BANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA A 10. O ANO

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1 BANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA A 0 O ANO DOMÍNIO: Geometria Analítica Para um certo valor de k real, o ponto de coordenadas (, k 4) contém as bissetrizes dos quadrante pares Qual é esse valor de k? pertence à reta que (A) (B) (C) 6 (D) 6 Qual das condições seguintes define analiticamente o conjunto de pontos representado a sombreado na figura ao lado? (A) + y 9 ( y ) (B) + y 9 ( y ) (C) + y ( y ) (D) + y 9 ( y ) A reta r é paralela à reta s, representada na figura ao lado, em, referencial on do plano, e passa no ponto de coordenadas ( ) Qual das seguintes é uma equação vetorial da reta, y =, + k,, k (A) ( ) ( ) ( ), y = 0, + k,, k (B) ( ) ( ) ( ), y = 0, + k,, k (C) ( ) ( ) ( ), y =, + k,, k (D) ( ) ( ) ( ) r?

2 4 No referencial on do espaço da figura ao lado, está representado o prisma reto ABCDEFGH, de bases quadradas paralelas ao plano Oy As coordenadas dos vértices A, B e G são, respetivamente, (,0,0 ), (,6,0 ) e (,6, ) Qual é a reta de interseção dos planos de equações = e y = 0? (A) AD (B) CD (C) DH (D) EH 5 Num referencial on do espaço, quatro das faces de um cubo estão contidas nos planos de equações, e, respetivamente =, = 7 y = z = Quais das equações seguintes podem definir os planos que contêm as outras duas faces do cubo? (A) y = 0 e z = 5 (C) y = 6 e z = (B) y = 0 e z = (D) y = 6 e z = 5 B 6 Num referencial on do espaço, considera os pontos A(,,0) e (,,0 ) Uma condição que define o plano mediador do segmento de reta AB é: (A) = z= 0 (C) y = (B) = y= (D) = 7 Num referencial on do espaço, o ponto C tem coordenadas (,, ) A superfície esférica de centro no ponto C que é tangente ao plano coordenado ser definida pela condição: (A) ( ) ( y ) ( z ) = 4 (B) ( ) ( y ) ( z ) = 4 (C) ( ) ( y ) ( z ) = 9 (D) ( ) ( y ) ( z ) = 9 yoz pode

3 8 Qual das equações seguintes define, num referencial on do espaço, uma reta perpendicular ao plano coordenado Oz?, y, z = 0,,0 + k,0,, k (A) ( ) ( ) ( ), y, z = 0,, + k,0,0, k (B) ( ) ( ) ( ), y, z =,0, + k 0,,0, k (C) ( ) ( ) ( ), y, z =,,0 + k 0,0,, k (D) ( ) ( ) ( ) 9 Determina o raio e as coordenadas do centro da circunferência definida, num referencial on do plano, por: + y + 6y = 46 0 No referencial on Oy da figura, está representado o trapézio isósceles ABCD de bases AB e CD Sabe-se que: B ; A (, ) e (, 4) o vértice D AD = pertence ao semieio positivo das abcissas; 0 Escreve uma equação que defina analiticamente a reta AB 0 Escreve uma condição que defina analiticamente o interior da circunferência de centro no vértice B e que passa no vértice C 0 Determina as coordenadas dos vértices C e D No referencial on Oy da figura está representado o quadrado PQRS, inscrito numa circunferência As coordenadas dos vértices P, Q e R são, respetivamente, ( 4, 0) (, ) Determina a área do quadrado PQRS Determina as coordenadas do vértice S, ( 0, ) e

4 Determina a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta PQ 4 Determina a equação reduzida da reta PQ 5 Determina a equação reduzida da circunferência 6 Determina as coordenadas do ponto T, do 4º quadrante, tal que TQ = TR = 5 Considera, num referencial on do plano, os vetores u(, t) e v( t, ) Determina os valores de t de modo que u e v sejam colineares +, com t Considera o cubo ABCDEFGH, representado no referencial ortonormado do espaço de origem D As coordenadas dos vértices A (,0,0 ),, e ( ) e G Indica as coordenadas dos vértices B, C e H são, respetivamente,, D, E, F Indica uma equação que defina o plano que contém a face ABGF Define por uma condição cartesiana a reta EF 4 Determina DG 5 Determina, recorrendo a letras da figura: 5 F + AC ; 5 ED + GH ; 5 AB + FH + GE 6 Considera o cubo que é a imagem do cubo ABCDEFGH pela translação de vetor GB Indica as coordenadas dos vértices desse cubo 4 Considera, num referencial on do espaço, a esfera definida por: ( ) y ( z ) Indica o raio e as coordenadas do centro da esfera 4 Escreve equações dos planos tangentes à esfera que são paralelos ao plano Oz

5 4 Determina a área da figura definida pela interseção da esfera com o plano de equação = 5 Considera os vetores seguintes, num referencial on do espaço: a (,, ), b (,,) e c ( 5,,4) 5 Mostra que os vetores a e b são colineares 5 Determina a norma do vetor b a 5 Determina as coordenadas do vetor colinear ao vetor c, com o sentido contrário ao deste e norma 0 6 Na figura está representada, em referencial on do espaço, a pirâmide quadrangular regular Sabe-se que: ABCDV C ; A(,,0) e (,,0) o vértice V pertence ao eio Oz ; o volume da pirâmide é 96 6 Indica as coordenadas dos vértices B e D 6 Identifica, recorrendo a letras da figura, o vetor soma AB + AD 6 Define, por meio de uma equação cartesiana, o plano mediador do segmento de reta AB 64 Mostra que o vértice V tem coordenadas ( 0, 0,8 ) 65 Determina a área do polígono que resulta da interseção da pirâmide com o plano de equação = 0 66 Determina a equação reduzida da superfície esférica de centro no vértice V e que contém os vértices da base da pirâmide 67 Indica as coordenadas do ponto simétrico do vértice V relativamente ao plano Oy 68 Indica uma equação vetorial da reta AV

6 7 Na figura, está representado o parelelepípedo reto ABCDEFGH Fiado um determinado referencial on Oyz, tem-se: A ( 0,, ), B(,, ), G( 4,,6 ) e (,,6 ) H 7 Determina uma equação do plano mediador do segmento de reta AB Apresenta-a na forma a + by + cz = d 7 Define, por uma equação vetorial, a reta AF 7 Determina as coordenadas dos vértices C, D, E e F 74 Determina uma condição que defina a esfera cuja superfície contém os vértices do paralelepípedo

7 DOMÍNIOS: Lógica e Álgebra (Radicais e potências de epoente fracionário) Escreve, em linguagem natural, a negação das proposições: «O Cristiano Ronaldo joga na Juventus e é natural da Madeira» «Hoje vou ao cinema ou à praia» Representa, em etensão, os seguintes conjuntos: : = 0 : 5 Qual das seguintes condições é universal, em? (A) = (C) = (B) 8 = (D) 4 = 4 4 Mostra que a proposição 50 + = 8 é verdadeira 5 Considera um octaedro cujo comprimento das arestas é dado + por a, com a Mostra que o volume do octaedro, em função de a, é dado por a 6 A potência de epoente racional (A) 5 (C) 5 5 é igual a: (B) 5 (D) 5

8 SOLUÇÕES Geometria Analítica (C) (B) (B) 4 (C) 5 (D) 6 (C) 7 (A) 8 (C) 9 C(, 4) ; r = 0 = 0 ( ) ( y ) D (,0) ; C (, ) 0 (,4) y= + 4 y= 5 ( ) ( y ) 6 T ( 5, ) ou + + = 0 B (,,0 ), C ( 0,,0 ), ( 0,0,0) D, E ( 0,0,), ( ) H ( 0,,) = F,0, y= 0 z= 4 55 H 55 FD 55 AC e 6 A (,0, ), B(,, ), ( 0,, ) C, D( 0,0, ), ( 0,0, ) F(,0, ), (,, ) H( 0,, ) 4 4 E, G e C r = ; (,0, ) 4 y = ( 5, 4, 8) 6 B (,,0 ) e D(,,0) 6 AC 6 y = y z ( ) = 8 0,0, 8 67 ( ) 68 Por eemplo:, y, z = 0, 0,8 + k,,8 ( ) ( ) ( ) ( k ) 7 6y z = 7 Por eemplo: (, y, z) = ( 0,, ) + k (, 8,7 ) ( k ) 7 C( 5, 4, ), D( 6,,), E(, 6,9 ) e F (, 5,9 ) = 4 ( ) y ( z 9)

9 Lógica e Álgebra (Radicais e potências de epoente fracionário) «O Cristiano Ronaldo não joga na Juventus ou não é natural da Madeira» «Hoje não vou ao cinema nem à praia» (B) 6 (D)