Computação Gráfica. Engenharia de Computação. CEFET/RJ campus Petrópolis. Prof. Luis Retondaro. Aula 6. Projeções

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1 Computação Gráfica Engenharia de Computação CEFET/RJ campus Petrópolis Prof. Luis Retondaro Aula 6 Projeções

2 2 Projeções Geométricas Projeções permitem a visualização bidimensional de objetos tridimensionais. Para gerar a imagem de um objeto 3D, precisamos converter as coordenadas 3D em coordenadas 2D, que correspondam a uma visão do objeto de uma posição específica

3 3 Projeções Geométricas Elementos básicos Plano de projeção Raio projetante Centro de projeção Exemplo da projeção de um ponto em um plano. O plano de projeção é a superfície onde os pontos do objeto serão projetados Todos os pontos visíveis do objeto devem ser projetados no plano de projeção

4 4 Projeções Geométricas Transformações projetivas Levam retas em retas Não preservam combinações afim

5 5 Projeções Geométricas Geometria Euclideana duas retas paralelas não se encontram. Geometria Projetiva: não existe paralelismo. Retas paralelas se encontram num ponto ideal (no infinito) Para não haver mais de um ponto ideal para cada inclinação de reta, assume-se que o plano projetivo se fecha sob si mesmo Em 2D, o plano projetivo tem uma borda, que é uma reta no infinito (constituída de pontos ideais) Transformações projetivas podem levar pontos ideais em pontos do plano euclidiano e vice-versa Problema: O plano projetivo é uma variedade não orientável

6 6 Projeções Geométricas Geometria Projetiva

7 7 Projeções Geométricas Classificação dependem das relações entre o centro projeção o plano de projeção as direções das linhas ou raios de projeção

8 8 Projeções Geométricas Classificação

9 9 Projeções Geométricas Perspectivas e Paralelas

10 10 Projeções Paralelas O centro de projeção é localizado no infinito Todas as linhas de projeção são paralelas entre si

11 11 Projeções Paralelas Ortográficas As linhas de projeção são paralelas entre si e perpendiculares ao plano de projeção

12 12 Projeções Paralelas Ortográficas Axonométricas Isométricas são as mais comuns os ângulos no plano de projeção entre os eixos principais projetados são iguais entre si, e iguais a 120

13 13 Projeções Paralelas Oblíquas As projeções oblíquas são produzidas por um conjunto de linhas de projeção inclinadas em relação ao plano de projeção de qualquer ângulo A forma geral de definição de matrizes de projeção oblíquas usa um vetor unitário e sua projeção As projeções oblíquas podem ser produzidas com ângulos de linhas de projeções diferentes em relação ao plano de projeção

14 14 Projeções Paralelas Oblíquas Cavaleira (cavalier) Quando as linhas de projeção fazem um ângulo de 45 graus com o plano de projeção pontos projetados preservam sua medida original nas direções nãoparalelas ao plano de projeção Não é importante, nesta classificação, o ângulo com que a direção não-paralela ao plano de projeção aparecerá na imagem projetada assim ambas as imagens acima são de projeções oblíquas cavaleiras embora a profundidade do cubo apareça em ângulos diferentes em cada uma delas

15 15 Projeções Paralelas Oblíquas Cabinet faz um ângulo específico com o plano de projeção, de modo a reproduzir objetos com uma dimensão de meta de do tamanho original. Somente a face do objeto, paralela ao plano de projeção, permanece com o seu tamanho sem distorção (ou com a verdadeira grandeza) Esse ângulo é tal que tenha tangente=2, ou seja, é de aproximadamente 63,4 o

16 16 Câmera virtual Visualização O processo de visualização do OpenGL define uma câmera virtual Objetos da cena são projetados sobre o plano de projeção (como um filme virtual) e exibidos na tela Existem vários sistemas de coordenadas envolvidos, afim de reduzir o problema a uma configuração canônica

17 Câmera virtual Coordenadas da câmera e seus 7 graus de liberdade: Localização no espaço (x, y, z) Ângulos de rotação em torno de cada um dos eixos foco 17

18 Coordenadas Homogêneas em Espaço Projetivo Não há distinção entre pontos e vetores. Em 2D, um ponto (x,y) é representado em c.h. pelo vetor coluna [x w y w w] T, para w 0 Assim, o ponto (4,3) pode ser representado por [8 6 2] T, [12 9 3] T, [ ] T, etc A representação canônica do ponto com coordenadas homogêneas [x y w] T, é: [x/w y/w 1] T. Chamamos esta operação de divisão perspectiva. 18

19 Exemplo Os pontos sobre a reta x=y: (1,1), (2,2), (3,3),... Podem ser representados em c.h. por: [1 1 1] T, [1 1 ½] T, etc O ponto ideal dessa reta é [1 1 0] T 19

20 20 Transformações Projetivas Plano de projeção y P =(P x,p y,p z ) P=(P x,p y,p z ) A projeção de um ponto P é dada por: z ((0,0,0) d P ' =[ P x P z /d P y P z /d d 1 ]T Por semelhança de triângulos, vemos que P x /-P z = P x /d Plano de projeção é: 1. perpendicular ao eixo z 2. está a uma distância d do C.P. (0,0,0) 3. intercepta o semi eixo z negativo

21 21 Transformação Perspectiva em Coordenadas Homogêneas Não existe matriz 3x3 capaz de realizar tal transformação em espaços Euclideanos. Porém, no espaço projetivo: P =[1 ' / d 0 ] [ Px P y P z 1 ]=[ P z /d P x P y P z ]=[ P x P z ] / d P y P z / d d 1

22 22 Perspectiva - Sumário Para fazer projeção perspectiva de um ponto P, seguem-se os seguintes passos: 1. P é levado do espaço Euclideano para o projetivo. Trivial mesmas coordenadas homogêneas. 2. P é multiplicado pela matriz de transformação perspectiva resultando em P 3. P é levado novamente ao espaço Euclideano Divisão perspectiva (não linear!!).

23 23 Projeção Genérica E se for usado um sistema de coordenadas arbitrário? 1. Centro de Projeção fora da origem ou 2. Cena não está posicionada no semi-eixo z negativo. Muda-se o sistema de coordenadas. transformações afim posicionam todos os elementos corretamente. As maneiras pelas quais essas transformações são executadas caracterizam um dado modelo de projeção.

24 24 Espaços de Referência 1. Espaço do objeto. 2. Espaço da cena. 3. Espaço da câmera. 4. Espaço normalizado. 5. Espaço de Ordenação. 6. Espaço da imagem.

25 25 Modelo de Câmera Sintética OpenGL utiliza uma analogia comparando visualização 3D com tirar fotografias com uma câmera câmera Volume de visão tripé modelo

26 26 Transformações em OpenGL Modelagem Mover /deformar os objetos Visualização Mover e orientar a câmera Projeção Ajustar a lente / objetiva da câmera Viewport Aumentar ou reduzir a fotografia

27 27 Sistema de Coordenadas da Câmera

28 28 Pipeline de Transformações do OpenGL v e r t i c e Matriz Matriz de de Modelagem e e Visualização Matriz Matriz de de Projeção Divisão Divisão Perspectiva Transformação viewport objeto olho recorte normalizadas de dispositivo janela C o o r d e n a d a s

29 29 Estado Inicial do Pipeline As matrizes modelview e projection são matrizes identidade: vértices não são transformados projeção é paralela sobre o plano x-y o mundo visível é restrito ao cubo -1 x,y,z 1 A transformação viewport mapeia o quadrado -1 x,y 1 (em coordenadas normalizadas de dispositivo) na superfície total da janela

30 30 Especificando a Viewport Para especificar a área da janela na qual será mapeado o quadrado do plano de projeção: glviewport (x0, y0, largura, altura) parâmetros em pixels (0,0) refere-se ao canto inferior esquerdo da janela Normalmente, não é necessário modificar, mas é útil para: manter a razão de aspecto da imagem fazer zooming e panning sobre a imagem

31 31 Especificando Transformações As matrizes modelview e projection se situam no topo de duas pilhas que são usadas para fazer operações com matrizes. Para selecionar a pilha: glmatrixmode(gl_modelview ou GL_PROJECTION) Existe uma série de funções que operam com a pilha corrente, incluindo glloadidentity () glmultmatrix () glloadmatrix () glpushmatrix () glpopmatrix ()

32 32 Transformando Objetos Para para multiplicar o topo da pilha de matrizes por transformações especificadas por parâmetros: gltranslatef ( x, y, z ) glrotatef (ângulo, x, y, z) glscale ( x, y, z ) Cuidado: ordem é importante: gltranslatef (10, 5, 3); glrotatef (10, 0, 0, 1); glbegin (GL_TRIANGLES); Objeto é rodado e depois transladado!

33 Transformações de Visualização Duas interpretações: Levam a câmera até a cena que se quer visualizar Levam os objetos da cena até uma câmera estacionária glulookat( eye x, eye y, eye z, aim x, aim y, aim z, up x, up y, up z ); eye = posição da câmera aim = ponto que define a direção de visão up = direção vertical da câmera Cuidado com casos degenerados eye z y up aim x 33

34 34 Projeção Paralela Default em OpenGL Para ajustar o volume visível, a matriz de projeção é iniciada com glortho (left, right, bottom, top, near, far); Obs.: near e far são valores positivos tipicamente

35 35 Projeção em Perspectiva Volume de visão especificado com glfrustum(left,right,bottom,top,near,far); Não necessariamente gera um v.v. simétrico.

36 36 Projeção Perspectiva Alternativamente, pode-se usar a rotina gluperspective (fovy, aspect, near, far); Gera um volume de visão simétrico (direção de visão perpendicular ao plano de projeção).

37 37 Receita Para Evitar telas pretas Especificar Matriz de projeção com gluperspective() Tentar levar em conta a razão de aspecto da janela (parâmetro aspect) Sempre usar glloadidentity() antes Não colocar nada depois Especificar Matriz de visualização com glulookat Sempre usar glloadidentity () antes Outras transformações usadas para mover / instanciar os objetos aparecem depois

38 38 Exemplo void resize( int w, int h ) { } glviewport( 0, 0, (GLsizei) w, (GLsizei) h ); glmatrixmode( GL_PROJECTION ); glloadidentity(); gluperspective( 65.0, (GLdouble) w / h, 1.0, ); glmatrixmode( GL_MODELVIEW ); glloadidentity(); glulookat( 0.0, 0.0, 5.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0 );