência Relações de recorrência -5

6 Sequências aritmética e geométrica A sequência aritmética de primeiro termo a e diferença d aa = aa aa kk+ = aa kk + dd, kk. O termo geral é aa nn = aa + nn dd A soma dos n primeiros termos é SS = nn Ex: -7, -4, -,, 5, 8, aa + nn dd A sequência geométrica de primeiro termo a e razão r aa = aa aa kk+ = rraa kk, kk. O termo geral é aa nn = aarr nn A soma dos n primeiros termos é SS = aa( rrnn ) rr Ex:,, 4, 8, 6, 3, Relações de recorrência6

7 Problema Como descobrir a relação de recorrência? Certos problemas são naturalmente formulados como relações de recorrência O cálculo de um termo de ordem n depende de termos anteriores, recursivamente até à condição inicial Como descobrir a solução explícita para uma relação de recorrência? A solução explícita é necessária para o cálculo direto do termo de ordem n Relações de recorrência -7

8 Depósito com capitalização O banco tem um depósito com juros de 4% ao ano, automaticamente acumulados ao capital inicial. Se depositar, em 0-0-0, 000, ao fim de quanto tempo tem mais do que 400 na conta? E se o cálculo e capitalização dos juros for mensal? R: c n = (+J)c n-, n, c 0 =C A solução da relação de recorrência é c n = (+J) n C > 400 Resolvendo em ordem a n, nn > log +JJ 400 CC com C=000 No caso da capitalização anual J=0.04 e n>8.58, 9 anos No caso da mensal J=0.04/= e n>0.9, 0 meses Relações de recorrência -8

9 Reprodução de coelhos Suponha que numa ilha sem coelhos nem predadores se coloca à nascença um casal de coelhos e se pretende estudar a evolução da população Cada casal de coelhos começa a reproduzir-se ao fim de dois meses de vida e a partir daí produz um novo casal todos os meses Qual a população de coelhos ao fim de 8 meses? R: c 0 =, c =, c =, c 3 =3, c 4 =5, c 5 =8, c 6 =3, c 7 =, c 8 =34 c n = c n- + c n- sequência de Fibonacci (Solução mais à frente a partir do polinómio caraterístico.) Relações de recorrência -9

10 Solução por abstração Dada a relação de recorrência aa = aa kk+ = 3aa kk + kk Obtenha uma fórmula explícita para a k e mostre que é correta. aa = aa = 3aa + = 3 + = 4 aa 3 = 3aa + = =3 aa 4 = 3aa 3 + = 3( )+=40 aa 5 = 3aa 4 + = 3(3( )+)+= aa kk = 3kk Prova da correção por indução. Relações de recorrência -0

11 Polinómio caraterístico Relação de recorrência linear de segunda ordem com coeficientes constantes aa nn = rraa nn + ssaa nn + ff(nn) Linear porque a n- e a n- aparecem a somar e com expoente o aa nn = aa nn aa nn + aa nn + 4 não é linear por duas razões De segunda ordem porque a n depende de a n- o aa nn = aa nn + aa nn 3 + nn é de terceira ordem Com coeficientes constantes porque r e s não dependen de n Se f(n)=0 a relação de recorrência diz-se homogénea aa nn rraa nn ssaa nn = 0 Polinómio caraterístico é xx rrxx ss = 0 Relações de recorrência -

12 Solução da recorrência homogénea Sejam x e x as raízes do polinómio caraterístico. Então a solução de aa nn = rraa nn + ssaa nn é, para nn, aa nn = cc xx nn + cc xx nn, se xx xx aa nn = cc xx nn + cc nnnn nn, se xx = xx = xx cc ee cc a determinar a partir das condições iniciais Relações de recorrência -

13 Exemplo com xx xx Resolva a relação de recorrência aa nn = 5aa nn 6aa nn, nn com as condições iniciais aa 0 = ee aa = 4. R: o polinómio característico é xx 5xx + 6 cujas raízes são xx = ee xx = 3 A solução vai então ser da forma aa nn = cc nn + cc (3 nn ) As condições iniciais forçam a que aa oo = cc 0 + cc 3 0 = cc + cc = aa = cc + cc 3 = cc + 3cc = 4 Pelo que cc = ee cc = e finalmente aa nn = nn + (3 nn ) E se a 0 =0 e a =? c =- e c = Relações de recorrência -3

14 Condições iniciais diferentes ff = nn + (3 nn ) ff = nn + 3 nn Relações de recorrência4

15 Exemplo com xx = xx Resolva a relação de recorrência aa nn = 4aa nn 4aa nn, nn com as condições iniciais aa 0 = ee aa = 4. R: o polinómio característico é xx 4xx + 4 que tem uma raíz dupla xx = A solução vai então ser da forma aa nn = cc nn + cc nn( nn ) As condições iniciais forçam a que aa oo = cc 0 + cc (0) 0 = cc = aa = cc + cc = cc + cc = 4 Pelo que cc = ee cc = e finalmente aa nn = nn + nn nn = nn + nn Relações de recorrência -5

16 Sequência de Fibonacci (exemplo dos coelhos) aa 0 = aa = aa nn = aa nn + aa nn Polinómio caraterístico: xx xx Raízes: ± 5 Solução da recorrência: aa nn = cc + 5 Das condições iniciais: cc + cc = cc cc 5 Solução: aa nn = = nn+ 5 5 nn + cc 5 nn+ nn Relações de recorrência6

17 Caso geral (não homogéneo) Relação de recorrência aa nn = rraa nn + ssaa nn + ff(nn) Solução particular é uma solução específica pp nn que portanto satisfaz pp nn = rrpp nn + sspp nn + ff(nn) Seja tt nn outra solução particular; então também se verifica que tt nn = rrtt nn + sstt nn + ff(nn) Chamando à diferença qq nn = tt nn pp nn = rr tt nn pp nn + ss tt nn pp nn qq nn = rrqq nn + ssqq nn Verifica-se que esta satisfaz a relação homogénea Portanto tt nn = pp nn + qq nn é a soma de uma solução particular mais a solução homogénea (já vista atrás) Relações de recorrência -7

18 Teorema Seja pp nn uma solução particular para a relação de recorrência aa nn = rraa nn + ssaa nn + ff(nn) ignorando as condições iniciais. Seja qq nn a solução da recorrência homogénea aa nn = rraa nn + ssaa nn, também ignorando as condições iniciais. Então pp nn + qq nn é a solução para a relação de recorrência não homogénea. As condições iniciais determinam as constantes em qq nn. Relações de recorrência -8

19 Solução particular A solução particular pp nn depende de f(n) e nem sempre é fácil de encontrar Um bom ponto de partida é fazer pp nn da mesma forma de f(n), com as constantes por determinar As constantes determinam-se por substituição na recorrência Relações de recorrência -9

20 Exemplo Exemplo: resolva a relação de recorrência não homogénea aa nn = 3aa nn + nn, nn com aa 0 = R: Determinação de uma solução particular; como f(n)=n é linear vamos escolher pp nn = cc + bbbb. Para determinar cc e bb vamos substituir pp nn na relação de recorrência cc + bbbb = 3 cc + bb nn + nn = 3cc + 3bb + 3bb nn Igualando os coeficientes das potências de n idênticas cc = 3cc + 3bb e bb = 3bb Conclui-se que cc = 3 e bb =, pelo que 6 4 pp nn = nn Relações de recorrência s-0

21 Exemplo (cont.) A relação de recorrência homogénea é aa nn = 3aa nn O polinómio caraterístico resulta xx + 3xx, com raízes -3 e 0 A solução homogénea sem condições iniciais é da forma qq nn = cc 3 nn + cc (0 nn ) = cc 3 nn Então, a solução geral é da forma pp nn +qq nn = nn + cc 3 nn Para a condição inicial aa 0 = c 3 0 = conclui-se que cc = 3 6 aa nn = nn nn Relações de recorrência -

22 Outro exemplo Obter uma solução para aa nn = aa nn + 3a n + 5 n, nn, aa 0 =, aa =. R: Tentando pp nn = cc(5 nn ) e substituindo na relação cc(5 nn ) = cc(5 nn ) + 3cc(5 nn ) + 5 n dividindo por 5 nn 5cc = 0cc + 3cc + 5, logo cc = 5 ee pp nn = 5 5nn Polinómio caraterístico xx xx 3 com raízes - e 3 Solução homogénea qq nn = cc nn + cc 3 nn Solução geral pp nn + qq nn = 5 5nn + cc nn + cc (3 nn ) Iniciais: aa 0 = = 5 + cc + cc, aa = = 5 5 cc + 3cc aa nn = 5 5nn 7 4 nn 7 8 (3nn ) Relações de recorrência -

23 Sistema discreto () Uma relação de recorrência é muitas vezes um modelo para um dado fenómeno. A sequência a n pode ser vista como a série de valores que a variável a toma nos vários instantes n. aa nn = 3 4 aa nn 8 aa nn + h nn nn, aa 0 = 0 ee aa = 0 isto é, a variável no instante n depende dos valores da variável no instante anterior e dois instantes atrás e ainda da sequência h(n) A equação descreve assim um sistema S com memória interna, entrada h(n) e saída a n h(n) S a n Relações de recorrência3

24 Sistema discreto () aa nn = 3 4 aa nn 8 aa nn + h nn nn, aa 0 = 0 ee aa = 0 h nn =, nn h(n) S a n -/8 3/4 a n- a n- atraso: no instante n dá o valor de n- Relações de recorrência4

25 Sistema discreto (3) aa nn = 3 4 aa nn 8 aa nn + h nn nn, aa 0 = 0 ee aa = 0 h nn =, nn 4 0, nn 5 h(n) S a n -/8 3/4 a n- a n- Relações de recorrência5

26 Sistema discreto (4) aa nn = 3 4 aa nn 8 aa nn + h nn nn, aa 0 = 0 ee aa = 0 Primeira parte ( nn 4) Solução particular (h(n)=) p n =b b= 3 4 bb 8 bb + b= 8 3 =.6667 Solução homogénea h nn =, nn 4 0, nn 5 polinómio característico: xx 3 4 xx + 8 = 0 x = 4 qq nn = cc nn + cc 4 nn Relações de recorrência6

27 Sistema discreto (5) Solução geral aa nn = qq nn + pp nn = cc nn + cc 4 nn aa 0 = cc aa = cc cc + cc = 8 3 cc + cc 4 = 8 3 aa nn = cc 4 + cc nn = = 0 3 cc = 8 cc = nn n a n (5) (.4875) (6) (.54969) Relações de recorrência7

28 Sistema discreto (6) Segunda parte (n 5) A partir de n=5, considera-se o termo independente como sendo 0 (isto é, a entrada passa a ser 0) pelo que não é necessária a solução particular mas apenas a solução homogénea já calculada mas com condições iniciais (a 3 e a 4 ) impostas pela primeira parte; o sistema só tem memória para os dois últimos valores aa nn = cc aa 3 = cc aa 4 = cc nn + cc 3 + cc cc 4 4 nn 3 =.75 4 cc = 56 cc =.875 = 336 Sem entrada, este sistema tende para 0 é um sistema estável porque todas as raízes da equação caraterística têm módulo inferior a Relações de recorrência8 n a n (3).75 (4).875 5, , , , ,080936