ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 2 PARA PRATICAR OUTUBRO DE Duração: 50 minutos

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1 Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 3/Out/5 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE PARA PRATICAR OUTUBRO DE 5 RESOLUÇÃO (As soluções aqui propostas não são únicas!) Duração: 5 minutos Instruções Não abra este caderno de teste antes de ser anunciado o início da prova. Preencha os seus dados na parte de baixo desta folha. Cada um dos quatro problemas vale 5 pontos, sendo a cotação das aĺıneas em cada problema igualmente repartida. Não é permitida a utilização de quaisquer elementos de consulta nem de máquinas calculadoras. É permitida a utilização de papel de rascunho. Utilize papel de rascunho para esboços e cálculos preliminares, de modo a guardar o espaço de resposta para uma apresentação clara e bem justificada de todos os cálculos ou argumentos. A revisão de provas é na a feira, 7 de Novembro, 8h3-9h3, na antiga sala de dúvidas, localizada na cave - do Edifício de Pós-Graduação. Boa sorte! Para a correcção pergunta classificação () () (3)(a) (3)(b) (4)(a) (4)(b) N o : total Curso: Nome:

2 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE PARA PRATICAR OUTUBRO/5 () Forneça uma expressão em termos de integrais iterados para o momento de inércia I x em relação ao eixo dos xx de um sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos de equações x + y + z = e x + y + z =, assumindo que a densidade de massa é constante igual a. Resolução: O sólido (com contorno esboçado em baixo) tem projecção no plano yz dada por um triângulo, onde se distinguem as duas zonas consoante o limite inferior para a variável x é dado pelo plano x + y + z = ou pelo plano coordenado x = ; o limite superior para x é sempre dado pelo plano x + y + z =. Assim: I x = + z y z y z z y z z (y + z ) dx dy dz (y + z ) dx dy dz. PSfrag replacements x z PSfrag replacements x y z y Comentário: Para escrever o integral na ordem de integração dy dx dz, usa-se a projecção no plano xz que é equivalente à escolhida acima. Para escrever o integral na ordem de integração dz dy dx, recorre-se à projecção no plano xy que é um triângulo onde se distinguem também duas zonas consoante o limite inferior para a variável z e onde uma dessas zonas tem que ser ainda subdividida em duas partes para escrever os extremos dos integrais iterados: I x = + + x x x x x+y x y x+y x+y (y + z ) dz dy dx (y + z ) dz dy dx (y + z ) dz dy dx.

3 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE PARA PRATICAR OUTUBRO/5 3 () Usando a mudança de coordenadas x = e s cos t e y = e s sin t, calcule f onde = {(x, y) R : x + y e e y } e f : R, f(x, y) = ln(x + y ) x + y. Resolução: O jacobiano da função de mudança de coordenadas g(s, t) = (e s cos t, e s sin t) é [ det g e (s, t) = det s cos t e s ] sin t e s sin t e s = e cos t s. Em termos das coordenadas (s, t), com s R e escolhendo t ] π, 3π [ por conveniência a seguir, a região de integração é T = {(s, t) : e s e e sin t } = {(s, t) : s e t π}. Logo, pelo teorema de mudança de integrais para integrais e pelo teorema de Fubini, o integral pedido é f dx dy = (f g) det g ds dt T = π s e s es ds dt = π s ds = π.

4 4 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE PARA PRATICAR OUTUBRO/5 (3) (a) Exprima o seguinte integral (escrito em coordenadas cartesianas) como um integral iterado em coordenadas esféricas: 6 z 6 y z f(x, y, z) dx dy dz. 6 z Resolução: Para z, os cortes em planos z =const. lêem-se nos extremos dos dois integrais interiores são os semidiscos representados na figura abaixo. Portanto, a região de integração é o pedaço da semi-bola x + y + z 6, x compreendido entre os planos z = e z =. Em coordenadas esféricas a semi-bola é dada por r 6, π θ π, e os planos horizontais têm equações r cos ϕ = e r cos ϕ =. A intersecção destes planos com a esfera r = 6 é dada por ϕ = arccos 6 e ϕ = arccos 6, respectivamente. Para ângulos < ϕ arccos 6, os limites para r são dados pelos planos: cos ϕ r cos ϕ. Para ângulos arccos 6 ϕ arccos 6, os limites para r são dados pelo plano z = e pela esfera: cos ϕ r 6. O integral escreve-se então: π π π + arccos 6 π arccos 6 arccos 6 cos ϕ cos ϕ 6 cos ϕ f(r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos ϕ) r sin ϕ dr dϕ dθ f(r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos ϕ) r sin ϕ dr dϕ dθ. y x + y = 6 z PSfrag replacements x

5 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE PARA PRATICAR OUTUBRO/5 5 (b) Exprima o seguinte integral como um integral iterado em coordenadas cartesianas da função f(x, y, z): π cos θ+sin θ +ρ sin θ ρ cos θ f(ρ cos θ, ρ sin θ, z) dz dρ dθ. Resolução: Tomando x = ρ cos θ e y = ρ sin θ, os limites de integração para z são dados por x z + y, os limites para ρ fornecem x + y e x 4 + y e os limites para θ fornecem x e y. A projecção no plano xy tem pois o contorno esboçado abaixo. Como o jacobiano da mudança de coordenadas g(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z) é ρ, o jacobiano da mudança inversa é o inverso, pelo que o integral se x +4y escreve então: 4 4y +y f(x, y, z) dz dx dy. y x x + 4y PSfrag replacements y x + 4y = 4 x

6 6 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE PARA PRATICAR OUTUBRO/5 (4) (a) Demonstre o teorema do valor intermédio para integrais: Seja um conjunto compacto e conexo em R n. Sejam f : R uma função contínua e g : R uma função não-negativa integrável sobre. Prove que existe um ponto x tal que fg = f(x ) g. Resolução: Se M e m são os valores máximo e mínimo de f, então mg fg Mg. Por comparação dos integrais obtém-se m g fg M g. Se g =, então fg dv = e x pode ser qualquer ponto de. Se g dv, então, pelo teorema do valor intermédio R usual aplicado à função f, como m fg R g M, existe x R tal que f(x ) = fg R g.

7 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE PARA PRATICAR OUTUBRO/5 7 (b) Mostre que qualquer variedade em R n com dimensão m menor do que n tem medida nula. Sugestão: Qualquer ponto da variedade admite uma vizinhança U onde U é o gráfico de uma função continuamente diferenciável de um subconjunto de R m para um subconjunto de R n m. Resolução: Continuando a partir da sugestão, tomam-se vizinhanças U que sejam bolas abertas de raio racional centradas num ponto de coordenadas racionais. A colecção destas bolas em R n é numerável pois pode ser indexada por Q n Q + de acordo com o seu centro e raio. A variedade é pois a união (numerável) dos gráficos correspondentes a cada uma dessas vizinhanças U. Como cada um desses gráficos é um conjunto de medida nula, a união (numerável) desses gráficos,, tem medida nula.

8 8 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE PARA PRATICAR OUTUBRO/5 PARA RASCUNHO