Material Didático de Apoio

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1 Material Didático de Apoio INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE DERIVADAS 1.1 INTRODUÇÃO Podemos compreender o conceito de derivadas como sendo as alterações da variável dependente de uma função originada por cada unidade de variação na variável independente, calculadas a partir de intervalos infinitesimais desta última. Sua aplicação na economia se da tanto nas análises acerca das relações entre as variáveis econômicas quanto nos exercícios de estática comparativa. Taxa média de variação Seja uma função definida num conjunto D e x 0 e x 0 + x dois pontos de D. Quando a variável x passa do valor x 0 para o valor x 0 + x sofrendo uma variação x, o correspondente valor da função passa de f(x 0 ) para o valor f(x 0 + x) sofrendo, portando, uma variação. y = f(x 0 + x) - f(x 0 ) 1.2 SÍMBOLOGIAS OU NOTAÇÕES Como em um estágio inicial de aprendizado, trataremos apenas de funções de uma variável e visando facilitar o entendimento do aluno, as funções dessa parte da obra serão apresentadas na forma y em função de x, ou seja,y = f(x). Assim a notação utilizada será y ou f(x) que significam a 1ª derivada da função. No entanto é relevante o discente assimilar que simbologia da função derivada pode ser apresentar de diferentes formas: dy dx ( notação de Leibniz) y f(x) Todas essas simbolizando a primeira derivada. Ou ainda na forma marginal (Mg), comum na economia aplicada, a exemplo: CMg = custo marginal ( 1ª derivada do custo total) RMg = receita marginal ( 1ª derivada da receita total) Razão Incremental Página 1

2 O quociente y = f x 0+ x f(x 0 ) recebe o nome de taxa média de variação da função x x quando xpassa do valor x 0 para o valor x 0 + x e expressa a variação média pelos valores da função entre estes dois pontos, permitindo avaliar a variação de y dada a variação de x. - variação; x 0 - valor inicial; x 1 - valor final; f(x) - função Página 2

3 1.3 REGRAS BÁSICAS DE DERIVADAS REGRA DA FUNÇÃO CONSTANTE Exemplos: A derivada de uma função constante, a qual não possui nenhuma variável, é zero. y = K y = 0 y = 10 y = 0 y = 7 y = 0 CF = 0, 5 CF = REGRA DA FUNÇÃO POTÊNCIA A derivada de uma função cuja variável está elevada a um expoente diferente de zero (função exponencial) é obtida descendo o valor do expoente para a frente da função que fica multiplicado pela variável elevada ao mesmo expoente subtraído de uma unidade. Exemplos: y = x 3 y = 3x 2 y = x n y = n x n 1 y = x 6 y = 6x 7 y = x 1 2 y = 1 2 x 1 2 Página 3

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5 1.3.3 REGRA DA POTÊNCIA COM UMA CONSTANTE MULTIPLICATIVA É uma variante da regra anterior apenas contendo um escalar a ser multiplicado pela potência ao descer para frente da variável. Segue a regra anterior. y = Kx n y = k nx (n 1) Exemplo: y = 5x 4 y = 20x 3 y = 3x 4 y = 12x REGRA DO PRODUTO Dado o produto entre duas funções (polinomiais). Identifica-se uma função f(x) como primeira (1ª) e a outra função g(x) como segunda função (2ª). Então a função derivada é obtida pela operação: derivada da 1ª função vezes a 2ª função na íntegra mais a 1ª função na íntegra, vezes a derivada da 2ª função. y = f x g (x) y = f x g x + f x g (x) Exemplos: y = 9x 2 2 (3x + 1) f x = 9x 2 2 g x = 3x + 1 f x = 18x g x = 3 y = 18x 3x x 2 2 (3) y = 54x x + 27x 2 6 y = 81x x 6 Página 5

6 1.3.5 REGRA DO QUOCIENTE Dada uma função racional. Identifica-se a função do numerador, f(x), como primeira (1ª) e a outra função do denominador, g(x), como segunda função (2ª). Então a função derivada é obtida pela operação: derivada da 1ª função vezes a 2ª função na íntegra menos a 1ª função na íntegra, vezes a derivada da 2ª função, tudo isso dividido pela 2ª função elevada ao quadrado. y = f(x) g(x) y = f x g x f x g (x) g (x) 2 Exemplo: y = (2x 3) (x + 1) f x = 2x 3 g x = x + 1 f x = 2 g x = 1 y = 2 x + 1 2x 3 1 2x + 2 2x + 3 x = x y = 5 x REGRA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL A função derivada de uma função exponencial de base será obtida pelo produto entre a derivada a função que se encontra no expoente pela própria base elevada a função na íntegra. y = e f(x) y = f x e f(x) Página 6

7 Exemplo: y = e 3x y = 3e 3x REGRA DA FUNÇÃO ln A derivada de uma função ln é uma função racional no qual o numerador é a derivada da função e o denominador é a função na íntegra. y = ln f(x) Exemplo: y = f (x) f(x) y = ln( 3x 2 + 2x) y = 6x + 2 (3x 2 + 2x) REGRA DA CADEIA OU REGRA DA FUNÇÃO COMPOSTA casos: A regra da cadeia é um método de resolução, um artifício a ser utilizado nos seguintes Funções compostas; Polinômios elevados a expoentes altos; Raiz de polinômios; Funções racionais. A idéia básica consiste em chamar parte da função por uma outra variável qualquer (ex:u) a fim de utilizar as regras básicas da derivação. Para o caso das funções compostas, tem-se: dz dx = dz dy dy dx A derivada de Z em relação a variável x corresponde a derivada de Z com relação a y vezes a derivada de y com relação a x. Página 7

8 Dadas às funções z = f y ey = g(x) dz dx = dz dy dy dx Ex: Dado z = 3y 2 e y = 2x + 5, achar dz : dx dz dy = 6y; dy dx = 2 dz = dz dy dx dy dx dz dx = 6y (2) Substitui o valor de y no resultado da equação: 6y 2 = 12y, sendo y = 2x + 5, logo dz = 12 (2x + 5). dx Para os demais casos, chama-se parte da função de u. Passos: I. Chama parte da função de u II. Reescreve a função em termos de u III. Deriva a função em termos de u usando as regras básicas iniciais IV. Multiplica pela derivada da parte da função que se chama de u. Ex: Dado z = 4x 3 5) 4, achar dz dx : dz dx = dz du du dx u = 4x 3 5; du dx = 12x2 z = u 4 ; dz du = 4u3 dz = dz du dx du dx dz dx = 12x2 4u 3 Substituindo o valor de u no resultado da equação temos: 12x 2 4(4x 3 5) 3 48x 2 (4x 3 5) FUNÇÃO INVERSA A derivada da função inversa é a inversa da derivada da função Página 8

9 dx dy = 1 dy dx Ex: achar dx 2 de y = e2x dy y = 4xe 2x 2, logo dx dy = 1 4xe 2x REGRAS TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO A derivado da função sin f(x) é o produto entre a derivada de f(x)e cos f(x). y = senf(x) y = f x cosf(x) Ex: y = sen(3x + 5) y = 3cos (3x + 5) FUNÇÃO COSSENO A derivada da função cos f(x) é o produto entre a derivada de f(x) e senf(x) y = cosf(x) y = f x senf(x) Ex: y = cos(4x + 1) y = 4 cos(4x + 1) FUNÇÃO TANGENTE A derivada da função tg f(x) é o produto entre a derivada de f(x) e sec 2 f(x). y = tg f(x) y = f x sec 2 f(x) Página 9

10 Ex: y = tg(x 2 + 1) y = 2xsec 2 (x 2 + 1) FUNÇÃO COTANGENTE A derivada da função cotgf(x) é o produto entre a derivada de f(x) e cossec 2 f(x). y = cotgf(x) y = f x cossec 2 f(x) Ex: y = cotg(x 2 + x + 4) y = 2x + 1 cossec 2 (x 2 + x + 4) Página 10

11 1.4.5 FUNÇÃO SECANTE A derivada da função sec f(x) é o produto entre a derivada de f(x),a sec f(x) e a tg f(x). y = sec f(x) y = f x sec f(x) tg f(x) Ex: y = sec( x 3 + x 2 ) y = 3x 2 + 2x sec( x 3 + x 2 ) tg (x 3 + x 2 ) FUNÇÃO COSSECANTE A derivada da função cossec f(x) é o produto entre a derivada de f(x), a cossec f(x) e a cotg f(x). y = cossec f(x) y = f x cossec f x cotg f(x) Ex: y = cossec (5x 2 + 2x + 10) y = 10x + 2 cossec 5x 2 + 2x + 10 cotg(5x 2 + 2x + 10) 1.5 DERIVADAS SUCESSIVAS A segunda derivada é a função derivada obtida a partir da função primeira derivada. Notações: f x ou y ou d2 f ou d2 y dx 2 dx 2 f (x) ou y ou d3 f ou d3 y dx 3 dx 3 2ª derivada 3ª derivada Página 11

12 1.6. APLICAÇÃO PRÁTICA EM ECONOMIA [A. P. E] As decisões econômicas têm sido cada vez mais orientadas pela matemática, em face de uma imensa quantidade de dados estatísticos, dependendo de centenas ou mesmo milhares de variáveis. Nós economistas temos buscado ajuda em métodos matemáticos para descrever o que está acontecendo, para prever os afeitos de várias políticas alternativas e decidir sobre estratégias razoáveis entre um enorme número de possibilidades. A seguir veremos alguns exemplos da aplicabilidade das derivadas dentro da realidade econômica. Após aprendermos o conteúdo de Derivadas em termos de matemática pura (MP) é chegada a hora de visualizarmos onde e como o instrumental de derivadas é utilizado nas abordagens econômicas de outras disciplinas. Elasticidade A elasticidade mede quanto uma variável pode ser afetada por outra, mais especificamente, é um número que nos informa a variação percentual que ocorrerá em uma variável como reação a um aumento de um ponto percentual em outra variável. Por exemplo, a elasticidade-preço da demanda mede quanto a quantidade demandada pode ser afetada por modificações no preço. Dada uma função y = f(x), a elasticidade de y em relação a x, em dado intervalo a, b, é dada pela relação: E = y y x x, x a, b que mede a variação percentual de y em relação à variação percentual de x. A elasticidade de y em relação a x é uma maneira de medir a resposta de y a variação de x, no intervalo considerado. Uma dificuldade apresentada pela fórmula é que a elasticidade pode variar para diferentes pontos do intervalo. Por outro lado, um mesmo ponto x, y apresenta elasticidades distintas, dependendo do intervalo escolhido. Uma maneira de resolver o problema é tomar o limite de E quando x 0. lim E = lim E x 0 x 0 y y x x y = lim x 0 x x y Se y é derivável no ponto x, a expressão: E x = dy dx x y Página 12

13 Mede a elasticidade de y em relação a x no ponto x, y. Pelo fato de ser um valor marginal,e x mede a tendência da resposta de y a variação de x. Se E x = 1, diz-se que a elasticidade de y em relação a x é unitária. Se E x > 1, diz-se que a curva examinada é elástica em relação ao fator x. Se E x < 1, a curva é inelástica em relação a este fator. Ex: Calcular e interpretar o valor da elasticidade da procura: q = 12 0,4p, ao nível de preço p = 5,00 Solução: E p = dq p dq, onde = 0,4 dp q dp Como p = 5 q = 12 0,4 5 = 10 Portanto: E p = 0, ou E p = 0,2 Interpretação: A tendência da procura é diminuir em 20% a alteração ocorrida no preço, a partir do nível p = 5,00. Página 13

14 Funções marginais a. Produto marginal: É o volume de produção adicional gerado ao acrescentar uma unidade de determinado insumo. Ex (produção) : seja p = 1,05K K 0,02K 3 a produção (p) de uma empresa em função do insumo capital (K). Calcular o produto marginal dp e interpretar em valor ao nível K = 10. Solução: dp = 2,1K ,06K2 dk Para encontrar o produto marginal é necessário substituir o nível de k na função produção: dp = 2, ,06(10)2 dk dp dk = 25 dk Interpretação: Ao nível K = 10, a tendência da produção é aumentar 25 vezes o acréscimo em K. b. Custo marginal: às vezes definido como custo incremental, é o aumento de custo ocasionado pela produção de uma unidade adicional de produto. Uma vez que o custo fixo não apresenta variação quando ocorrem alterações no nível de produção da empresa, o custo marginal é apenas o aumento no custo variável ou o aumento do custo total ocasionado por uma unidade extra de produto. Ex (custo) : seja C t = q + 30q 2 + 4q 3 o custo total do mês de uma empresa com o nível mensal de produção q. Calcular o custo marginal dc t dq resultado ao nível q = 100 Solução: e interpretar esse Substituindo valores: dc t dq dc t dq = 90 60q + 12q2 = (100)2 dc t dq = Interpretação: A tendência do custo ao nível q=100 é aumentar Página 14

15 c. Receita marginal: é o acréscimo na receita total devido à venda de uma unidade adicional do produto. Ex (receita ) : Seja R = x x + 20 a receita total da venda de x unidades de um produto. Calcule a receita marginal para x = 20. R x = 2x R 20 = = 240 Interpretação: Se houver a venda de 21 produtos a receita total aumenta em aproximadamente R$ 240,00. d. Lucro marginal: é a variação do lucro devido ao acréscimo de uma unidade na produção. Ex (lucro ) : Seja receita na venda de x unidades do produto: R = 0,4q q e Custo de produção de x unidades do produto: C = 80q Calcule o lucro marginal para x = 300. lucro = Receita custo L = 0,4q q 80q L = 0,4q 2 320q L = 0,8q L 300 = 0, = = 80 Interpretação: Se houver a venda e a produção de 301 unidades do produto o lucro aumenta em aproximadamente R$ 80,00. Taxa marginal de substituição Entende-se por taxa marginal de substituição (TMS) a variação necessária da quantidade de um bem que compensa a variação da quantidade de outro bem, para que se mantenha constante o nível de satisfação ou de utilidade do consumidor. Em suma, a necessidade de compensação entre perdas e ganhos de utilidade, ao se modificarem as combinações dos bens que nos leva a uma noção de taxa marginal de substituição. Como essa taxa procura mostrar um sentindo de compensação e como, por hipótese, a combinação dos bens indica a possibilidade de substituição, para que se mantenha a utilidade constante, à medida que y perde participação, deve-se, reciprocamente, aumentar a participação de x. Assim sendo, a taxa marginal de substituição vai sempre relacionar duas variações, uma delas, porém representando um decréscimo e a outra um acréscimo. Símbolo: TMS xy y = UMg x x / UMg y ou TMS = Δy Δx Onde: y- decréscimo de participação do bem y na combinação. + x - acréscimo da participação do bem x na combinação. Página 15

16 I.C: Havendo um sinal negativo no numerador e um positivo no denominador, toda relação passa a ter sinal negativo, o que representa a inclinação negativa da curva de indiferença. Ex: Dada a função utilidade U = x + y, determine a taxa marginal de substituição de y por x. Solução: TMS xy y x = UMg x / UMg y, logo TMS = 1 0,5y 0,5 2 TMS = y Página 16

17 1.7 A RELAÇÃO ENTRE DERIVADAS E OTIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL: MÁXIMOS E MÍNIMOS INTRODUÇÃO Abordagem sobre otimização: escolher a melhor alternativa disponível com base em critério especificado. Otimização: Maximização e Minimização Ex:. aplicação na microeconomia INTERVALOS DE CRESCIMENTO E CONCAVIDADE Obs: Para funções de 2º Grau (Quadráticas). Para y = ax 2 + bx + c Com a > 0, Admite ponto mínimo e concavidade para cima. Para y = ax 2 + bx + c Com a < 0, Admite ponto máximo e concavidade para baixo PONTO EXTREMO Página 17

18 Extremo Absoluto X Extremo Relativo Ou é um ponto relativo ou um extremo relativo da função conhecendo todos os pontos relativos bastará selecionar o mais acentuado entre eles. Página 18

19 Referência local: o ponto representa um extremo apenas na vizinhança imediata do ponto TESTE DA 1ª DERIVADA É a CN = Condição Necessária A 1ª derivada indica a inclinação. Pontos extremos relativos somente podem ocorrer onde a 1ª derivada for zero. Se o ponto é extremo significa que uma reta tangente o intercepta neste ponto, então não há declividade. Não há inclinação nestes pontos. Ex.: Nos pontos C e D. f x = 0 Classificação: - Será um máximo: se o sinal da derivada f (x) mudar de positivo para negativo da esquerda para direita imediata. - Será um mínimo: se o sinal da derivada f (x) mudar de negativo para positivo da esquerda para a direita imediata. - Ponto de inflexões: Nem máximo, nem mínimo. Se o sinal se mantiver o mesmo tanto na esquerda imediata quanto na direita imediata. Página 19

20 Página 20

21 Obs: um ponto estacionário pode ser um extremo relativo ou um ponto de inflexão. A importância para as questões de otimização em economia está nos pontos extremos. Exemplos I. Achar os extremos relativos de y = 2x 2 + 8x + 7 e construir o gráfico: Substituindo para achar y y = 2x 2 + 8x + 7 y = 4x + 8 CN: 4x + 8 = 0 4x = 8 x = 2 y = 2 (2) y = = 15 II. Achar o extremo relativo de y = 5x 2 + x e construir o gráfico: y = 5x 2 + x y = 10x + 1 CN: 10x + 1 = 0 10x = 1 x = 1 10 = 0,1 Página 21

22 Substituindo para achar y y = y = = = = 0,15 III. Achar os extremos relativos da função e construir o gráfico: y = x 3 12x x + 8 y = 3x 2 24x + 36 CN: 3x 2 24x + 36 = 0 x = 24 ± (24)2 4 3 (36) 24 ± = Substituindo para achar y Para x = 6: (6) 3 12 (6) = = 8 Para x = 2: (2) 3 12 (2) = = TESTE DA 2ª DERIVADA 6 24 ± 12 x = 6 x 1 = 6 e x 2 = 2 f x ou d2 y dx 2 6 = 24 ± Mede a taxa de variação da função e informa sobre a curvatura do gráfico. Na verdade a f (x) mede a taxa de mudança da função original. Página 22

23 É a CS = Condição Suficiente Se f (x) < 0; concavidade voltada para baixo Côncava e admite ponto máximo Se f (x) > 0; concavidade voltada para cima Convexa e admite ponto mínimo Exemplos I. Achar as coordenadas do ponto extremo e classificar: y = x 2 10 y = 2x CN: 2x = 0 x = 0 Substituindo e achando y y = (0) 2 10 y = 10 y = 2 CS: 2 > 0, logo é um ponto mínimo relativo. II. Achar as coordenadas do ponto extremo e classificar: y = 2x 2 + 8x + 25 y = 4x + 8 CN: 4x + 8 = 0 4x = 8 x = 2 Página 23

24 Substituindo e achando y y = 2 (2) y = = 33 y = 4 CS: 4 < 0, logo é um ponto máximo relativo. Guia Prático 1º: Achar a 1ª derivada 2º: Aplicar a CN: y = 0 3º: Achar o(s) valor(es) de x 4º: Substituir para achar y 5º: Aplicar a CS: y 2 2 Obs.: Se necessário substituir o valor de x na 2ª derivada. Se y > 0 admite ponto mínimo Se y < 0 admite ponto máximo Informações no gráfico: Valor de x: no Dm (eixo x) Valor de y: na Im (eixo y) c é o valor no qual o gráfico cota o eixo y. Ponto correspondente às coordenadas do Extremo e auxilia para traçar a trajetória do gráfico APE PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO Condições para maximizar o lucro π = R Q C Q ou lucro = Receita total custo total 1ª derivada: é a condição necessária para ser um ponto extremo. dπ dq = π = R Q C Q = 0 R Q RMg C (Q) CMg 2ª derivada: é a condição suficiente e para ser máximo a 2ª derivada < 0. d 2 π dq 2 = π = R Q C Q < 0 R (Q) < C (Q) Ex.: Dados R q = 1000q 2q 2 e C q = q 3 59q q Achar o valor de q e do lucro máximo: π = R q C q π = q 2 q q 2 315q 2000 π = q q 2 315q 2000 Página 24

25 1ª Condição: dπ dq = 0 3q q 315 = 0 = 114 ± (114)2 4 3 ( 315) = ± 96 = 6 q 1 = 35 e q 2 = 3 Substituindo para achar o lucro: Para q = 3: π = ( 3) (3) π = = 2459 prejuízo 114 ± Para q = 35: π = ( 35) (35) π = = lucro 2ª condição d 2 q = 6q < 0 dq2 Para q = 3: = = 96 Para q = 35: = 96 Página 25

26 TEOREMA DE L HOSPITAL: APÊNDICE A A regra de L'Hospital, também por vezes denominada regra de Cauchy, tem por objetivo calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações, ou seja, calcular limites de formas indeterminadas. Forma Indeterminada do tipo 0 0 e Seja f x e g(x) e funções diferenciáveis, se f x = 0 e g x = 0 ou lim x a f x = e lim x a g x =. Diremos que o limite tem a forma indeterminada, se o quociente de funções reais está definido em um conjunto da forma I {a} (sendo I um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), e são contínuas e deriváveis para x a, e. Diremos que o limite tem a forma indeterminada, se o quociente de funções reais está definido em um conjunto da forma I {a} (sendo I um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), e são contínuas e deriváveis para x a, e. Página 26

27 Referências Bibliográficas BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Matemática. São Paulo: Moderna, BRAGA, Márcio B.; KANNEBLEY Jr., Sérgio; ORELLANO, Verônica I. F. Matemática para Economistas. São Paulo: Atlas, CHIANG, Alpha C.; WAINWRIGHT, Kelvin. Matemática para Economistas. Rio de Janeiro: Elsevier, CHIANG, Alpha. Matemática para Economistas. São Paulo: McGraw-Hill, CRUM, W. L.; SCHUMPETER, Joseph A. Elementos de Matemática para Economistas e Estatísticos. Rio de Janeiro: Editora Fundo de Cultura, FIGUEIREDO, Djairo Guedes. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática Aplicada: economia, administração e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, MEDEIROS DA SILVA, Sebastião. Matemática para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. 6. ed. Vol. 1. São Paulo: Atlas, MEDEIROS DA SILVA, Sebastião. Matemática para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. 5. ed. Vol. 2. São Paulo: Atlas, MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade. 2. ed. rev. e ampl. São Paulo: Cengage Learning, SILVA, Luiza Maria Oliveira; MACHADO, Maria Augusta Soares. Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, TAN, S. T. Matemática Aplicada a Administração e Economia. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, VERAS, Lília L. Matemática Aplicada à Economia. São Paulo: Atlas, WAGNER, Eduardo. Matemática. - Rio de Janeiro: Editora FGV, Página 27