Matemática Financeira Aplicada

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2 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA Introdução Conceitos básicos da Matemática Financeira ) Valor do dinheiro no tempo ) Capital inicial, montante e prazo ) Operação Financeira ) Fluxo de Caixa ) Juros e Taxa de Juros Regime de capitalização dos juros ) Juros Simples ) Juros Compostos Planilha de financiamento: Amortização, juros e saldo devedor ) Sistema Price ) Sistema de Amortizações Constantes: SAC Exercícios propostos Funções Financeiras Básicas do Excel e da HP 12C ) As funções PGTO TAXA VF VP do Excel ) As teclas n i PV PMT FV da HP-12C ) Cálculo da taxa de juros de uma série de pagamentos iguais ) Cálculo do valor presente de uma série de pagamentos iguais ) Cálculo do valor da prestação numa série de pagamentos iguais ) Cálculos envolvendo o valor futuro de uma série uniforme ) Funções Financeiras Adicionais: as funções VPL e TIR Taxas de Juros ) Taxas Proporcionais Juros simples

3 1.6.2) Taxas Equivalentes Juros compostos ) Taxa efetiva ou Taxa real ) Taxas Nominais ) Taxa Over ) Rendimento Real Cálculo da taxa anual de juros para prestações diferentes e períodos não uniformes no Excel Desconto de duplicatas ) Taxa de desconto Recupere o capital investido em seu curso Quanto pedir de desconto nas compras a vista? Exercícios resolvidos e comentados Exercícios propostos

4 1.1 Introdução MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA Um dos princípios básicos de aplicação do capital deixa claro que O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO tem que ser considerado sempre. A Matemática Financeira é a ferramenta utilizada para levar em consideração o valor do dinheiro no tempo, com o objetivo de fazer comparações consistentes entre diferentes alternativas de investimentos. Além de ser a ferramenta usada para a análise da viabilidade de projetos, a Matemática Financeira tem outras aplicações importantes nas empresas, tais como: Calcular o valor de uma prestação de um financiamento; Calcular o saldo devedor de um financiamento; Calcular o preço a vista de um financiamento proposto; Calcular a taxa efetiva de juros de um empréstimo ou aplicação financeira; Decidir qual o melhor financiamento entre vários; Decidir se é melhor alugar ou comprar um equipamento; Calcular quanto você deve poupar mensalmente para atingir um determinado objetivo; Saber quanto você deve ter hoje para cobrir gastos futuros. A MATEMÁTICA FINANCEIRA É A FERRAMENTA IDEAL PARA A OTIMIZAÇÃO DAS TOMADAS DE DECISÕES NAS EMPRESAS 1.2 Conceitos básicos da Matemática Financeira 1.2.1) Valor do dinheiro no tempo Como existem inúmeros investimentos disponíveis no mercado financeiro podemos dizer que todo o capital aplicado em qualquer investimento merece receber uma remuneração (o que constitui o conceito de valor do dinheiro no tempo) que pode ser maior ou menor, dependendo do tipo de investimento e o seu risco associado. Quanto maior o risco, maior deverá ser a remuneração do capital investido. Todo capital que não está sendo remunerado perde o que poderia estar recebendo sob a forma de juros em uma aplicação financeira, o que configura uma medida de custo de oportunidade perdido. Nenhum administrador pode, por seu livre arbítrio, deixar qualquer capital sem alguma forma de remuneração, pois existe o custo de oportunidade perdido. 4

5 1.2.2) Capital inicial, montante e prazo Capital inicial é o valor que você aplica (ou pega emprestado) hoje, também chamado de valor presente. Montante é o valor dessa aplicação (ou de sua dívida) no futuro, com a inclusão dos juros devidos, também chamado de valor futuro. O prazo de uma aplicação (n) é o número de períodos da aplicação, que pode ser medido em dias, meses, anos etc ) Operação Financeira Operação Financeira é o nome genérico que o mercado usa para referir-se a operações de empréstimos, financiamentos, desconto antecipado de duplicatas, aplicação em fundos de investimentos. Em resumo, são as transações que efetuamos no dia-a-dia, sejam de aplicação ou de captação. Toda operação financeira tem pelo menos dois lados, o lado do investidor e o lado do tomador. Por exemplo, quando você deposita na poupança, você é o investidor e a instituição do depósito é o tomador, que recebe seu investimento. Você deposita hoje (saída de caixa) um valor presente também chamado de principal e espera receber (entrada de caixa) no futuro, um valor futuro também chamado de montante, que deve ser igual à soma de seu investimento inicial (valor presente) mais os juros dessa aplicação ) Fluxo de Caixa Denomina-se fluxo de caixa de uma empresa, de um investimento ou de uma pessoa, ao conjunto das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. Podemos representar o fluxo de caixa através do seguinte diagrama: Recebimento (+) Pagamento (-) Exemplos sobre representação de um fluxo de caixa: 1) Uma pessoa depositou em uma aplicação financeira R$ ,00 e retirou R$ ,42 após 12 meses ,42 5

6 ,00 2) Uma empresa fez um investimento inicial em um equipamento industrial no valor de R$ ,00 e obteve as seguintes receitas e despesas anuais relativas ao equipamento: Ano Receita R$ Despesas R$ Resultado R$ Alem disso, no final do sexto ano a empresa resolveu vender o equipamento por R$ ,00, já descontados os impostos e as despesas de transporte ) Você comprou um eletrodoméstico cujo valor a vista era R$ 2.500,00, mas pagou seis parcelas de R$ 453,30, sendo uma entrada e as restantes com 30 dias de prazo entre elas. 453,

7 2.500,00 4) Você fez um financiamento em um banco no valor de R$ ,00 para comprar um veículo a vista. O financiamento será pago em 24 parcelas mensais iguais a R$ 1.724, , ,00 5) Uma empresa adquiriu um terreno cujo valor a vista era R$ ,00, mas resolveu pagá-lo em parcelas mensais da seguinte maneira: Entrada: R$ ,000 1ª parcela: R$ ,00 2ª parcela: R$ ,00 3ª parcela: R$ ,00 e 4ª parcela: R$ , ) Uma pessoa fez um financiamento em um banco no valor de R$ ,00 para pagar em 12 parcelas de R$ 1.034,84. Além das parcelas o banco descontou, no ato da liberação do crédito, uma taxa de cadastro de R$ 650,00 e mais R$ 285,00 relativos a impostos e comissões. 935, , ,00 7

8 1.2.5) Juros e Taxa de Juros Juro é o valor que se paga ao investidor por sua aplicação (investimento), durante um determinado período de tempo (prazo). A taxa de juros, como indica o próprio nome, é uma taxa, geralmente expresso em base percentual, por exemplo, 10% ao ano. Para calcularmos os juros, precisamos da taxa de juros pactuada entre as partes, do valor da operação e do prazo. Exemplo: Se uma aplicação para uma taxa de juros é 10% ao ano e o valor do principal aplicado é R$ 1.000,00, então os juros de um ano desta aplicação serão R$ 100,00. O montante final será então R$1.100,00, ou seja juros mais o principal Juro é a diferença entre o montante obtido no futuro (valor futuro ou F) e o capital inicial aplicado (valor presente, principal ou P) de uma aplicação. JUROS = F P No nosso exemplo: J = 1.100, ,00 = 100,00 Podemos também dizer que a taxa de juros é a relação entre o valor dos juros e o principal aplicado: No nosso exemplo: i 100 0,1 10% TAXA JUROS (i) = JUROS / PRINCIPAL 1000 Unidade de medida das Taxas de Juros: As taxas de juros são fixadas através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia. Devemos nos lembrar de colocar sempre todos os valores nas mesmas unidades de tempo. Isto é, se temos taxas de juros em anos e o número de períodos em meses, devemos colocar o tempo em anos, ou então colocar os juros em meses. 1.3 Regime de capitalização dos juros Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado ) Juros Simples Nessa categoria, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial. (Juros simples são aqueles calculados em função do capital inicial.) 8

9 Exemplo: Considere uma aplicação de R$ 100,00 que lhe renderá juros simples com taxa de 10% a.a. Qual será o saldo ao final de quatro anos? Montagem da tabela da evolução do capital aplicado ao longo do tempo: Prazo Aplicação inicio período Juros Total final período A formula que relaciona o capital inicialmente aplicado (valor presente ou P) com o montante (valor futuro ou F) no regime de capitalização simples é: F = P (1 + i n) Onde i é a taxa de juros e n o numero de períodos da aplicação ) Juros Compostos Nessa categoria, os juros de cada período são calculados sempre em função do saldo existente no início de cada respectivo período. Exemplo Considere uma aplicação de R$ 100,00 que renderá juros compostos com taxa de 10% a.a. Qual será o saldo ao final de quatro anos? Montagem da tabela da evolução do capital aplicado ao longo do tempo: Prazo Aplicação inicio período ,1 Juros ,1 13,31 Total final período ,1 146,41 A formula para o cálculo do montante (valor futuro F), dados o capital inicial (valor presente P), a taxa de juros (i) e o prazo de aplicação (n) no regime de capitalização composta é: F = P x (1 + i) n (Fórmula da Capitalização) Usaremos a fórmula da capitalização quando temos um valor presente e queremos levá-lo a valor futuro. Podemos também obter a fórmula para o cálculo do capital inicial (valor presente P), dados o montante (valor futuro F), a taxa de juros (i) e o prazo de aplicação (n) no regime de capitalização composta: 9

10 P = _F (Fórmula da Descapitalização) (1 + i) n Usaremos a fórmula da descapitalização quando temos um valor futuro e queremos trazê-lo a valor presente. Veja no gráfico a evolução de um valor aplicado a uma taxa de juros com capitalização simples e com capitalização composta Juros Simples e Juros Compostos Juros Compostos Juros Simples Comparando a evolução de um valor aplicado a uma taxa de juros com capitalização simples e com capitalização composta, podemos concluir facilmente que o dinheiro cresce mais na capitalização composta. 10

11 Podemos também montar a equação de equilíbrio do fluxo de caixa: X1 X2 Xn n P P = X1 + X Xn. (1 + i ) (1 + i ) 2 (1 + i ) n Com as fórmulas do valor presente, do valor futuro e a equação de equilíbrio do fluxo de caixa, podemos resolver os principais problemas da Matemática Financeira no regime de juros compostos. Exemplos: 1)Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 2.850,00 por um prazo de oito meses, a uma taxa de juros de 1,5% ao mês. Calcular o saldo no final da aplicação. Temos um valor presente e queremos levá-lo a valor futuro e para isso usaremos a fórmula da capitalização: F = P x ( 1 + i) n onde: P = 2.850, n = 8 e i = 0,015 em decimal (1,5 / 100), então: F = x ( 1 + 0,015) 8 F = 3.210,50 Então, se aplicarmos hoje R$ 2.850,00 por um período de oito meses, a uma taxa de 1,5% ao mês, teremos R$ ao final dos oito meses. 2) Quanto preciso aplicar hoje para no final de vinte e quatro meses obter uma quantia de R$ ,00, sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês. Temos um valor futuro e queremos trazê-lo para valor presente e para isso usaremos a fórmula da descapitalização: 11

12 P = _F onde: F = , n = 24 e i = 0,02 em decimal (2 / 100), então: (1 + i) n P = _ P = ,43 (1 + 0,02) 24 Então, para obtermos a quantia de R$ ,00 daqui a vinte e quatro meses, temos que aplicar hoje R$ ,43 a uma taxa de 2% ao mês. 3) O preço a vista de uma mercadoria é igual a R$ 3.250,00 e pode ser parcelado em três prestações mensais e iguais, sem entrada, com taxa de juros de 1,5% ao mês. Calcular o valor da parcela. Trata-se de um problema de elaboração de um financiamento com prestações iguais (Sistema Price). Usaremos a equação de equilíbrio do fluxo de caixa: X X X ,00 Como, neste caso, as parcelas são iguais, vamos representá-las por X. Então: = X + X + X onde: ( 1 + 0,015 ) ( 1 + 0,015 ) 2 ( 1 + 0,015 ) = 0,9852 X + 0,9707 X + 0,9563 X ou = 2,9122 X X = 1.115,99 Logo, o valor presente de R$ 3.250,00 pode ser financiado em três prestações mensais de R$ 1.115,99, com taxa de juros de 1,5% ao mês. 4) Uma pessoa tem uma dívida de R$ ,00 e está negociando pagar uma parcela de R$ 8.000,00 daqui a dois meses, outra parcela de R$ ,00 daqui a quatro meses e uma última parcela daqui a seis meses. Calcular o valor dessa última parcela, sabendo que a taxa de juros é de 2,5% ao mês. Trata-se de um problema de elaboração de um financiamento com prestações diferentes. Usaremos a equação de equilíbrio do fluxo de caixa: X 12

13 ,00 Então: = X onde: ( 1 + 0,025 ) 2 ( 1 + 0,025 ) 4 ( 1 + 0,025 ) = 7.614, ,51 + 0,8623 X ou 6.575,97 = 0,8623 X X = 7.626,09 Logo, o valor da terceira parcela é de R$ 7.626,09, com taxa de juros de 2,5% ao mês. Observação: Os problemas de montagem de planos de financiamento podem ser resolvidos com a utilização da equação de equilíbrio do fluxo de caixa. O problema é que quando o número de parcelas fica muito grande, a equação de equilíbrio do fluxo de caixa fica muito extensa. Por isso, vamos aprender a utilizar a calculadora financeira HP-12C e as funções financeiras do Excel mais adiante. 1.4 Planilha de financiamento: Amortização, juros e saldo devedor. O objetivo de montar uma planilha de financiamento é mostrar separadamente os juros, as amortizações, as prestações e o saldo devedor. Assim fazendo, podemos detalhar melhor todos os tipos de financiamento. Uma prestação contém juros (aluguel do dinheiro) e amortização (pagamento de uma parte do principal). Existem planos de financiamento com prestações iguais (sistema Price), que é o mais comum no comércio em geral. Existem também planos de financiamentos com amortizações iguais, que é o Sistema de Amortizações Constantes (sistema SAC), muito utilizado nos financiamentos de longo prazo. Na realidade, podemos criar outros tipos de planos de financiamento, dependendo do jeito que queremos amortizar o capital ) Sistema Price Vamos compor a planilha de um financiamento com as seguintes condições: valor financiado: R$ 1.000,00; taxa de juros: 2,5% a/m; nº. de parcelas: seis; valor da parcela: R$ 181,55. Mês Saldo Inicial Juros Amortização Prestação Saldo Final ,00 25,00 156,55 181,55 843,45 13

14 2 843,45 21,09 160,46 181,55 682, ,99 17,07 164,48 181,55 518, ,51 12,96 168,59 181,55 349, ,92 8,75 172,80 181,55 177, ,12 4,43 177,12 181,55 - Vamos explicar detalhadamente os cálculos das duas primeiras linhas da tabela acima 1.000,00 corresponde ao saldo devedor inicial no primeiro mês. 25,00 corresponde ao juro relativo ao primeiro mês. (2,5% de R$1.000,00). 156,55 corresponde à amortização (pagamento do capital) do primeiro mês. O valor é obtido através da fórmula: Amortização = Prestação Juros. 156,55 = 181,55 25,00). Deve-se observar que uma prestação contém juros e amortização. 181,55 corresponde ao valor da prestação. Como o sistema é Price, as prestações são iguais. 843,45 corresponde ao saldo devedor após o pagamento da primeira prestação. Seu valor é obtido através da fórmula: Saldo Final = Saldo Inicial Amortização. (843,45 = 1.000,00 156,55). Observe que, no cálculo do saldo final, não consideramos o valor do juro pago (R$25,00), pois este valor corresponde simplesmente ao aluguel do capital e não pode ser abatido da dívida, pois não se trata de amortização. 843,45 corresponde ao saldo inicial do segundo mês. É claro que o saldo final do primeiro mês tem que ser igual ao saldo inicial do segundo mês. 21,09 corresponde ao juro relativo ao segundo mês. (2,5% de R$ 843,45). Note que o saldo devedor não é mais R$ 1.000,00 e, sim, R$ 843, ,46 corresponde à amortização (pagamento do capital) do segundo mês. O valor é obtido através da fórmula: Amortização = Prestação Juros. (160,46 = 181,55 21,09) 181,55 corresponde ao valor da prestação. Como o sistema é Price, as prestações são iguais. 682,99 corresponde ao saldo devedor após o pagamento da segunda prestação. Seu valor é obtido através da fórmula: Saldo Final = Saldo Inicial Amortização. (682,99 = 843,45 160,46). Observação: O restante da tabela segue o mesmo raciocínio. Agora é com você. Tente calcular os valores próximas linhas. É fazendo que se aprende. Mãos à obra! 1.4.2) Sistema de Amortizações Constantes: SAC 14

15 Vamos compor a planilha de um financiamento com as seguintes condições: valor financiado: R$ 3.000,00; taxa de juros: 2,5% a/m; número de parcelas: seis. Neste sistema as prestações são variáveis, sempre vão caindo com o passar do tempo e as amortizações são constantes. Mês Saldo Inicial Juros Amortização Prestação Saldo Final ,00 75,00 500,00 575, , ,00 62,50 500,00 562, , ,00 50,00 500,00 550, , ,00 37,50 500,00 537, , ,00 25,00 500,00 525,00 500, ,00 12,50 500,00 512,50 - Vamos explicar detalhadamente os cálculos das duas primeiras linhas da tabela acima 3.000,00 corresponde ao saldo devedor inicial no primeiro mês. 75,00 corresponde ao juro relativo ao primeiro mês. (2,5% de R$ 3.000,00). 500,00 corresponde à amortização (pagamento do capital) do primeiro mês. O valor é obtido por meio da fórmula: Amortização = Valor Financiado / Nº de parcelas. (500,00 = 3.000,00 / 6). Lembre-se que, neste sistema de financiamento, as amortizações são iguais para todos os meses. Então, temos que amortizar os R$ 3.000,00 nas seis parcelas a pagar, que corresponde a R$ 500,00 por mês. 575,00 corresponde ao valor da prestação. Que é obtido por meio da fórmula: Prestação = Juros + Amortização. (575,00 = 500, ,00) 2.500,00 corresponde ao saldo devedor após o pagamento da primeira prestação. Seu valor é obtido por meio da fórmula: Saldo Final = Saldo Inicial Amortização. (2.500,00 = 3.000,00 500,00). Observe que, no cálculo do saldo final, aqui também não consideramos o valor do juro pago (R$ 75,00), pois este valor corresponde simplesmente ao aluguel do capital e não pode ser abatido da dívida, pois não se trata de amortização ,00 corresponde ao saldo inicial do segundo mês. É claro que o saldo final do primeiro mês tem que ser igual ao saldo inicial do segundo mês. 62,50 corresponde ao juro relativo ao segundo mês. (2,5% de R$ 2500,00). Note que o saldo devedor não é mais R$ 3.000,00 e, sim, R$ 2.500,00. 15

16 500,00 corresponde a amortização (pagamento do capital) do segundo mês. Que é constante. 562,50 corresponde ao valor da prestação. Que é obtido por meio da fórmula: Prestação = Juros + Amortização. (562,50 = 500, ,50) ,00 corresponde ao saldo devedor após o pagamento da primeira prestação. Seu valor é obtido por meio da fórmula: Saldo Final = Saldo Inicial Amortização. (2.000,00 = 2.500,00 500,00). Observação: O restante da tabela segue o mesmo raciocínio. Agora é com você. Tente calcular os valores próximas linhas. É fazendo que se aprende. Mãos à obra! 16

17 Exercícios propostos Observação: Os exercícios de 1 a 8 devem ser resolvidos usando apenas os conceitos apresentados até aqui. 1) Uma empresa tem os seguintes valores a pagar: R$ ,00 vencidos há dois meses, R$ 9.600,00 com vencimento daqui a cinco meses e R$ ,00 com vencimento daqui a oito meses. Se a taxa de juros vigente é de 1,25% a/m, pede-se: 1.1) Qual seria o valor único para liquidar a dívida hoje? Resposta: R$ ,71 1.2) Qual seria o valor único para liquidar a dívida daqui a três meses? Resposta: R$ ,07 1.3) Se a empresa se dispuser a dar uma entrada hoje de R$ ,00 e pagar uma parcela de R$ ,00 daqui a três meses e mais uma parcela adicional daqui a seis meses, qual seria o valor dessa parcela? Resposta: R$ ,50 1.4) Se a empresa preferir efetuar três pagamentos iguais (mesmo valor nominal) daqui a dois, três e quatro meses, qual deve ser o valor desses pagamentos? Resposta: R$ ,03 2) O preço de uma mercadoria, para pagamento a vista, é R$ ,00. O fornecedor se propõe a efetuar a venda a prazo, mas cobra uma taxa de juros de 1,75% a/m. 2.1) Se o comprador der uma entrada de R$ 8.000,00 e pagar uma segunda parcela de R$ 7.000,00 após três meses, qual será o valor da parcela adicional que deverá ser paga no final do sexto mês? Resposta: R$ 8.716,72 2.2) Se o comprador quiser pagar em três parcelas consecutivas mensais e iguais (30, 60 e 90 dias), qual será o valor dessas parcelas? Resposta: R$ 7.764,02 2.3) Se o comprador quiser pagar em três parcelas consecutivas mensais e iguais (entrada, 30 e 60 dias), qual será o valor dessas parcelas? Resposta: R$ 7.630,48 3) Uma pessoa fez um financiamento pelo sistema SAC que foi contratado nas seguintes condições: Valor financiado: R$ ,00; taxa de juros: 2,5% a/m; número de parcelas: 24. Calcular o valor da sexta parcela, o total de juros pago, o total amortizado e o saldo devedor após o pagamento dessa sexta parcela. Resposta: Sexta parcela = R$ 2.950,00. Juros = R$ 6.450,00 Amortização: R$ ,00 Saldo devedor: R$ ,00 4) Idem exercício anterior considerando o financiamento pelo sistema Price com prestação igual a R$ 2.683,82. Resposta: Sexta parcela = R$ 2.683,82. Juros = R$ 6.624,67 Amortização: R$ 9.478,25 Saldo devedor: R$ ,75 5) Um financiamento de R$ ,00 com prazo total de 24 meses, sendo seis meses de carência (onde serão pagos apenas juros trimestrais) e 18 meses de amortização. Compor a planilha do financiamento e calcular o total de juros pago, sabendo que a taxa de juros é igual a 2% a/m, usando o sistema: 5.1) SAC Resposta: Juros = R$ ,92 5.2) Price com prestação igual a R$ ,38. Resposta: Juros = R$ ,69 5.3) Podemos afirmar que o custo do financiamento Price é maior do que o SAC? 17

18 6) Uma pessoa financiou um veículo no valor de R$ ,00 a uma taxa de 1,42% ao mês, sem entrada, perfazendo 36 parcelas mensais de R$ 2.803,87. Entretanto, após o pagamento da 12ª parcela, a pessoa não conseguiu pagar as três parcelas seguintes e, por isso, resolveu vender o veículo com o repasse do financiamento. 6.1) Calcular o total de juros, o total amortizado e o saldo devedor após o pagamento da 12ª parcela. Resposta: Juros = R$ ,36 Amortização: R$ ,08 Saldo devedor: R$ ,92 6.2) Calcular o saldo devedor atualizado considerando as três parcelas em atraso e a mesma taxa de juros. Resposta: R$ ,28 6.3) A pessoa que assumiu o financiamento deseja liquidá-lo em quatro parcelas mensais, iguais e consecutivas (entrada, 30 dias, 60 dias e 90 dias). Calcular o valor das parcelas considerando a mesma taxa de juros. Resposta: R$ ,46 7) Uma empresa adquiriu determinado equipamento cujo valor a vista era igual a R$ ,00 e resolveu amortizá-lo da seguinte maneira: Entrada: R$ ,00 30 dias: R$ ,00 60 dias: R$ ,00 e 90 dias: R$ ,00. Calcular o valor das prestações, sabendo que a taxa de juros é igual a 2,5% a/m. Resposta: 30 dias: R$ ,00 60 dias: R$ ,00 90 dias: ,00 8) Uma empresa assumiu um financiamento de R$ ,00, com prazo de quarenta e oito meses, taxa de juros de 0,85% a/m e correção monetária de 0,50% a/m. A empresa pagou regularmente apenas as cinco primeiras parcelas que foram: R$ 1.356,90 R$ 1.358,99 R$ 1.361,08 R$ 1.370,96 R$ 1.373,07. Daí para frente a empresa não pagou mais nada, mas no décimo mês resolveu depositar em juízo seis parcelas mensais consecutivas de R$ 1.200,00. Calcular o saldo devedor após o depósito em juízo da ultima parcela. Resposta: R$ ,14. 18

19 1.5 Funções Financeiras Básicas do Excel e da HP 12C 1.5.1) As funções PGTO TAXA VF VP do Excel São funções muito úteis na prática financeira das empresas, com elas podemos calcular a prestação de uma série de pagamentos iguais a uma determinada taxa de juros, a taxa de juros embutida em um financiamento, o valor futuro de uma série de pagamentos iguais a uma determinada taxa de juros e o valor presente de uma série de pagamentos iguais. Estes são os principais problemas da Matemática Financeira, que veremos a seguir. Muito importante: Antes de utilizar quaisquer funções financeiras no Excel temos que montar o fluxo de caixa da operação em estudo para evitar mensagens de erro. Significado das funções financeiras básicas: Função PGTO valor dos pagamentos ou recebimentos por período. (Equivale a PMT na HP) Função TAXA taxa de juros por período. (Equivale a i na HP) Função VF valor futuro do fluxo de caixa. (Equivale a FV na HP) Função VP valor presente ou valor inicial do fluxo de caixa. (Equivale a PV na HP) Nper número de períodos do fluxo de caixa. (Equivale a n na HP) Obs.: o número de períodos e a taxa de juros devem estar na mesma unidade de tempo, se o número de períodos for mensal, a taxa de juros também deve ser mensal; por outro lado, se o número de períodos for diário, a taxa de juros deve ser diária. Tipo define se a operação é com entrada ou sem entrada. 0 (sem entrada) e 1 (com entrada) ) As teclas n i PV PMT FV da HP-12C São teclas muito úteis na prática financeira das empresas, com elas podemos calcular a taxa de juros embutida em um financiamento, o valor presente de uma série de pagamentos iguais, a prestação de uma série de pagamentos iguais a uma determinada taxa de juros e o valor futuro de uma série de pagamentos iguais a uma determinada taxa de juros. Estes são os principais problemas da Matemática Financeira, que veremos a seguir. Sempre que utilizarmos as teclas financeiras, temos que, antes, limpar as memórias da calculadora, utilizando a sequência de teclas: f CLX. Se, após a introdução dos dados do fluxo de caixa de uma operação financeira aparecer a mensagem ERROR 5, quer dizer que houve erro de sinal na introdução dos dados. para evitar o ERROR 5, utilizaremos o valor presente (PV) sempre com sinal negativo. Significado das teclas financeiras básicas: Tecla n número de períodos do fluxo de caixa. (Equivale a Nper no Excel) Tecla i taxa de juros por período. (Equivale a TAXA no Excel) Obs.: o número de períodos e a taxa de juros devem estar na mesma unidade de tempo, se o número de períodos for mensal, a taxa de juros também deve ser mensal; por outro lado, se o número de períodos for diário, a taxa de juros deve ser diária. 19

20 Tecla PV valor presente ou valor inicial do fluxo de caixa. (Equivale a VP no Excel) Tecla PMT valor dos pagamentos ou recebimentos por período. (Equivale a PGTO no Excel) Tecla FV valor futuro do fluxo de caixa. (Equivale a VF no Excel) 1.5.3) Cálculo da taxa de juros de uma série de pagamentos iguais Sendo dados o valor financiado, o número de prestações e o valor das prestações, podemos calcular a taxa de juros da operação. Fórmula do Excel: = TAXA(nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa) No cálculo da taxa de juros o Excel as vezes exige uma estimativa, que deverá ser apresentada em porcentagem, por exemplo: 1%. É claro que o valor calculado da taxa de juros independe do valor da estimativa. Exemplos: 1) Uma mercadoria, cujo preço a vista, é igual a R$ 565,00 pode ser financiada em três pagamentos iguais, sem entrada, de R$ 213,33. Calcular a taxa de juros do financiamento. Fluxo de caixa: 213, ,00 no Excel: = TAXA (3;213,33;-565;0;0;1%) ENTER 6,50%. Portanto, a taxa de juros do financiamento é igual a 6,5% ao mês. na HP Esta é uma operação financeira sem entrada, temos que certificar que a calculadora está preparada para operar nessa condição. Para isto, utilizaremos a sequência de teclas: g e 8, que corresponde ao modo END (sem entrada). Seqüência de teclas: f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). 565 CHS PV (insere o preço à vista, para a calculadora entender a linguagem do fluxo de caixa, sempre que utilizarmos a tecla PV, usaremos, antes, a tecla CHS, que significa sinal negativo e, em operações financeiras, indica saída de caixa) 3 n (insere o número de prestações) 213,33 PMT (insere o valor das prestações) i 6,50 (significa que a taxa mensal de juros do financiamento é igual a 6,5%) 20

21 2) Uma mercadoria custa, a vista, R$ 750,00, mas pode ser financiada em quatro pagamentos iguais, com entrada (1 + 3), de R$ 212,00. Calcular a taxa de juros do financiamento. Fluxo de caixa: 212, ,00 no Excel: = TAXA(4;212;-750;0;1;1%) ENTER 8,86%. Portanto, a taxa de juros do financiamento é igual a 8,86% ao mês. na HP Trata-se de uma operação financeira com entrada, temos que certificar que a máquina está preparada para operar nessa condição. Para isto, digitaremos a sequência de teclas: g e 7, que corresponde ao modo BEG (com entrada). Quando a calculadora estiver operando no modo BEG (com entrada), aparece a palavra BEGIN no visor. Caso não apareça a palavra BEGIN no visor, a calculadora está operando no modo END (sem entrada). Seqüência de teclas: f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). g 7 (prepara a calculadora para operar no modo BEG (com entrada)). 750,00 CHS PV (insere o preço a vista) 4 n (insere o número de prestações) 212 PMT (insere o valor das prestações) i 8,86 (significa que a taxa mensal de juros do financiamento é igual a 8,86%) ) Cálculo do valor presente de uma série de pagamentos iguais Sendo dados, a taxa de juros, o número de prestações e o valor das prestações, podemos calcular o valor presente da operação. Fórmula do Excel: =VP(taxa;nper;pgto;vf;tipo) Exemplos: 21

22 1) Uma mercadoria pode ser financiada em 8 pagamentos iguais, sem entrada, iguais a R$ 145,50. Sabendo que a taxa mensal de juros está em 5 %, calcular o valor a vista do financiamento. Fluxo de caixa: 145, VP no Excel: = VP(5%;8;145,50;0;0) ENTER - 940,40 (saída de dinheiro) Portanto, o valor a vista do financiamento é igual a R$ 940,40 na HP Seqüência de teclas: f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). g 8 (prepara a calculadora para operar no modo END, sem entrada) 145,50 PMT (insere o valor das prestações) 8 n (insere o número de prestações) 5 i (insere a taxa de juros) PV - 940,40 (indica o valor à vista do financiamento). 2) Uma mercadoria pode ser financiada em 12 pagamentos iguais, com entrada (1 + 11), de R$ 236,50. Sabendo que a taxa mensal de juros está em 7%, calcular o valor que deve ser pago a vista pela mercadoria. Fluxo de caixa: 236, PV no Excel: = VP(7%;12;236,50;0;1) ENTER ,94 (saída de dinheiro) Portanto, o valor a vista do financiamento é igual a R$ 2.009,94 na HP Seqüência de teclas: f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). g 7 (prepara a calculadora para operar no modo BEG, com entrada) 22

23 236,50 PMT (insere o valor das prestações) 12 n (insere o número de prestações) 7 i (insere a taxa de juros) PV ,94 (indica o valor que deve ser pago a vista) ) Cálculo do valor da prestação numa série de pagamentos iguais Sendo dados, o valor presente, a taxa de juros e o número de prestações, podemos calcular o valor das prestações da operação. Fórmula do Excel: = PGTO(taxa;nper;vp;vf;tipo) Exemplos: 1) Uma empresa assumiu uma dívida de R$ ,00, sendo o pagamento em seis prestações mensais iguais, sem entrada, a uma taxa de juros igual a 4,5% a/m. Calcular o valor das prestações. Fluxo de caixa: PGTO ,00 no Excel: = PGTO(4,5%;6;-38550;0;0) ENTER 7.474,01 Portanto, o valor das prestações do financiamento é igual a R$ 7.474,01 na HP Seqüência de teclas f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora) CHS PV (insere o valor presente da dívida) 6 n (insere o número de prestações) 4,5 i (insere a taxa mensal de juros) PMT 7.474,01 (indica o valor de cada prestação mensal) 2) Uma mercadoria é vendida, a vista, por R$ 218,36, calcular o valor das prestações para o pagamento em 5 parcelas iguais, com entrada (1 + 4), sendo a taxa de juros igual a 3% a/m. Fluxo de caixa: PGTO

24 218,36 no Excel: = PGTO(3%;5;-218,36;0;1) ENTER 46,29 Portanto, o valor das prestações do financiamento é igual a R$ 46,29. na HP Seqüência de teclas f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). g 7 (prepara a calculadora para operar no modo BEG - com entrada) 218,36 CHS PV (insere o valor presente da dívida) 5 n (insere o número de prestações) 3 i (insere a taxa mensal de juros) PMT 46,29 (indica o valor de cada prestação mensal) 1.5.6) Cálculos envolvendo o valor futuro de uma série uniforme Em diversas situações necessitamos atualizar o valor de uma dívida, ou calcular o valor presente de uma duplicata que irá vencer daqui a alguns dias, ou então calcular a taxa efetiva obtida numa aplicação financeira, etc. Todas as situações citadas anteriormente, envolvem o valor futuro. Fórmula do Excel: =VF(taxa;nper;pgto;vp;tipo) Exemplos: 1) Uma dívida no valor de R$ 3.450,00 com vencimento para hoje foi prorrogada por 22 dias. Sabendo que a taxa de juros diária é igual a 0,32%. Calcular o valor a ser pago daqui a 22 dias. Fluxo de caixa: FV ,00 no Excel: = VF(0,32%;22;0;-3450; 0) ENTER 3.701,22 Portanto, o valor futuro da dívida é igual a R$ 3.701,22. na HP 24

25 f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora) CHS PV (insere o valor da duplicata hoje) 22 n (insere o número de dias da prorrogação) 0,32 i (insere a taxa diária) FV 3.701,22 (indica o valor a ser pago) 2) Uma pessoa vai fazer doze depósitos mensais de R$ 1.350,00 a partir de hoje em uma aplicação financeira que rende 1,25% ao mês. Calcular o saldo que pessoa terá ao final dos doze meses. Fluxo de caixa: 1.350, no Excel: = VF(1,25%;12;1350;0; 1) ENTER ,51 Portanto, o valor futuro da aplicação é igual a R$ ,51. na HP f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). g 7 (prepara a calculadora para operar no modo BEG - com entrada) 1350 PMT (insere o valor dos depósitos, como é saída de dinheiro, deve-se colocar sinal negativo) 12n (insere o prazo) 1,25 i (insere a taxa diária) FV ,51 (indica o valor futuro da aplicação, ou seja, o saldo ao final dos doze meses) FV 1.5.7) Funções Financeiras Adicionais: as funções VPL e TIR Nem sempre os valores dos pagamentos ou recebimentos, em cada período do fluxo de caixa, são iguais. Na prática financeira das empresas podemos estar diante de um fluxo de caixa deste tipo:

26 Esse fluxo de caixa indica que houve um investimento (saída) inicial de R$ 20, e recebimentos (entradas) mensais de R$ 5.000,00 no fim do primeiro mês, R$ 6.000,00 no fim do segundo mês, R$ 4.000,00 no fim do terceiro mês, R$ 5.000,00 no fim do quarto mês e R$ 8.000,00 no fim do quinto mês. Significado das funções financeiras adicionais VPL Calcula o valor líquido de um fluxo de caixa com base em uma taxa de juros e uma série de entradas e saídas de caixa. (Equivale a NPV na HP). TIR Calcula a taxa interna de retorno de um fluxo de caixa. (Equivale a IRR na HP) ) Cálculo do Valor Presente Líquido de um fluxo de caixa Fórmula do Excel: = VPL(Taxa;valor1;valor2;...) + Valor 0 Exemplo: Uma indústria está analisando a viabilidade de adquirir equipamentos para a montagem de mais uma unidade de produção. O valor dos equipamentos é de R$ ,00, com vida útil prevista para dez anos e valor de revenda estimado em R$ ,00. As receitas líquidas anuais estão estimadas em R$ ,00, por ano, durante os dois primeiros anos; R$ ,00, por ano, nos três anos seguintes; R$ ,00 no sexto ano; R$ ,00 para os três anos seguintes e R$ ,00 para o décimo ano. Para o final do sexto ano está prevista uma reforma geral nos equipamentos no valor de R$ ,00. Calcular o valor atual do fluxo de caixa do investimento para uma taxa de juros de 30% a/a. Composição do fluxo de caixa: Ano 0: saída de R$ Ano 1: entrada de R$ Ano 2: entrada de R$ Ano 3: entrada de R$ Ano 4: entrada de R$ Ano 5: entrada de R$ Ano 6: entrada de R$ e saída de R$ (reforma) = saída de R$ Ano 7: entrada de R$ Ano 8: entrada de R$ Ano 9: entrada de R$ Ano 10: entrada de entrada (revenda) = entrada de R$ no Excel: A B 26

27 1 Fluxo de Caixa 2 Anos R$ 3 0 ( ) (10.000) VPL =VPL(30%;B4:B13)+B3 Ao digitar a fórmula do VPL no Excel e pressionar Enter aparece o resultado ,54 Então o valor presente líquido do investimento é igual a R$ ,54. na HP f FIN CHS g Cfo g Cfj 2 g NJ g Cfj 3 g Nj CHS g Cfj g Cfj 3 g Nj g Cfj f NPV ,54 A tecla NPV que é obtida pressionando a tecla f seguida da tecla PV nos informa o valor presente de um fluxo de caixa, ou seja, o saldo financeiro do fluxo de caixa (entradas - saídas) na data de hoje, considerando determinada taxa de juros ) Cálculo da taxa de retorno de um fluxo de caixa Fórmula do Excel: = TIR(valores;estimativa) Exemplo: Vamos aproveitar o fluxo de caixa do exemplo anterior e calcular a taxa interna de retorno do investimento. no Excel: A B 1 Fluxo de Caixa 2 Anos R$ 3 0 ( )

28 (10.000) TIR =TIR(B3:B13) Ao digitar a fórmula da TIR no Excel e pressionar Enter aparece o resultado 36,41 Então a taxa interna de retorno do investimento é igual a 36,41% ao ano. na HP A tecla IRR, que é obtida pressionando a tecla f seguida da tecla FV, nos informa a taxa de retorno de um fluxo de caixa. A taxa de retorno obtida estará na mesma unidade de tempo dos períodos do fluxo de caixa, por exemplo, se os recebimentos ou pagamentos forem mensais, a taxa de retorno será também mensal; se, por outro lado, os recebimentos e pagamentos forem anuais, taxa de retorno será também anual, e assim por diante. Vamos aproveitar o fluxo de caixa do exemplo anterior, que já está inserido na calculadora (a não ser que você limpou as memórias), e calcular a taxa de retorno do investimento. (Se você limpou as memórias da calculadora, digite novamente o fluxo de caixa anterior). Para obter a taxa de retorno do fluxo de caixa, basta digitar a tecla f seguida da tecla FV, tendo como resultado o valor 36.41, isto significa que a taxa de retorno anual (pois os períodos estão em anos) do investimento é igual a 36,41%, que, como já era de se esperar, maior que a taxa de juros anual ) Mensagem de erro da HP-12C no cálculo da TIR Exemplo: Os técnicos de uma indústria estão analisando a viabilidade da compra de uma máquina no valor de R$ ,00, com vida útil de cinco anos e que tem capacidade de produção prevista para os próximos cinco anos. Como a partir do sexto ano a produção deverá crescer bastante a indústria terá que substituir a máquina por duas do mesmo porte ao final do quinto ano. O valor residual das máquinas é R$ ,00. As receitas líquidas anuais para os próximos dez anos estão estimadas em R$ ,00 para os cinco primeiros anos, R$ ,00 para os dois anos seguintes e R$ ,00 para os três últimos anos. Calcular a taxa interna de retorno dessas máquinas. Composição do fluxo de caixa Ano 0: saída de R$ ,00 Anos 1ao 4: entrada de R$ ,00 por ano Ano 5: saída de R$ ,00 (R$ ,00 + R$ ,00 R$ ,00) Anos 6 ao 7: entrada de ,00 por ano 28

29 Anos 8 ao 9: entrada de ,00 Ano 10: entrada de R$ ,00 (R$ ,00 + R$ ) no Excel: A B 1 Fluxo de Caixa 2 Anos R$ 3 0 ( ,00) , , , , ( ,00) , , , , ,00 14 TIR =TIR(B3:B13) Ao digitar a fórmula da TIR no Excel e pressionar Enter aparece o resultado 33,95 Então a taxa interna de retorno do investimento é igual a 33,95% ao ano. Nesse fluxo de caixa o Excel não apresentou mensagem de erro, mas se aparecer alguma mensagem de erro basta digitar a estimativa solicitada na fórmula da TIR do Excel. na HP f FIN CHS g Cfo g Cfj 4 g NJ CHS g Cfj g Cfj 2 g NJ g Cfj 2 g Nj g Cfj f IRR Error 3 A calculadora não conseguiu calcular a TIR diretamente e precisamos inserir uma estimativa para a TIR. Vamos inserir uma estimativa de 20% para a TIR. O valor da estimativa não influi no resultado. Faça o teste. CLX 20 RCL g PSE 33,95% A mensagem de erro aparece em alguns fluxos de caixa que apresentam mais de uma inversão de entrada e saída de caixa, como ocorreu nos anos 0 para o ano 1 e no ano 5 para o ano 6. Nesse caso basta digitar CLX para limpar a mensagem de erro, inserir uma estimativa e digitar a seqüência de teclas RCL g PSE. 29

30 1.6 Taxas de Juros 1.6.1) Taxas Proporcionais Juros simples Duas ou mais taxas são proporcionais quando aplicadas a um mesmo capital e durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante no regime de juros simples. As taxas de Juros Simples têm sua conversão de unidades de tempo por simples proporcionalidade. As taxas proporcionais são muito utilizadas em juros de mora e descontos bancários. Usaremos as seguintes notações: ia = taxa anual - is = taxa semestral - it = taxa trimestral - im = taxa mensal - id = taxa diária Exemplos: 1) Calcular a taxa mensal proporcional a 60% a/a. Usaremos o critério de proporcionalidade: im = ia / 12 então im = 60% / 12 onde: im = 5% 2) Calcular a taxa mensal proporcional a 0.20% a/d. Usaremos o critério de proporcionalidade: im = id x 30 então im = 0,20 x 30 onde: im = 6% 1.6.2) Taxas Equivalentes Juros compostos Duas ou mais taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital e durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante no regime de juros compostos. (1 + id) 360 = (1 + im) 12 = (1 + it) 4 = (1 + is) 2 = (1 + ia) Exemplos: 1) Calcular a taxa anual equivalente a taxa de 3% ao mês Usando a relação: (1 + im) 12 = (1 + ia) então: (1 + 0,03) 12 = 1 + ia aonde ia = 0,4258 ou 42,58% Na HP 12C f FIN 100 CHS PV (utilizando 100 torna-se mais fácil interpretar o montante) 3 i (que é a taxa mensal de juros) 12 n (para repetir 12 vezes a taxa mensal) 30

31 FV 142,58 (um investimento de 100 gerou um montante de 142,58, que corresponde a um ganho de 42,58 % ao ano). No Excel =VF(3%;12;0;-100;0) 142,58 (um investimento de 100 gerou um montante de 142,58, que corresponde a um ganho de 42,58 % ao ano). 2) Calcular a taxa diária equivalente a 50% ao ano Usando a relação: (1 + id) 360 = (1 + ia) então: (1 + id) 360 = 1 + 0,50 onde id = 0,0011ou 0,11% Na HP 12C f FIN 100 CHS PV (utilizando 100 torna-se mais fácil interpretar o montante) 150 FV ( representa o montante relativo a uma taxa de juros de 50 % ao ano) 360 n (para repetir 360 vezes a taxa diária) i 0,11 (0,11% ao dia representa a taxa diária de juros). No Excel: =TAXA(360;0;-100;150;1%) 0,11% juros). (0,11% ao dia representa a taxa diária de 3) Calcular a taxa trimestral equivalente a 1,75% ao mês Usando a relação: (1 + im) 12 = (1 + it) 4 simplificando os expoentes: (1 + im) 3 = (1 + it) então: (1 + 0,0175) 3 = 1 + it onde it = 0,0534 ou 5,34% Na HP 12C f FIN 100 CHS PV (utilizando 100 torna-se mais fácil interpretar o montante) 1,75 i (que é a taxa mensal de juros) 3 n (para repetir 3 vezes a taxa mensal) FV 105,34 (um investimento de 100 gerou um montante de 105,34, que corresponde a um ganho de 5,34 % ao trimestre). No Excel =VF(1,75%;3;0;-100;0) 105,34 (um investimento de 100 gerou um montante de 105,34, que corresponde a um ganho de 5,34 % ao trimestre). 4) Calcular a taxa mensal equivalente a 20% ao ano Usando a relação: (1 + im) 12 = (1 + ia) 31

32 então: (1 + im) 12 = 1 + 0,30 resolvendo a equação, temos: im = 0,0153 ou 1,53% Na HP 12C f FIN 100 CHS PV (utilizando 100 torna-se mais fácil interpretar o montante) 120 FV ( representa o montante relativo a uma taxa de juros de 20 % ao ano) 12 n (para repetir 12 vezes a taxa diária) i 1,53 (1,53% ao mês representa a taxa mensal de juros). No Excel: =TAXA(12;0;-100;120;1%) 1,53% juros). (1,53% ao dia representa a taxa mensal de 1.6.3) Taxa efetiva ou Taxa real É a taxa que cumpre com o princípio da equivalência de capitais, isto é, a taxa efetiva de uma operação é a taxa na qual se verifica que a soma algébrica dos capitais participantes da operação, descontados ou capitalizados em qualquer data, é sempre nula. A taxa efetiva é a taxa que deve ser considerada nos cálculos de viabilidade de projetos e também nos cálculos de captação ou aplicação de recursos financeiros. É a taxa que nos fornece o valor dos juros produzidos a serem efetivamente pagos ou recebidos. Taxas efetivas são expressas na mesma unidade de tempo da capitalização dos juros. Esta é a taxa que usamos para fazer nossas contas ) Taxas Nominais São as taxas expressas para um período inteiro, que não coincide com o período da capitalização. Por exemplo uma taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal significa que a taxa efetiva é 2% ao mês. Não usamos as taxas nominais para fazer nossos cálculos. Taxa nominal é aquela em que a unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em ano e é bastante utilizada no mercado, mas seu valor nunca poderá ser usado nos cálculos financeiros, pois não representam uma taxa efetiva. Exemplos: 1) Transformar para taxa efetiva a taxa nominal de 60% a/a capitalizada: 1.1) diariamente 1.2) mensalmente 1.1) 60% ao ano, capitalizada diariamente: Taxa efetiva = 60% / 360 onde: 32

33 Taxa efetiva = 0,1667 % a/d 1.2) 60% ao ano, capitalizada mensalmente: Taxa efetiva = 60% / 12 onde: Taxa efetiva = 5% a/m 2) Transformar para taxa nominal capitalizada mensalmente a taxa efetiva de 24% a/a Inicialmente vamos transformar a taxa efetiva de 24% ao ano em taxa efetiva mensal: No Excel: =Taxa(12;0;-100;124;0;1%) 1,8088 (a taxa efetiva mensal é 1,8088%) Agora, basta multiplicar a taxa efetiva mensal por 12: Taxa nominal = 1,8088 x 12 onde taxa nominal = 0,2171 ou 21,71% ao ano capitalizada mensalmente. Sugestão ao leitor: Tirar a prova, ou seja: transformar para taxa efetiva a taxa nominal de 21,71% ao ano, capitalizada mensalmente. Resposta: 24% ao ano ) Taxa Over É uma taxa nominal mensal, cuja proporcional diária, quando capitalizada segundo as regras da capitalização composta, pelo número de dias úteis contidos no período considerado de 30 dias corridos, equivale a uma taxa mensal efetiva. TO n 1 i TO taxa over em porcentagem n número de dias úteis da operação i taxa efetiva mensal da operação. Exemplos: 1) Calcular a taxa efetiva mensal correspondente a taxa over de 3% em 21 dias úteis. Aplicando a fórmula da Taxa Over: Resolvendo a equação, temos: i = 0,0212 ou 2,12% i ) Calcular a taxa over para 23 dias úteis equivalente a uma taxa efetiva de 5% a/m. Aplicando a fórmula da Taxa Over: 33

34 , 05 TO 3000 Resolvendo a equação, temos: TO = 6,37% 1.6.6) Rendimento Real Rendimento real de uma aplicação ou captação de recursos é o rendimento descontado a taxa de inflação acumulada no período de captação ou aplicação. 1 i RR 1 f 1 onde: RR rendimento real de uma aplicação ou custo real de uma captação i taxa efetiva no período de aplicação ou captação, em forma centesimal. f taxa de inflação acumulada no período, em forma centesimal. Exemplo: Uma empresa captou R$ ,00 num banco e pagou R$ ,00 após 6 meses. Sabendo que a inflação mensal no período foi, respectivamente, 2,5% - 1,75% - 2,80% - 3,20% - 2,80% e 3,00%, calcule o custo real no período e o custo mensal médio da captação. i) Custo real da captação no período Taxa efetiva no período: i = ( / ) 1 onde i = 0,65 ou 65% Taxa de inflação acumulada: f = [(1+0,025) x (1+0,0175) x (1+0,028) x (1+0,032) x (1+0,028) x (1+0,03)] 1 onde f = 0,1716 ou 17,16 % no período 1 0,65 Aplicando a fórmula do rendimento real: RR 1 onde RR = 1 0,1716 0,4083 ou 40,83%. Então, podemos afirmar que o custo real da captação (descontada a inflação) foi de 40,83% no período ii) Custo mensal médio da captação Para calcularmos o custo mensal médio da captação basta transformarmos a taxa de 40,83% em seis meses para a taxa mensal Excel: 34

35 =TAXA(6;0;-100;140,83;0;1%) 5,87 (a taxa média mensal real da captação foi de 5,37% a/m) 35

36 1.7 Cálculo da taxa anual de juros para prestações diferentes e períodos não uniformes no Excel Exemplo: Uma empresa fez um financiamento na modalidade de conta garantida em 15/04/2010 no valor de R$ ,00 e pagou nos valores relacionados nas datas abaixo: A 1 Data Valor 2 15/4/2010 (12.500,00) 3 28/4/ ,00 4 7/5/ , /5/ , /5/ ,00 7 5/6/ ,00 B 8 Taxa anual =XTIR(B2:B7;A2:A7;10%) Ao digitar a fórmula da XTIR no Excel e pressionar ENTER aparece o resultado 54,76% Então a taxa de juros cobrada pelo banco foi de 54,76% ao ano. Podemos transformar a taxa de 54,76% ao ano em taxa mensal: No Excel: =TAXA(12;0;-100;154,76;0;1%) ENTER 3,71% Na HP-12C f FIN 12 n 100 CHS PV 154,76 FV i 3,71 Então, a taxa cobrada pelo banco foi de 3,71% ao mês ou 54,76 % ao ano. 36

37 1.8 Desconto de duplicatas Quando uma empresa tem problemas em seu fluxo de caixa ela poderá realizar desconto de duplicatas para adiantar um recebimento futuro. Nessa operação a empresa antecipa o recebimento do dinheiro, que só teria disponível no futuro ) Taxa de desconto Uma instituição financeira realiza operações de empréstimo de acordo com os seguintes critérios: a) o prazo de operação é de n meses b) a taxa cobrada pela instituição é de d% a/m c) os juros são pagos antecipadamente Então, se o cliente desejar um empréstimo de R$ ,00, durante três meses, a uma taxa de desconto de 2,5% a/m, deverá assinar uma nota promissória de R$ ,00, com vencimento em três meses. Os juros da operação serão de 7,5% (2,5% x 3), ou seja, R$ 750,00 (7,5% de ,00) O valor líquido recebido pelo cliente, na data da operação, será de R$ 9.250,00, uma vez que os juros são pagos antecipadamente. Exemplos: 1) Uma empresa oferece as seguintes duplicatas para serem descontadas em um banco: Vencimento - dias Valor - R$ , ,00 Sabendo que a taxa de desconto foi acertada em 3.6% a/m e que o IOF é de % ao dia, qual será o valor a ser creditado na conta dessa empresa? Taxa diária proporcional a 3.6% a/m = 3.6/30 = 0.12% a/d Transformação da taxa diária de 0.12% em decimal: 0.12/100 = ª duplicata Desconto: 5250 ENTER x 30 x R$ IOF no período: ENTER 30 x 0,249% Valor do IOF: 5250 ENTER 0,249 % R$ Crédito referente a 1ª duplicata: 5250 ENTER R$ 5, ª duplicata Desconto: 4350 ENTER 0,0012 x 60 x R$ 313,20 IOF no período: 0,0083 ENTER 60 x 0,498% 37