Sinais e Sistemas Mecatrónicos

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1 Sinais e Sistemas Mecatrónicos Análise de Sistemas No Domínio da Frequência José Sá da Costa José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont.

2 Diagramas de Bode Construção dos Diagramas de Bode Para se representar aproximadamente a resposta em frequência de uma dada função de transferência em diagramas de Bode basta:. Factorizar a FT na forma de Bode Gs (). Determinar a resposta em frequência fazendo s = jω 3. Traçar a curvas de magnitudes em db (decibel) sabendo que José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont.

3 Diagramas de Bode Construção dos Diagramas de Bode (cont.) 3. Para traçar a curva de magnitudes deve-se traçar assimptoticamente cada um dos termos isoladamente (ganho, pólos e zeros na origem, pólos e zeros reais e pólos e zeros complexos conjugados) assinalando previamente os valores das frequências de corte de cada termo. 3. A curva assimptótica de magnitudes total resulta da soma das curvas parciais dos termos isoladamente. 3.3 Uma aproximação da curva real pode ser obtida marcando para cada frequência de corte o erro cometido com a aproximação assimptótica, de acordo com a representação padrão dos termos. 4. Traçar a curva de fases sabendo que José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 3

4 Diagramas de Bode Construção dos Diagramas de Bode (cont.) 4. Para traçar a curva de fases deve-se traçar assimptoticamente a fase de cada um dos termos isoladamente (ganho, pólos e zeros na origem, pólos e zeros reais e pólos e zeros complexos conjugados) assinalando previamente os valores das frequências de corte de cada termo e as frequências de intersecção assimptótica. 4. A curva assimptótica de fases total resulta da soma das curvas parciais dos termos isoladamente. 4.3 Uma aproximação da curva real pode ser obtida marcando para cada frequência de corte e frequências de intersecção assimptótica o erro cometido com a aproximação assimptótica, de acordo com a representação padrão dos termos. Notar que normalmente a frequência vem em rad/s e a fase em graus, mas nada impede que esta venha em rad e a frequência em Hertz. A magnitude vem sempre em db. José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 4

5 Diagramas de Bode Exemplo: Considere a função de transferência Factorizando na forma de Bode Os factores a representar são José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 5

6 Diagramas de Bode Exemplo (cont.): Curva de magnitudes 3 4 7,5 ( jω) + j ω, ω c = 3 rad/s 3 + ω c = j ω rad/s 5 ( jω ) ω + j + = rad/s, ζ = 0,3536 José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 6 ωn

7 Diagramas de Bode Exemplo (cont.): Curva de fases ,5 ( jω) + + j ω 3 j ω ( jω ) ω + j + José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 7

8 Diagramas de Bode Exemplo (cont.): Diagramas de Bode José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 8

9 Exemplo: Estimação de Parâmetros Considere o sistema mecânico representado na figura, cuja resposta em frequência é dada na figura abaixo, onde x(t) é a posição relativamente ao ponto de equilíbrio. Estime os parâmetros do sistema. José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 9

10 Exemplo (cont.): Estimação de Parâmetros Resolução: Atendendo à Lei de Newton e considerando C.I. nulas a função de transferência e a resposta em frequência vem dadas por X(s) P(s) = ms + bs + k e X(jω) P(jω) = Do diagrama de Bode temos que X(j 0+) P(j0+) = 6 db, logo X(j0+) P(j0+) = k ( ) + bjω + k m jω = 6 db = 0,05 resultando k = 9,96 N/m ω n = 3, rad/s = k m resultando m = k =,949 kg (3,) Tratando-se de um sistema de ª ordem temos que b m = ζω n resultando b = ζω nm = 0,3 3,,949 = 3,99 N.s/m José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 0

11 Especificações em Frequência Frequência de ressonância ω r valor da frequência para a qual a curva de magnitudes atinge o seu máximo, definido para 0 ζ < 0,707 i.e. para o caso sub-amortecido. Nota: nos termos de º ordem a frequência natural, ω n, é sempre superior à frequência de ressonância, excepto quando ζ = 0, situação em que os pólos se encontram sobre o eixo imaginário, logo ω r = ω n. d = n r ω ω ζ ω José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont.

12 Especificações em Frequência Pico de ressonância M r valor máximo da curva de magnitudes, definido para 0 ζ < 0,707 i.e. para o caso sub-amortecido. Fase de ressonância φ r valor da fase na frequência de ressonância, definido para 0 ζ < 0,707 i.e. para o caso sub-amortecido. No caso de um sistema de ª ordem C(s) R(s) = ω n s + ζω n s + ω n A resposta em frequência em anel fechado C( jω ) R( jω ) = ω n ( jω ) + ζω n jω + ω = n ω ω n + jζ ω ω n = Me jφ José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont.

13 Especificações em Frequência onde M = e φ = tan ω ω ζ + ωn ωn ω ζ ω n ω ω n O máximo de M ocorre na frequência de ressonância ω ω ζ ω θ ζ r = n = n cos para < 0,707 O valor do máximo de M, denominado pico de ressonância é dado por M r = = ζ ζ sen θ ou 0 r 0 ( ) M db = 0log G( jω ) = 0log ζ ζ db r José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 3

14 Especificações em Frequência A fase de ressonância virá dada por [ ] ( ) G j r φ = arg ( ω ) = 90º + arcsen ζ ζ r O valor de M r dá uma ideia da estabilidade relativa, do sistema: Um M r elevado indica a presença de um par de pólos conjugados dominante, com uma taxa de amortecimento baixa, o que conduz a uma resposta transitória indesejável. Um M r baixo indica a ausência de par de pólos conjugados dominantes, com uma taxa de amortecimento baixa, o que conduz a uma resposta transitória bastante amortecida. Notar que só existe pico de ressonância para 0 ζ < 0,707. José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 4

15 Especificações em Frequência Frequência de corte ω c frequência para a qual a curva de magnitudes do sistema em anel fechado apresenta um valor de 3.0 db relativamente ao seu valor para a frequência nula. Largura de banda L b intervalo de frequências para a qual o sistema responde satisfatoriamente (aproximadamente com ganho 0 db) e uma atenuação nunca inferior a 3.0 db. C( jω) C( j0) 3 db, ω ωc R( jω ) < R( j0) para > No caso de C( j0) = 0 db R( j0) C( jω) 3 db, ω ωc R( jω ) < para > ω c José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 5

16 Exemplo: Especificações em Frequência Considere os dois sistemas Sistema I Cs () Cs () = Sistema II = Rs () s + Rs () 3s+ Compare a largura de banda dos dois sistemas e conclua quanto à rapidez resposta e seguimento da entrada. Resolução: Representando as curvas de magnitude da resposta em frequência em anel fechado obtemos Destas curvas conclui-se que LB I 0 ω rad/s e LB 0 ω 0,33 rad/s José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 6 II

17 Especificações em Frequência Exemplo cont.: As respostas ao degrau unitário e à rampa unitária são Degrau unitário Rampa unitária Destas curvas conclui-se que o Sistema I que tem uma largura de banda 3 vezes maior que o Sistema II, responde mais rápido e a saída segue melhor o sinal de entrada. José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 7