Projeto de Filtros IIR. Métodos de Aproximação para Filtros Analógicos

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1 Projeto de Filtros IIR Métodos de Aproximação para Filtros Analógicos

2 Introdução Especificações para filtros passa-baixas analógicos - Faixa de passagem: 0 W W p - Faixa de rejeição: W W r - Ripple na faixa de passagem: d (db) - Atenuação na faixa de rejeição: A (db) Obs.: W p W W r é a faixa de transição

3 Introdução Métodos clássicos mais conhecidos - Butterworth - Chebyshev (tipos I e II) - Elíptico - Bessel

4 Aproximação de Butterworth A magnitude ao quadrado da resposta em frequência é da forma: - n é a ordem da aproximação - W 3dB é a frequência de 3 db => para qualquer n: - todos os zeros estão no infinito

5 Aproximação de Butterworth

6 Aproximação de Butterworth

7 Aproximação de Butterworth

8 Aproximação Chebyshev

9 Aproximação Chebyshev

10 Aproximação Chebyshev

11 Aproximação Chebyshev A extensão analítica de H(jΩ) 2 com Ω = Ω Ω p resulta em H s H s = ε 2 C 2, n = 1,2, n (s j) Os 2n polos of H s H s têm partes real Σ k e imaginária Ω k igual a onde Σ k = ν 1 ν 2 sen θ k, Ω k = ν + 1 ν 2 cos(θ k) ν = 1 ε + 1 ε /n e θ k = (2k 1)π 2n, k = 1,2,, 2n

12 Aproximação Chebyshev Pode-se observar que 2Σ k ν 1/ν 2 + 2Ω k ν + 1/ν 2 = 1 indicando que os polos estão sobre uma elipse, como ilustrado na figura abaixo para n = 4. Os polos no semiplano lateral esquerdo formarão o denominador D s do filtro Chebyshev.

13 Aproximação Chebyshev Função de transferência Chebyshev Tipo I: onde K = H s = K D(s) D 0, n ímpar D(0), n par 1 + ε2 Todos os zeros de H s estão no O parâmetro ε está relacionado ao ripple na faixa de passagem δ (em db) por 1 20 log 10 = δ ε = 10 0,1δ ε 2

14 Aproximação Chebyshev Função de transferência Chebyshev Tipo II: H s = K m i=1 (s2 + b i ) D(s) onde D(s) têm raízes no círculo unitário, b i são constantes reais positvas e K é um fator de escala. Resposta em frequência maximamente plana no origem Zeros sobre o eixo imaginário Resposta de fase mais linear na faixa de passagem

15 Aproximação Elíptica O quadrado da magnitude da resposta em frequência de um filtro elíptico é dado por: H(jΩ) 2 = ε 2 R 2, n = 1,2, n (Ω Ω p ) onde R n (. ) é uma razão de polinômios. Através da extensão analítica de H(jΩ) 2, obtém-se a função de transferência H s. As funções de transferência elípticas têm zeros sobre o eixo imaginário e polos sobre uma elipse. Respostas em frequência equirriple na faixa de passagem Mais eficientes em termos de seletividade em frequência do que as aproximações Butterworth e Chebyshev, pois em geral requerem aproximações de ordens menores

16 Aproximação Elíptica A ordem da aproximação (n) pode ser obtida através de tabelas, programas de computador ou curvas, como as amostradas na próxima figura.

17 Aproximação Elíptica

18 Aproximação Elíptica Exemplo: obter a ordem da aproximação elíptica dada a seguinte especificação ripple na faixa de passagem: δ = 0,5 db atenuação na faixa de rejeição: A = 60 db faixa de transição: Ω r = 2Ω p De δ = 0,5 obtemos: ε = 10 0,05 1 = 0,3439 De A = 60 db obtemos: A 20 log 10 ε = 69,3 db Da figura anterior, com Ω r /Ω p = 2, obtemos n = 5.

19 Aproximação Bessel Esta aproximação foi derivada para obter filtros com resposta de fase maximamente linear na faixa de passagem com funções de transferência só-polos H s = a n s n + a 1 s n a n 1 s + a n Os coeficientes a k são obtidos igualando a 0 as derivadas de 2a. ordem e de ordens mais altas da resposta em frequência de fase em Ω = 0: d i H(jΩ) dω i Ω=0 = 0, i = 2,3,, n + 1

20 Aproximação Bessel A função de transferência resultante tem a forma H s = B n(0) B n (s) onde B n s é o polinômio de Bessel de n-ésima ordem, o qual pode ser calculado pela recursão B n s = (2n 1)B n 1 s + s 2 B n 2 (s) com B 0 s = 1 e B 1 s = s + 1.