EXAME DE RESUMOS.TK. Autor: Francisco Cubal. A ausência dessa indicação implica a classificação com zero pontos das respostas aos itens do Grupo I.

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1 Estudar nunca foi tão fácil! EXAME DE RESUMOS.TK Autor: Francisco Cubal Prova Escrita de Matemática A 12.º Ano de Escolaridade Prova MAT12/2.ª Fase 11 Páginas Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos VERSÃO 1 Na folha de respostas, indique, de forma legível, a versão da prova. A ausência dessa indicação implica a classificação com zero pontos das respostas aos itens do Grupo I. No Grupo I, esta prova inclui quatro múltiplas adaptadas de exames nacionais (época especial e militares). No Grupo II, esta prova inclui dois exercícios adaptados de exames nacionais (militares). Prova MAT12.V1 Página 1/11

2 Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta, excepto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, de desenhos ou de outras representações, que podem ser, primeiramente, elaborados a lápis, sendo, a seguir, passados a tinta. Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica, sempre que for necessário. Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca, aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva, de forma legível, a numeração dos grupos e dos itens, bem como as respectivas respostas. As respostas ilegíveis ou que não possam ser identificadas são classificadas com zero pontos. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar. Prova MAT12.V1 Página 2/11

3 Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra que identifica a única opção correcta. Não apresente cálculos, nem justificações. A prova inclui, na página 4, um Formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. Prova MAT12.V1 Página 3/11

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5 GRUPO I Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleccione a única opção correcta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção seleccionada. Não apresente cálculos, nem justificações. 1. O João tem seis bolas indistinguíveis e quatro caixas distintas. O João quer colocar as bolas nas caixas, de forma a que cada caixa contenha pelo menos uma bola. De quantas maneiras diferentes podem as bolas ficar colocadas nas caixas? (A) 4 (B) 8 (C) 10 (D) Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam e dois acontecimentos e. Sabe-se que: Qual é o valor de? (A) 0,4 (B) 0,6 (C) 0,7 (D) 0,8 3. Considere-se uma determinada linha do triângulo de Pascal. Sabe-se que: A soma de todos os elementos da linha é. O número corresponde ao maior elemento da linha. O número corresponde ao maior elemento da linha.. Qual é o valor, aproximado às unidades, de? (A) 415 (B) 505 (C) 625 (D) 275 Prova MAT12.V1 Página 5/11

6 4. Das afirmações a seguir apresentadas escolha aquela que é a única opção correcta. (A) Uma função de domínio é sempre contínua. (B) Uma função contínua nunca apresenta assimptotas. (C) Uma função derivável é sempre contínua. (D) Uma função contínua é sempre derivável. 5. Para um certo valor de e para um certo valor de, o gráfico da função, de domínio definida por, está parcialmente representado na figura. Tal como a figura sugere, A recta de equação é assimptota do gráfico de. O gráfico de intersecta o eixo no ponto de ordenada. Quais são os valores de e de? (A) (B) (C) (D) e e e e 6. Seja uma função de domínio. Na figura da esquerda está parte da representação gráfica de e, na figura da direita, parte da representação gráfica da função, respectivamente primeira e segunda derivadas de. Em qual das figuras seguintes pode estar parte da representação gráfica de? Prova MAT12.V1 Página 6/11

7 7. Na figura abaixo estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas A, B, C e D, de cinco números complexos. Qual é a imagem geométrica do número complexo que pode ser igual a? (A) A (B) D (C) C (D) B 8. Na figura está representada, no plano complexo, uma circunferência centrada na origem do referencial. Os pontos A, B e C pertencem a essa circunferência. Sabe-se que: O ponto A é a imagem geométrica de, conjugado de z. O ponto B pertence ao eixo imaginário. Metade do perímetro da circunferência corresponde a arcos BC. Qual dos seguintes números complexos pode representar a imagem geométrica do ponto C? (A) (B) (C) (D) Prova MAT12.V1 Página 7/11

8 GRUPO II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto. 1. Em, conjunto dos números complexos, considere os números complexos Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos Verifique que Considere agora que, no plano complexo, a imagem geométrica de é o ponto e que a imagem geométrica de, conjugado de, é o ponto. Represente o segmento de recta no plano complexo e determine o seu valor. 2. Uma caixa contém bolas brancas e bolas pretas, num total de doze bolas. Considere a experiência aleatória que consiste na extracção sucessiva, com reposição, de duas bolas. Seja a variável que representa o número de bolas brancas extraídas. Na tabela seguinte encontra-se representada a distribuição de probabilidades da variável Seja a variável número de bolas pretas extraídas. Represente, através de uma tabela, a distribuição de probabilidades da variável. Prova MAT12.V1 Página 8/11

9 2.2. Quantas bolas brancas e bolas pretas tem a caixa? Justifique a sua resposta. 3. Considere o seguinte problema: Utilizando os cinco algarismos do número, quantos números podem ser formados? são duas respostas correctas. Numa pequena composição explique o raciocínio que conduziu a cada uma dessas respostas. 4. Considere as funções Utilizando métodos exclusivamente analíticos resolva os três itens seguintes Estude a função quanto à existência de assimptotas não verticais do seu gráfico Considere agora que e são funções que correspondem, respectivamente, à equação da recta tangente ao gráfico de, no ponto de abcissa e à recta tangente ao gráfico de, no ponto de abcissa. Mostre que e Seja: a intersecção das funções e o ponto A. a intersecção da função com a recta de equação o ponto O. a intersecção da função com a recta de equação o ponto B. Determine a área do triângulo. Prova MAT12.V1 Página 9/11

10 5. Considere a função, de domínio, definida por Resolva os dois itens seguintes, recorrendo exclusivamente a métodos analíticos Estude a função quanto à continuidade em Considere a função, de domínio, definida por. Justifique que, no intervalo, os gráficos de e intersectam-se em pontos Dos pontos referidos na alínea anterior, seja o que tem menor abcissa positiva. Utilizando a sua calculadora, determine as coordenadas desse ponto (apresente os valores na forma de dízima, com aproximação às décimas). FIM Prova MAT12.V1 Página 10/11

11 COTAÇÕES GRUPO I.. (8 x 5 pontos) 40 pontos GRUPO II 160 pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos TOTAL pontos Prova MAT12.V1 Página 11/11