PET-FÍSICA VETORES BRUNO RANDAL DE OLIVEIRA VANESSA CRISTINA DA SILVA FERREIRA BENVINDO CARLOS DA SILVA DE OLIVEIRA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ

Transcrição

1 PET-FÍSICA VETORES AULA 3 BRUNO RANDAL DE OLIVEIRA VANESSA CRISTINA DA SILVA FERREIRA BENVINDO CARLOS DA SILVA DE OLIVEIRA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ

2 AGRADECIMENTOS Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação e do Programa de Educação Tutorial PET, do MEC - Ministério da Educação Brasil. 2

3 DOS AUTORES Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria, realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial Física/UFRRJ, e não tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos. O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes. Uma boa leitura! 3

4 SUMÁRIO 1. Grandezas Grandezas escalares Grandezas vetoriais Atributos dos vetores Intensidade ou módulo Direção Sentido Operação com vetores Soma de vetores Subtração de vetores Multiplicação de um vetor por um Número Produto escalar Produto vetorial Exercícios de fixação Referências Respostas dos exercícios de fixação 11 4

5 1. Grandezas Dentro do campo da ciência o conceito de grandeza está relacionado a tudo que pode ser medido, como por exemplo: temperatura, volume, força, velocidade e massa, e pode ser separada em escalar ou vetoriais (ALONSO & FINN, 2007) Grandezas Escalares São as grandezas bem descritas apenas pelo seu valor numérico e a respectiva unidade de medida, como por exemplo, a massa e temperatura (RAMALHO JUNIOR et al, 2009) Grandezas Vetoriais As grandezas vetoriais são aquelas que para serem bem descritas necessitam, além do valor numérico e unidade, da direção e sentido de ação. São exemplos desse tipo de grandeza: a força e a velocidade. A representação dessas grandezas é feita por um ente matemática, representado graficamente como um segmento de reta orientado e que possui intensidade (valor numérico), direção e sentido (ALONSO & FINN, 2007). Figura 1 Representação de um vetor. No caso de um sistema bidimensional, como o plano xy, esse vetor será escrito da seguinte forma: Se a representação for num espaço tridimensional, do tipo xyz, teremos: 2. Atributos dos Vetores (1) + (2) Como vimos acima todo vetor possui um conjunto de atributos que serão apresentados (HALLIDAY et al, 2006): Intensidade: representa o valor numérico de uma grandeza, sendo também denominada de módulo. Direção: é definida por meio do ângulo formado entre um eixo de referência e a linha reta que liga dois pontos de interesse. Sentido: pode ser entendido como a noção geométrica de indicação da orientação da trajetória ou movimento. 5

6 2.1. Intensidade ou módulo O modulo de um vetor é dado pela raiz da soma dos quadrados de cada uma das suas componentes, tal que para um vetor no plano xy temos (ALONSO & FINN, 2007): (3) No caso de um espaço tridimensional teremos (ALONSO & FINN, 2007): (4) 2.2. Direção No caso de um sistema em duas dimensões temos que o vetor resultante, dado pela soma dos vetores v x e v y, será dado pela inclinação do vetor resultante em relação ao vetor horizontal. y x Figura 2 Representação do vetor e da inclinação em relação a horizontal. A direção desse vetor poderá ser obtida a partir da expressão (FREITAS & GARCIA, 2011): (5) Tal que: (6) 2.3. Sentido O sentido descrever a orientação do vetor, tal que podemos ter vetores com mesma direção e sentidos opostos. Figura 3 Representação de vetores em sentidos opostos. 6

7 3. Operação com Vetores 3.1. Soma de Vetores Considere dois vetores e descritos por: O vetor resultante,, da adição algébrica de suas componentes em cada direção será dado por: onde: (7) 3.2. Subtração de vetores Considere dois vetores e descritos por: O vetor resultante,, da subtração algébrica de suas componentes em cada direção será dado por: onde: (8) 3.3. Multiplicação de um vetor por um Número Se multiplicarmos o vetor por uma constante qualquer, teremos: onde: (9) 7

8 Exemplo: Calcule a força que é aplicada em um bloco de massa, capaz de provocar uma aceleração do tipo. Solução: Como podemos perceber a massa é uma grandeza escalar e a aceleração uma grandeza vetorial, utilizando a expressão 3.4. Produto Escalar É o produto entre dois vetores que tem como resultado um número ou escalar, tal que o produto entre os vetores e será escrito como onde (HALLIDAY et al, 2006): Como produto escalar entre as direções obedecem às relações a seguir: Teremos, no caso dos vetores citados: No caso desses vetores, o ângulo entre eles pode ser determinado a partir da relação: (10) Tal que (ALONSO & FINN, 2007): (10) 8

9 Exemplo: Qual o ângulo entre e? Solução: Sabemos que: sendo assim: 3.5. Produto Vetorial É produto entre dois vetores que tem como resultado um novo vetor, sendo representado por (IEZZI et al, 2011): Como produto vetorial entre as direções obedecem às relações a seguir: Fazendo as operações, obtemos: No caso do produto vetorial temos as seguintes informações importantes (IEZZI et al, 2011): A direção do vetor é sempre perpendicular aos vetores e ; O modulo do vetor é dado por = ; O sentido pode ser obtido pela regra da mão direita. 9

10 4. Exercícios de fixação 1. (EEAR- BCT- 2010) Dados os vetores dispostos no diagrama da figura. O comprimento, em cm, do vetor resultante da operação a) b) c) d), será: 2. (EEAR- BCT- 2012) Considere o sistema de forças representado na figura a seguir: Qual será módulo do vetor resultante, que equilibra o sistema, sabendo que os vetores são coplanares e. a) b) c) d) 2 3. (EEAR- CFS-B 1-2/2013) Sobre uma partícula são aplicadas duas forças, conforme o desenho. Das alternativas abaixo, assinale a qual representa, corretamente, a direção, o sentido e a intensidade, em newtons, de outra força que equilibra a partícula. Considere os vetores subdivididos em segmentos iguais que representam cada um. a) b) c) d) 10

11 5. Referencias ALONSO, M.; FINN, E. J. Física um curso universitário: mecânica. v. 1, 2ª ed. São Paulo: Edgard Blucher, FREITAS, L. S.; GARCIA, A. A. Matemática Passo a Passo com Teorias e Exercícios de Aplicação. 1ª Ed. São Paulo: Avercamp, HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física 1: mecânica. v. 1, 7ª ed. Rio de Janeiro: LTC, SEARS, F.; ZEMANSKY, M. W.; YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física I: mecânica. v. 1, 12ª ed. São Paulo: Pearson, RAMALHO JUNIOR, F.; FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T. Os Fundamentos da Física: Mecânica & hidrostática. v.1, 10 ed, São Paulo: Moderna, IEZZI. G.; DOLCE, O.; ALMEIDA, N.; DEGENSZAJN, D. Matemática: ciência e aplicações. 5ª ed. São Paulo: Atual, Respostas dos exercícios de fixação 1. d 2. b 3. c 11