Física 1 - Aula 4. 1 Grandezas Físicas Escalares e Vetoriais. 2 Vetores. Prof. Afonso Henriques Silva Leite. 23 de março de 2016

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Isabella Stachinski Antunes
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1 Física 1 - Aula 4 Prof. Afonso Henriques Silva Leite 23 de março de Grandezas Físicas Escalares e Vetoriais Algumas Grandezas Físicas são determinadas (ou conhecidas) por completo por apenas um número. Como exemplo, pode-se citar o tempo: basta dizer que um evento durou 5 segundos, ou um minuto para que o intervalo de tempo esteja completamente caracterizado. Outra é a temperatura: ao se armar que a medida do termômetro é de 37 C, sabe-se perfeitamente a temperatura da pessoa (e que ela tem febre)! Essa classe de Grandezas é chamada de Grandeza Física Escalar. Outras, entretanto, não se conhece com precisão se apenas um número for informado. Força, velocidade, e aceleração (entre várias outras) são exemplos de Grandezas dessa natureza: não basta armar que uma velocidade é de 30 m/s para conhecê-la. Tais Grandezas são ditas Grandezas Vetoriais. É preciso saber algo mais para serem corretamente informadas. Para entender melhor essa questão, considere a Figura 1.1. Perceba que não basta armar que se está empurrando algo para frente para caracterizar a força empregada. Veja que, apesar das duas forças aplicadas aparentarem ser exatamente iguais, uma delas está sendo aplicada da esquerda para a direita de quem lê; e a outra não. As informações que faltam para a perfeita caracterização desse tipo de grandeza; as grandezas vetoriais, são a direção e o sentido. Então, vejamos mais sobre o assunto. 2 Vetores. O que são vetores? São quantidades matemáticas que tem módulo (ou magnitude), direção, e sentido. A magnitude, ou módulo, é o tamanho do vetor; diz respeito ao seu comprimento. A direção é a reta na qual o vetor está contido, e o sentido é a orientação para onde o vetor aponta; da sua origem à sua extremidade. Veja na Figura 2.1 um exemplo ilustrativo de um vetor. A notação usada para se representar um vetor é o de uma echa acima dos pontos que o compõe, orientada do ponto de origem para o ponto extremo; no caso da Figura 2.1; AB. Caso os pontos não estejam presentes, um vetor pode ser representado 1

2 Figura 1.1: Representação de dois casos em que uma força está sendo aplicada para frente. A pessoa pode estar aplicando o mesmo esforço, à mesma caixa, na mesma superfície; e apesar disso tudo sugerir que as duas forças são iguais; elas são na verdade diferentes. Se apenas for informado que a força está sendo aplicada para frente, não se pode sabê-la com precisão. Faltam informações cruciais para isso. Figura 2.1: As três quantidades que caracterizam um vetor com origem em A e extremidade em B; o vetor AB. A sua magnitude é o comprimento do segmento AB; sua direção é a da reta AB (ou seja, a reta que passa pelos pontos A e B); e o seu sentido é de A para B. Reunindo esses dados, o vetor ca completamente caracterizado. 2

3 Figura 2.2: Exercício de Fixação O movimento, nesse caso, está restrito a apenas uma direção, e o sentido do movimento pode ser indicado por apenas um sinal: se for positivo, o veículo estará se movendo da esquerda para a direita (de quem lê) e se for negativo, o veículo estará se movendo da direita para a esquerda. genericamente por uma echa em cima de uma letra minúscula de nosso alfabeto: a, b, e assim sucessivamente. Assim, no exemplo ilustrado na Figura 2.1, o que faltava para se conhecer as forças eram a magnitude e a direção. O sentido estava determinado pela informação de que a pessoa empurrava o objeto para frente. As Grandezas Físicas são representadas por vetores, e para se considerá-las, será preciso saber operar com eles. Veremos então as operações de soma e multiplicação por escalar, e subtração na forma geométrica; e depois, como decompor um vetor em duas direções perpendiculares. Após isso, as operações de soma e subtração serão revistas na forma algébrica. 2.1 Exercícios de Fixação. 1. Identique as grandezas escalares e vetoriais presentes na seguinte armação: São quatro horas da tarde, o tempo é bom e a temperatura agradável: 20 C; o veleiro, de meia tonelada, desliza a 12 km/h graças ao vento que sopra de leste para oeste com velocidade de 20 km/h.[1] 2. Se o movimento for restrito a uma única direção, como ilustrado na Figura 2.2, o sentido da velocidade pode ser indicado por apenas um sinal: se positivo, o veículo estará se movendo da esquerda para a direita, e em caso contrário, da direita para a esquerda. Você diria que se fosse assim, a velocidade poderia ser considerada uma Grandeza Escalar? 2.2 Soma Geométrica. Para se realizar a soma geométrica de dois vetores, o procedimento é bem simples. Digamos que se queira somar dois vetores, a e b. Veja a Figura 2.3. O vetor soma a + b é o vetor cuja origem é a origem de a e cuja extremidade é a extremidade de b. (veja a Figura 2.4). 3

4 Figura 2.3: Dois vetores a serem somados pelo método geométrico. 4

5 Figura 2.4: Vetor a + b soma dos vetores a e b. Sua origem é a origem do vetor a e sua extremidade é a extremidade do vetor b. Para obtê-lo, desenhe a partir da extremidade de a o vetor b. Daí, o vetor a + b é o vetor formado pela origem de a com a extremidade de b. 5

6 Figura 2.5: Representação gráca de um triângulo retângulo. Os lados a e b que formam o ângulo retângulo são ditos catetos, e o lado restante é denominado de hipotenusa h. Claro que para se obter mais informações acerca da magnitude e direção desses vetores, é preciso saber os ângulos que são formados entre os vetores, e as magnitudes de cada um deles. Além dessas informações, há algumas leis matemáticas bastante úteis nesses casos: o Teorema de Pitágoras, a lei dos senos e a lei dos cossenos. Vejamos cada uma delas Teorema de Pitágoras. O Teorema de Pitágoras pode ser enunciado da seguinte forma: em um triângulo retângulo, soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Veja a Figura 2.5 A formulação matemática do Teorema é da forma: a 2 + b 2 = h 2. Esse Teorema será bastante útil para lidarmos com vetores que são perpendiculares. 6

7 Figura 2.6: Representação gráca de um triângulo de lados a, b e c, e um ângulo θ oposto a c Lei dos Cossenos. Por vezes, os vetores envolvidos nas operações de soma e subtração não serão perpendiculares, e nesse caso, pode ser necessário recorrer a uma generalização do Teorema de Pitágoras, a Lei dos Cossenos. Considere para isso a Figura 2.6. A expressão matemática da lei dos cossenos é c 2 = a 2 + b 2 2ab cos θ, sendo θ o ângulo oposto ao lado c do triângulo. Em alguns casos, pode ser necessária a aplicação de mais uma relação, a Lei dos Senos. 2.3 Lei dos Senos. A Lei dos senos estabele relações dentre os senos dos ângulos e os lados de um triângulo. A representação geométrica está na Figura 2.7. A expressão matemática é a senα = b senβ = c senγ. Então, num exercício sobre soma ou subtração de vetores, pode ser necessário invocar uma ou duas dessas três leis para resolvê-lo. Vejamos então alguns exemplos. 3 Exemplos. 3.1 Exemplo 1. Vetores perpendiculares. Considere a Figura 3.1. Digamos que a velocidade do barquinho seja de 3,0m/s, 7

8 Figura 2.7: Representação geométrica da Lei dos senos. e da correnteza seja 4,0 m/s. Qual será a velocidade resultante do barco nesse rio?[1] Bom, nesse caso, as velocidades tem que serem somadas. E para isso, basta usar o método geométrico. Veja a Figura 3.2. A direção e o sentido do vetor soma v s = v b + v c já estão determinados, e só falta resolver a questão do módulo. Mas, como o triângulo formado pela soma desses vetores é retângulo, para determinar o módulo do vetor soma, basta aplicar o Teorema de Pitágoras: Logo, v 2 b + v 2 c = v 2 s. vs 2 = vb 2 + vc 2 vs 2 = vb 2 + v2 c v s = (3, 0m/s) 2 + (4, 0m/s) 2 = 9, 0 m2 s , 0m2 s 2 = 25, 0 m2 s 2 = 5, 0 m s. 3.2 Exemplo 2. Realize a soma geométrica das Forças F 1 e F 2 denotados na Figura 3.3, sabendose que suas magnitudes são 3,0N e 5,0N respectivamente. [1] A soma será dada 8

9 Figura 3.1: Representação esquemática de um barco cruzando um rio. 9

10 Figura 3.2: Soma geométrica dos vetores velocidade do barco, v b e do rio, v r. Perceba que nesse caso, esses dois vetores são perpendiculares, e o triângulo formado pela sua soma é retângulo. Figura 3.3: Representação geométrica dos vetores F 1 e F 2. 10

11 Figura 3.4: Representação geométrica das Forças F 1 e F 2 e da sua soma F = F 1 + F 2. pelo método geométrico, que irá apontar direção e sentido. Veja na Figura 3.4. Para determinar o módulo, a lei dos cossenos deve ser aplicada, com uma leve modicação, que será entendida mais adiante, no decorrer do curso de Matemática: F 2 = F1 2 + F F 1 F 2 cos 60 F 2 = F1 2 + F F 1F 2 cos 60 F = Referências (3, 0N) 2 + (5, 0N) (3, 0N) (5, 0N) = 9, 0N , 0N , 0N 2 = 49, 0N 2 = 7, 0N. [1] Alberto GASPAR. Física série Brasil ( )

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