Teorema de Fubini. Cálculo de Integrais

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires Teorema de Fubini. Cálculo de Integrais Recordemos que o teorema de Fubini estabelece uma forma epedita de cálculo do integral de uma função limitada num intervalo limitado em R n (cf. [, ], através dos chamados integrais iterados. Para maior clarea de eposição e pela importância prática iremos tratar separadamente os casos de R e de R 3. Consideraremos apenas conjuntos limitados por gráficos de funções contínuas. Áreas em R Consideremos o conjunto D definido por D = {(, R : a b ; c( d(} ( em que c, d : [a, b] R são duas funções contínuas e a < b. Seja I um intervalo limitado que contém o conjunto D e seja χ : I R a função definida por {, se (, D χ(, =, se (, I \ D. Por definição, a área de D será dada pelo integral da função χ, ou seja, vol (D = χ. O cálculo deste integral será feito recorrendo ao teorema de Fubini, ou seja, recorrendo ao cálculo de integrais iterados. Note-se que D pode ser descrito como uma colecção de segmentos de recta perpendiculares ao eio O. Para cada [a, b], temos um segmento de recta entre os pontos (, c( e (, d(, tal como se ilustra na figura. Cada um destes segmentos de recta é a intersecção de D com a recta dada pela equação = c, em que c é uma constante. Ao conjunto D {(, : = c} chamamos corte em D perpendicular ao eio O. Para cada = c, temos χ(c, = desde que c( d( e χ(c, =, caso contrário. Portanto, teremos, b d( b vol (D = d d = (d( c(d. a c( I a

2 = d( a = c( b Figura : Teorema de Fubini. Cortes perpendiculares a O Do mesmo modo, a área de um conjunto definido por D = {(, R : c d ; a( b(}, ( em que c e d são números reais e a, b : R R são funções contínuas, será calculada do seguinte modo d b( d vol (D = d d = (b( a(d. (3 c a( c d = a( = b( c Figura : Teorema de Fubini. Cortes perpendiculares a O Neste caso, o conjunto D é uma colecção de segmentos de recta entre os pontos (a(, e (b(,, tal como se ilustra na figura. Em geral, o integral de uma função limitada f em D R, pode ser calculado descrevendo D como uma colecção de cortes perpendiculares a um dos eios coordenados.

3 = = Figura 3: Cortes no conjunto definido por: > ; < <.. Eemplos.. Conjunto limitado por uma parábola Consideremos o conjunto D = {(, R : < < ; > }. É claro que sendo, < e >, então < <. Assim, D pode ser descrito na forma D = {(, R : < < ; < < }, ou seja, como uma colecção de cortes perpendiculares ao eio O (cortes verticais, tal como se representa na figura 3. Portanto, a respectiva área será dada pelo integral iterado seguinte ( vol (D = d d = ( d = 3. Dado que < <, então, < < e < < e, portanto, D pode ser descrito na forma D = {(, R : < < ; < < }, ou seja, como uma colecção de cortes perpendiculares ao eio O (cortes horiontais, e a respectiva área será calculada pelo integral iterado seguinte vol (D = d d = d = 3. 3

4 = = = = Figura 4: Cortes no conjunto definido por: > ; < < ; <... Conjunto limitado por duas parábolas Consideremos o conjunto D = {(, R : > ; < < ; < }. Dado que <, então < e, sendo >, teremos < <. Por outro lado, sendo simultaneamente < e <, então < desde que <, ou seja, desde que <. Do mesmo modo, teremos < desde que >. Portanto, para < < teremos < < e para < < teremos <. Assim, o conjunto D é a união de dois conjuntos disjuntos D = A B, da forma (, em que A = {(, R : < < ; < < } e B = {(, R : < < ; < < }, tal como se representa na figura 4. A área do conjunto D será então dada por ( ( vol (D = vol (A + vol (B = d d + Note-se que, tanto em A como em B teremos <. Portanto, em D teremos < <. Das inequações < ; <, obtemos < <. d d 4

5 Podemos então descrever D na forma (, ou seja D = {(, R : < < ; < < }, e a respectiva área será dada por vol (D = d d = ( d = Conjunto limitado por uma parábola e uma circunferência Consideremos o conjunto definido por D = {(, R : + < ; > } representado na figura 5, limitado por um arco de circunferência e um arco de parábola. É claro que, sendo + < e >, teremos + 4 <, ou seja < < <. Note-se que a circunferência e a parábola intersectam-se nos pontos cujas coordenadas são determinadas resolvendo o sistema { { + = + = = =, ou seja, nos pontos (a, c, (b, c em que 5 a = 5 b = c = 5. tal como se ilustra na figura 5. Assim, o conjunto D pode ser descrito na forma D = {(, R : a < < b ; < < }, e a respectiva área será dada pelo integral iterado seguinte b b vol (D = d d = ( d. a a 5

6 + = + = c a = b = Figura 5: Cortes no conjunto definido por + < ; > Do mesmo modo, sendo + <, teremos < e, dado que >, então < <. Por outro lado, temos < e <. Assim, há dois casos a considerar. Teremos < desde que <, ou seja, para < < 5. Portanto, teremos < < 5 ; < <. Deveremos ter < desde que <, ou seja, para 5 < <. Assim, teremos 5 < < ; < <. Portanto, tal como se ilustra na figura 5, o conjunto D pode ser descrito como a união dos dois conjuntos seguintes: e 5 {(, R : < < ; < < } 5 {(, R : < < ; < < }. A área de D será então dada por, ( 5 vol (S = d d + d. 5 d Volumes em R 3 Tal como em R, a noção de corte será crucial para o cálculo de integrais em R 3. Note-se que a equação = c, em que c é uma cosntante, descreve um plano perpendicular ao eio O. Dado D R 3, ao conjunto D {(,, : = c} chamamos corte em D perpendicular ao eio O. Do mesmo modo teremos cortes perpendiculares ao eios O e O. 6

7 Seja D R 3 o conjunto definido por D = {(,, R 3 : a b ; c( d( ; f(, }, em que f : R R é uma função contínua. Seja I um intervalo limitado que contém o conjunto D e seja χ : I R a função definida por {, se (,, D χ(,, =, se (,, I \ D. Por definição, o volume de D será dada pelo integral da função χ, ou seja, vol 3 (D = χ. I I = f(, = f(, = Figura 6: Cortes perpendiclares ao eio O Tal como se ilustra na figura 6, o conjunto D pode ser descrito como uma colecção de cortes perpendiculares ao eio O. Para cada = no intervalo [a, b] o respectivo corte será o conjunto {(,, R 3 : c d ; f(, }. Na figura 6, a =, b, c = e d são constantes. Note-se que cada um destes cortes pode ser visto como um sub-conjunto de R. Dado que χ(,, = desde que c d e f(,, teremos d f(, A( = d d. Pelo teorema de Fubini, o volume de D será então dado pelo integral b b d( f(, vol 3 (D = A(d = d d d. a c a 7 c(

8 + + = < = c < = Figura 7: Cortes perpendiculares a O Nos eemplos veremos como se podem descrever os conjuntos como coleccções de cortes perpendiculares aos outros eios. Em geral, o integral de uma função limitada f em D R 3, pode ser calculado descrevendo D como uma colecção de cortes perpendiculares a um dos eios coordenados.. Eemplos.. Uma pirâmide triangular Consideremos o conjunto X = {(,, R 3 : + + < ; > ; > ; > }. Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = c < e obtemos o corte em X perpendicular ao eio O, dado por X { = c} = {(,, c : + < c ; > ; > } e que se encontra representado na figura 7. = {(,, c : < < c ; < < c } Assim, o conjunto X passa a ser descrito como uma colecção de cortes perpendiculares ao eio O, ou seja, X = {(,, R 3 : < < ; < < ; < < }. 8

9 + + = < = a < = Figura 8: Cortes perpendiculares a O Portanto, vol 3 (X = = = ( ( ( d ( d ( d = 6. d d d Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = a < e obtemos o correspondente corte em X com o plano = a X { = a} = {(a,, : + < a ; > ; > } que se encontra representada na figura 8. = {(a,, : < < a ; < < a, } Deste modo o conjunto X passa a ser descrito da forma seguinte X = {(,, R 3 : < < ; < < ; < < }, ou seja, como uma colecção de cortes perpendiculares ao eio O. O respectivo volume será então dado por vol 3 (X = ( ( 9 d d d

10 = = = Figura 9: Cortes perpendiculares a O.. Uma tenda Consideremos o conjunto definido por S = {(,, R 3 : > ; > ; > ; < ; < }. Para o integral iterado da forma ddd, note-se que sendo < <, é claro que deveremos fiar < = a <. e o corte em S perpendicular ao eio O, será dado por {(a,, : < < a ; < < }. Assim, o conjunto S pode ser descrito como uma colecção de cortes perpendiculares ao eio O, ou seja, S = {(,, R 3 : < < ; < < ; < < }, tal como se representa na figura 9. Portanto, o volume de S será dado por vol 3 (S = d d d. Para o integral iterado da forma ddd, é claro que deveremos fiar < = c <. e o corte em S perpendicular ao eio O, será dado por {(,, c : < < ; < < ; < < }.

11 = = Figura : Cortes perpendiculares a O Assim, o conjunto S pode ser descrito como uma colecção de cortes perpendiculares ao eio O, ou seja, S = {(,, R 3 : < < ; < < ; < < }, tal como se representa na figura. Portanto, o volume de S será dado por ( vol 3 (S = d d d = ( d =...3 Uma pirâmide quadrangular Consideremos o subconjunto de R 3 definido por S = {(,, R 3 : < < ; < < ; < < }. Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = a <. Na figura representa-se o conjunto S e a intersecção de S com o plano = a, ou seja, o corte em S perpendicular ao eio O, que se pode descrever da forma seguinte S { = a} = {(a,, : a < < a ; < < a}. Note-se que S já está descrito na forma adequada para o cáculo do integral iterado da forma ddd. Assim, o volume de S será dado por

12 < = a < Figura : Cortes perpendiculares a O vol 3 (S = = = ( ( ( d d d = 6. d d d Para o integral iterado da forma ddd, devemos fiar < = b <. Dado que < <, teremos < < e como < < devem ocorrer dois casos. Ou <, ou seja, < < ou >, ou seja, < <, tal como se representa na figura. Para < = b <, a intersecção (corte de S com o plano = b é dada por S { = b} = {(, b, : < < : < < } e para < = b < temos, S { = b} = {(, b, : < < : < < }. Portanto, S é a união dos dois conjuntos seguintes {(,, : < < ; < < ; < < } e {(,, : < < ; < < ; < < },

13 < = b < = < = b < = Figura : Cortes perpendiculares a O o que nos permite escrever o volume de S como a soma de dois integrais iterados vol 3 (S = ( ( d d d + ( ( Para o integral da forma ddd, teremos as inequações { < < Portanto, para < = b < teremos < <. { < < <, e deveremos fiar em dois intervalos: ou < <, ou < <. 3 d d d

14 / < = c < = = / < = c < = = Figura 3: Cortes perpendiculares a O Para < = b < teremos { < < <, e deveremos fiar em dois intervalos: ou < <, ou < <. Assim, o volume de S será dado pela soma de quatro integrais iterados ( ( ( ( vol 3 (S = d d d + d d d + + ( ( d d d + ( ( d d d Para o integral iterado da forma ddd, fiamos = c e, tal como se representa na figura 3, devem ocorrer dois casos, ou < = c < ou < = c <. Em qualquer dos casos, o corte em S com o plano = c será dado por S { = c} = {(,, c : < < ; < < }. De seguida devemos fiar = b e, de acordo com a figura 3, para cada um dos casos obtemos três regiões de integração na variável. Note-se que das inequações de definição de S obtemos < < < < < < 4

15 e, portanto, { < < < < < <. Isto quer dier que depois de fiar e teremos < se >, ou seja, se >, ou teremos < se <. Por outro lado, teremos > se < ou > se >. Podemos concluir que, depois de fiar, para fiar teremos de considerar os valores,, e, portanto, teremos duas situações distintas (ver figura 3. a Para < = c <, a coordenada será fiada em três intervalos: ou ], [, ou ], [ ou ], [. b Para < = c <, a coordenada será fiada em três intervalos: ou ], [, ou, [ ou ], [. ] Assim, o volume de S será dado pela soma de seis integrais iterados ( vol 3 (S = d d d..4 Um cilindro ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( d d d d d d d d d d d d d d d Consideremos o cilindro vertical de raio um e altura dois dado por S = {(,, R 3 : + < ; < < }. Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = c < e obtemos corte em S com o plano = c, que se representa na figura, 4 e dado por S { = c} = {(,, c : + < } = {(,, c : < < ; < <.} 5

16 < = c < = = Figura 4: Cortes perpendiculares a O Assim, S pode ser descrito como uma colecção de cortes perpendiculares a O, ou seja, < < ; < < ; < < e, portanto, vol 3 (S = ( ( d d d Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = a < e obtemos o correspondente corte em S S { = a} = {(a,, : < a ; < < } que se representa na figura 5. Portanto, = {(a,, : a < < a ; < <, } vol 3 (S = ( d..5 Intersecção de dois cilindros perpendiculares Consideremos o conjunto que resulta da intersecção de dois cilindros perpendiculares definido por V = {(,, R 3 : + < ; + < }. d d 6

17 < = a < Figura 5: Cortes perpendiculares a O Para o integral iterado da forma ddd, note-se que temos <, ou seja, < <. Assim, fiando = c neste intervalo, o respectivo corte perpendicular ao eio O será dado por {(,, c R 3 : + < ; < < }, e o conjunto V será descrito como uma colecção de cortes em, ou seja < < ; < < ; < <, tal como se encontra representado na figura 6. Portanto, o volume de V será dado pelo integral iterado seguinte ( vol 3 (V = d d. d Para o integral iterado da forma ddd, note-se que temos <, ou seja, < <. Assim, fiando = a neste intervalo, o respectivo corte perpendicular ao eio O será dado por {(a,, R 3 : < < ; < < }, e o conjunto V será descrito como uma colecção de cortes em, ou seja < < ; < < ; < <, tal como se ilustra na figura 7. Portanto, o volume de V será dado pelo integral iterado seguinte ( vol 3 (V = d d = 4 ( d = 6 3. d 7

18 + = Figura 6: Intersecção de dois cilindros perpendiculares. Cortes em...6 Um cone Consideremos o cone S = {(,, R 3 : + < < }. Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = c < e obtemos o respectivo corte S { = c} = {(,, c : + < c } que se representa na figura 8. Portanto, = {(,, c : c < < c ; c < < c, } vol 3 (S = ( ( d d d Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = b < e obtemos o correspondente corte S { = b} = {(, b, : + b < < } = {(, b, : b < < b ; + b < <, } tal como se apresenta na figura 9 e, portanto, ( vol 3 (S = + d d d 8

19 Figura 7: Intersecc a o de dois cilindros perpendiculares. Cortes em. = p = <=c< p Figura 8: Cortes perpendiculares a O..7 Um hiperbolo ide Consideremos o conjunto S = {(,, R3 : + < + ; > ; > ; < < }. Trata-se de um subconjunto aberto de R3 limitado pelos planos = ; = ; = ; = e pela superfı cie + = +. R R R Usando o integral iterado da forma ( ( ddd, fiamos < = c < e, portanto, S { = c} = {(,, c : + < c + ; > ; > } ou seja, o corte S { = c} e um quarto de cı rculo centrado na origem e de raio + tal como se representa na figura. 9

20 < = b < = p p + p Figura 9: Cortes perpendiculares a O <=c< + = + + = p + + Figura : Cortes perpendiculares a O De seguida fiamos = b, com < b < +, e obtemos, p < < ; < < + ; < < +. Assim, vol3 (S = Z Z + Z + Consideremos o integral iterado da forma < e obtemos!! d d d R R R ( ( ddd. Neste caso fiamos < S { = a} = {(a,, : < a + ; > ; < < }. Portanto, devemos ter + >, ou seja >.

21 + = + Figura : Cortes perpendiculares a O < = a < < = a < = = + + Figura : Cortes perpendiculares a O Assim, se = a < então > e < < +. Se = a > então > e < < +. Nas figuras e apresentam-se os cortes em S com o plano = a para os dois casos acima descritos: < < e < <. Destas figuras obtemos vol 3 (S = + ( + d d d + ( ( + d d d. Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = a < e obtemos S { = a} = {(a,, : > a + ; > ; < < }, ou seja,

22 < = a < < = a < = + = + Figura 3: Cortes perpendiculares a O Se + < então >. Se < + < então > +. tal como se apresenta na figura 3. Assim, temos Se + <, então < < ; < e < <. Se + > e < < então < <, e + < <. Se + > e < < então < < e + < <. Portanto, vol 3 (S = + + ( ( ( ( d d d + ( + ( d d d + d d d +..8 Uma bola Seja S a bola de raio um e centro na origem em R 3, S = {(,, R 3 : + + < } Devido à simetria esférica de S basta considerar o integral iterado da forma ( ( ddd.

23 Figura 4: Cortes perpendiculares a O Fiando < = c < obtemos + <, ou seja, um círculo centrado na origem e com raio igual a, tal como se representa na figura 4 e dado por S { = c} = {(,, c : + < c } = {(,, c : < c ; < c.} Portanto, vol 3 (S = ( ( d d d..9 Parte de um toro Neste eemplo vamos considerar o sólido em R 3 limitado por um quarto do toro de raios R = 3 e r = e pelos planos = e =. S = {(,, R 3 : ( < ; > ; > } Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = c < e obtemos S { = c} = {(,, c : c < + 3 < c ; > ; > } = {(,, c : 3 c < + < 3 + c ; > ; > } tal como se representa na figura 5. De seguida devemos fiar a variável. Da figura 5 fica claro que, devemos fiar < = b < 3 ou 3 < <

24 3 + 3 < = c < Figura 5: Cortes perpendiculares a O Portanto, o volume de S será epresso pela soma de dois integrais ( 3 (3+ vol 3 (S = d d + ( 3+ 3 (3 d ( (3+ d d d. Para o integral iterado da forma ddd, fiamos em primeiro lugar < = b < 4. Note-se que para = temos e, portanto < < 4. ( 3 + < Assim, devemos fiar < = b < ou < = b < 4 como se representa na figura 6. Note-se que o caso < = b < 4 se apresenta subdividido em dois: < = b < 3 e 3 < = b < 4. Esta subdivisão é relevante para o cálculo do integral iterado da forma ddd que não será considerado nestas notas. Para < = b <, obtemos 4 < < 6 e ( + 3 < < ( + 3. Para < = b < 4, obtemos < < 6 4

25 < = b < < = b < 3 3 < = b < Figura 6: Cortes perpendiculares a O e, tal como anteriormente, ( + 3 < < ( + 3 Portanto, vol 3 (S = q ( + 3 q d ( + 3 q ( + 3 q d ( + 3 d d + d d *** 5

26 Referências [] Tom M. Apostol. Calculus II. Editorial Reverté, SA, 977. [] J. E. Marsden and A. J. Tromba. Vector Calculus. W. H. Freeman and Compan,