Luciana Santos da Silva Martino

Transcrição

1 Sumário APLICAÇÕES DA INDUÇÃO Luciana Santos da Silva Martino lulismartino.wordpress.com PROFMAT - Colégio Pedro II 11 de agosto de 2017

2 Sumário 1 Definição por Recorrência 2 Binômio de Newton 3 Aplicações Lúdicas

3 Outline 1 Definição por Recorrência 2 Binômio de Newton 3 Aplicações Lúdicas

4 Definição por Recorrência Resultado: Para definir uma expressão E n para todo n N com n a, basta definirmos E a e mostrar como obter E n+1 a partir de E n, para todo n N com n a Nesse caso, dizemos que E n foi definido por recorrência Algumas vezes, definiremos uma expressão E n por recorrência através de uma dada função avaliada em vários termos anteriores, E n 1, E n 2,..., E n r. Isto definirá, sem ambiguidade, E n, desde que se conheçam as expressões de E 1,...,E r

5 Definição por Recorrência Exemplo 2.1: Seja (a n ) uma sequência de elementos de um conjunto munido de duas operações sujeitas às leis básicas da aritmética. Para dar sentido às somas S n = a 1 + a a n = n i=1 basta pôr S 1 = a 1 e, supondo S n definido, definir a i S n+1 = S n + a n+1 Exemplo 2.2: Define-se o fatorial de um número inteiro n 0, denotado por n!, como: 0! = 1! = 1 e (n + 1)! = n!.(n + 1), se n 1

6 Definição por Recorrência Exemplo 2.3: Seja a um elemento de um conjunto A munido das duas operações sujeitas às leis básicas da aritmética. Vamos definir as potências a n, com n inteiro, n 0, por recorrência. Ponhamos a 1 = a e a 0 = 1, se a 0. Supondo a n definido, defina a n+1 = a n.a

7 Definição por Recorrência Proposição 2.4: Sejam a, b A e m, n N. Então, i) a m.a n = a m+n ii) (a m ) n = a mn iii) (a.b) n = a n.b n Lema 2.5: Sejam a e b dois números naturais com a > 1. Então existe um número natural n tal que a n > b

8 Outline 1 Definição por Recorrência 2 Binômio de Newton 3 Aplicações Lúdicas

9 Binômio de Newton Considere a expressão (1 + X) n, onde X é uma indeterminada e n um número natural. O desenvolvimento dessa potência é um polinômio de grau n em X cujos coeficientes são números naturais: (1 + X) n = a 0 + a 1 X + a 2 X a n 1 X n 1 + a nx n O coeficiente a i, i = 0,..., n, será denotado pelo símbolo a i = chamado de número binomial ( n i ) e será Se X = 1 temos a identidade das linhas: 2 n = ( n 0 ) ( n + 1 ) ( n n )

10 Binômio de Newton Queremos agora determinar fórmulas explícitas para esses números binomiais ( ) ( ) n n = = 1 0 n ( ) n Se i > n, é cômodo definir = 0 i Relação de Stifel Lema 2.6: Para todo n N e todo i N {0}, tem-se que ( ) ( ) ( ) n n n = i i + 1 i + 1

11 Binômio de Newton Lema 2.7: Para todos n, i N, com 1 i n, tem-se que ( ) n i! = n(n 1)...(n i + 1) i Segue-se daí que, para n, i N com 1 i n, vale a seguinte fórmula para os coeficientes binomiais ( ) n n(n 1)...(n i + 1) n! = = i i! i!(n i)! Note que os termos extremos nas igualdades acima têm sentido e são iguais quando i = 0 Da fórmula acima, decorre imediatamente, para todo n N e todo i com 0 i n, a seguinte identidade fundamental: ( n i ) = ( n n i )

12 Binômio de Newton Binômio de Newton Teorema 2.8: Sejam a e b números reais e seja n N. Tem-se que ( ) ( ) ( (a + b) n = a n n + a n 1 n b + a n 2 b n n 1 ) ab n 1 + b n Corolário 2.9: Sejam a e b números reais e seja n N. Tem-se que ( (a b) n = a n n 1 ) ( a n 1 n b + 2 ) a n 2 b ( 1) n 1 ( n n 1 ) ab n 1 + ( 1) n b n

13 Outline 1 Definição por Recorrência 2 Binômio de Newton 3 Aplicações Lúdicas

14 A Torre de Hanói Exemplo 2.11: A Torre de Hanói e o Fim do Mundo O jogo consiste de n discos de diâmetros distintos com um furo no seu centro e uma base onde estão fincadas três hastes. Numa das hastes estão enfiados os discos de modo que nenhum disco esteja sobre um outro de diâmetro menor O jogo consiste em transferir a pilha de discos para uma outra haste deslocando um disco de cada vez, de modo que, a cada passo, seja observada a regra de que nenhum disco esteja acima de um de raio menor 1 O jogo tem solução para cada n N? 2 Caso afirmativo, qual é o número mínimo j n de movimentos para resolver o problema com n discos?

15 O Enigma do Cavalo de Alexandre, o Grande Exemplo 2.12: O Enigma do Cavalo de Alexandre, o Grande Num mosaico romano, Bucéfalo, o cavalo de Alexandre, o Grande, é representado como um fogoso corcel cor de bronze. Nesse exemplo vamos provar que isso é uma falácia

16 O Problema da Moeda Falsa Exemplo 2.12: O Problema da Moeda Falsa Tem-se 2 n moedas, sendo uma delas falsa, com peso menor do que as demais. Dispõe-se de uma balança de dois pratos, mas sem nenhum peso. Vamos mostrar, por indução sobre n, que é possível achar a moeda falsa com n pesagens

17 Os Coelhos de Fibonacci Exemplo 2.12: Os Coelhos de Fibonacci Problema proposto e resolvido por Leonardo de Pisa em seu livro, Liber Abacci, de 1202: Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur Obra responsável pela introdução na Europa do sistema de numeração indo-arábico e pelo posterior desenvolvimento da álgebra e da aritmética no ocidente Um casal de coelhos recém-nascidos foi posto em um lugar cercado. Determinar quantos casais de coelhos ter-se-ão após um ano, supondo que, a cada mês, um casal de coelhos produz outro casal e que um casal começa a procriar dois meses após o seu nascimento

18 Os Coelhos de Fibonacci Se denotarmos o número de coelhos existentes no n-ésimo mês por u n, temos, então, que u n = u n 1 + u n 2, u 1 = u 2 = 1 Tais relações definem por recorrência, uma sequência de números naturais, chamada de sequência de Fibonacci, cujos elementos, chamados de números de Fibonacci, possuem propriedades aritméticas notáveis

19 Os Coelhos de Fibonacci Quando é dada uma recorrência, um problema importante é determinar uma fórmula para o termo geral da sequência sem recorrer aos termos anteriores. No caso da sequência de Fibonacci, existe uma fórmula chamada fórmula de Binet, que apresentamos a seguir Fórmula de Binet Proposição 2.15: Para todo n N, tem-se que u n = ( ) n ( ) n

20 Os Coelhos de Fibonacci A fim de evitar ter que fazer restrições sobre os índices nas fórmulas envolvendo números de Fibonacci, convencionaremos que u 0 = 0 Proposição 2.16: Para todo par de números n e m, temos que u n+m = u n u m+1 + u n 1 u m