Notas de Física - Mecânica Trabalho e Energia. P. S. Volpiani

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1 Resumo Exercício 1 Exercício Exercício Exercício 4 Exercício 5 Exercício 6 Notas de Física - Mecânica Trabalho e Energia P. S. Volpiani Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 1/10

2 Resumo: Trabalho Trabalho realizado por uma força constante F W = F d cos θ = F d θ d Trabalho realizado por uma força variável xf W = F (x)dx = área do gráfico x i F (x) [N] W = área x [m] Exemplos Força gravitacional: W P = mg(y f y i ) Força elástica: W K = 1 k(x f x i ) Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica /10

3 Teorema do trabalho-energia cinética (TEC) Considere uma partícula de massa m que se move sob a ação de uma resultante de forças F. O trabalho W realizado por esta força sobre a partícula será: Mas, por outro lado, sabemos que: Assim, podemos escrever que W = (ma)dx = W = xf x i F (x)dx = xf x i (ma)dx ( m dv ) ( dx = m dx ) dv = (mv)dv dt dt vf v i (mv)dv = 1 mv f 1 mv i W = K f K i = K Energia cinética K = 1 mv Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica /10

4 Energia Força conservativa Uma força conservativa caracteriza-se por executar um trabalho nulo quando se considera um percurso fechado. Quando uma força conservativa realiza trabalho em uma partícula, a mudança da energia potencial U do sistema é dada por: U = W Energia potencial Gravitacional: U(y) = mgy Elástica: U(x) = 1 kx TEC involvendo forças conservativas e não-conservativas W C + W NC = K U + W NC = K W NC = K + U W NC = E mec Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 4/10

5 Exercício 1 (ITA-00) Uma massa é liberada a partir do repouso de uma altura h acima do nível do solo e desliza sem atrito em uma pista que termina em um loop de raio r, conforme indicado na figura. Determine o ângulo θ relativo à vertical e ao ponto em que a massa perde o contato com a pista. Expresse sua resposta como função da altura h, do raio r e da aceleração da gravidade g. Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 5/10

6 Exercício 1 (ITA-00) Uma massa é liberada a partir do repouso de uma altura h acima do nível do solo e desliza sem atrito em uma pista que termina em um loop de raio r, conforme indicado na figura. Determine o ângulo θ relativo à vertical e ao ponto em que a massa perde o contato com a pista. Expresse sua resposta como função da altura h, do raio r e da aceleração da gravidade g. Resolução No ponto B, em que a massa perde contato com a pista, a reação normal ao apoio se anula e a componente normal do peso P n = P cos θ faz o papel de resultante centrípeta. Assim, mgh = mv + mgr(1 + cos θ) mrg cos θ mgh = + mgr(1 + cos θ) P n = mg cos θ = mv r Como não há atrito a energia mecânica vai permanecer constante E A = E B. h = r cos θ + r + r cos θ ( ) h r 1 cos θ = Se h 5r ( ), h r 1 1 temos [ Se h > 5r, a pista. θ = arccos ( )] h r 1 ( ) h r 1 > 1, a esfera não perderá contato com Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 5/10

7 Exercício (ITA-009) A partir do repouso, um carrinho de montanha russa desliza de uma altura H = 0 m sobre uma rampa de 60 de inclinação e corre 0 m num trecho horizontal antes de chegar em um loop circular, de pista sem atrito. Sabendo que o coeficiente de atrito da rampa e do plano horizontal é 1/, assinale o valor do raio máximo que pode ter esse loop para que o carrinho faça todo o percurso sem perder o contato com a sua pista. (a) R = 8 m (b) R = 4( 1) m (c) R = 8( 1) m (d) R = 4( 1) m (e) R = 40( 1)/ m Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 6/10

8 Exercício (ITA-009) A partir do repouso, um carrinho de montanha russa desliza de uma altura H = 0 m sobre uma rampa de 60 de inclinação e corre 0 m num trecho horizontal antes de chegar em um loop circular, de pista sem atrito. Sabendo que o coeficiente de atrito da rampa e do plano horizontal é 1/, assinale o valor do raio máximo que pode ter esse loop para que o carrinho faça todo o percurso sem perder o contato com a sua pista. (a) R = 8 m (b) R = 4( 1) m (c) R = 8( 1) m (d) R = 4( 1) m (e) R = 40( 1)/ m Resolução 1) Vamos aplicar o teorema da energia cinética entre a posição inicial e a final: W P + W F at = K W F at = F at1 d 1 F at d W F at = µmg cos 60 H sin 60 µmgd W F at = 1 mg mg 0 ) A condição limite no ponto mais alto do loop ocorre quando a força normal se anula e o peso faz papel de resultante centrípeta: P = F cp Logo, mg = m V f R V f = gr K f = m V f = mgr mg(0 R) 0mg = mg R W F at = 0mg W P = mg(h R) W P = mg(0 R) K i = 0 K f = m V f Resposta (C). 0 R 0 = R 0( 1) = 5R R = 8( 1) m Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 6/10

9 Exercício (ITA-010) Um pequeno bloco desliza sobre uma rampa e logo em seguida por um loop circular de raio R, onde há um rasgo de comprimento de arco Rϕ, como ilustrado na figura. Sendo g a aceleração da gravidade e desconsiderando qualquer atrito, obtenha a expressão para a altura inicial em que o bloco deve ser solto de forma a vencer o rasgo e continuar em contato com o restante da pista. Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 7/10

10 Exercício (ITA-010) Um pequeno bloco desliza sobre uma rampa e logo em seguida por um loop circular de raio R, onde há um rasgo de comprimento de arco Rϕ, como ilustrado na figura. Sendo g a aceleração da gravidade e desconsiderando qualquer atrito, obtenha a expressão para a altura inicial em que o bloco deve ser solto de forma a vencer o rasgo e continuar em contato com o restante da pista. Resolução 1) Entre os pontos A e B, a energia mecânica se conserva. Logo, Logo, v B g sin ϕ = R sin ϕ E MA = E MB mgh = 1 mv B + mgr(1 + cos ϕ) ) Entre B e C ocorre um lançamento oblíquo. Assim, o bloco deverá descrever um arco de parábola cujo alcance é dado por: v B sin ϕ cos ϕ = R sin ϕ g v B = gr cos ϕ Substituindo na primeira equação: ) Da figura, temos: D = v B g θ = ϕ sin θ mgh = 1 Rg + mgr(1 + cos ϕ) cos ϕ ( ) 1 h = R cos ϕ cos ϕ h = R cos ϕ + cos ϕ + 1 cos ϕ Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 7/10

11 Exercício 4 (ITA-011) Um pêndulo, composto de uma massa M fixada na extremidade de um fio inextensível de comprimento L, é solto de uma posição horizontal. Em dado momento do movimento circular, o fio é interceptado por uma barra metálica de diâmetro desprezível, que se encontra a uma distância x na vertical abaixo do ponto O. Em conseqüência, a massa M passa a se movimentar num círculo de raio L x, conforme mostra a figura. Determine a faixa de valores de x para os quais a massa do pêndulo alcance o ponto mais alto deste novo círculo. Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 8/10

12 Exercício 4 (ITA-011) Um pêndulo, composto de uma massa M fixada na extremidade de um fio inextensível de comprimento L, é solto de uma posição horizontal. Em dado momento do movimento circular, o fio é interceptado por uma barra metálica de diâmetro desprezível, que se encontra a uma distância x na vertical abaixo do ponto O. Em conseqüência, a massa M passa a se movimentar num círculo de raio L x, conforme mostra a figura. Determine a faixa de valores de x para os quais a massa do pêndulo alcance o ponto mais alto deste novo círculo. Resolução ) Conservação da energia mecânica entre os pontos A e B: E B = E A 1) A condição limite para completar a circunferência (x = x min) é que, no ponto mais alto da trajetória, a força de tração no fio se anule e o peso faça o papel de resultante centrípeta: P = F cp mg = mv B L x min v B = g(l x min) mv B = mg(x min L) g(l x min) = g(x min L) L x min = (x min L) L x min = 4x min L 5x min = L x min = L 5 Como x deve ser menor que L, a faixa de variação de x é dada por: L 5 x L Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 8/10

13 Exercício 5 (IME-006) Uma partícula parte do repouso no ponto A e percorre toda a extensão da rampa ABC, mostrada na figura abaixo. A equação que descreve a rampa entre os pontos A, de coordenadas (0, h) e B, de coordenadas (h, 0), é y = x /h x + h enquanto entre os pontos B e C, de coordenadas (h, r), a rampa é descrita por uma circunferência de raio r com centro no ponto de coordenadas (h, r). Sabe-se que a altura h é a mínima necessária para que a partícula abandone a rampa no ponto C e venha a colidir com ela em um ponto entre A e B. Determine o ponto de colisão da partícula com a rampa no sistema de coordenadas da figura como função apenas do comprimento r. Dado: aceleração da gravidade = g. OBS: despreze as forças de atrito e a resistência do ar. Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 9/10

14 Exercício 5 (IME-006) Uma partícula parte do repouso no ponto A e percorre toda a extensão da rampa ABC, mostrada na figura abaixo. A equação que descreve a rampa entre os pontos A, de coordenadas (0, h) e B, de coordenadas (h, 0), é y = x /h x + h enquanto entre os pontos B e C, de coordenadas (h, r), a rampa é descrita por uma circunferência de raio r com centro no ponto de coordenadas (h, r). Sabe-se que a altura h é a mínima necessária para que a partícula abandone a rampa no ponto C e venha a colidir com ela em um ponto entre A e B. Determine o ponto de colisão da partícula com a rampa no sistema de coordenadas da figura como função apenas do comprimento r. Dado: aceleração da gravidade = g. OBS: despreze as forças de atrito e a resistência do ar. Resolução 1) Há conservação de energia entre A e C: mgh = mgr + 1 mv c ) Como h é a altura mínima, N = 0 em C. Portanto, mg = mv c r v c = rg Concluímos que h = 5r/. ) A partir do ponto C, o corpo descreve um lançamento horizontal de velocidade inicial v c. As funções horárias de x e y se escrevem: x = h rg t t = h x rg y = r 1 gt y = r 1 (x h) g rg 4) Na intersecção, devemos resolver o seguinte sistema: y = x (x h) (x 5r/) x + h = = h h 5r (x 5r/) y = r r Fazendo α = x 5r/, vem: α 5r α = r r α = ± 5 r Como a intersecção ocorre entre A e B temos ( 5 x = ) 5 r y = 8r 9 O ponto de colisão é: ( r, 8r ). 9 Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 9/10

15 Exercício 6 (IME-009) A figura apresenta um plano inclinado, sobre o qual estão dois blocos, e, em sua parte inferior, uma mola com massa desprezível. A superfície deste plano apresenta coeficiente de atrito estático µ e = 5 /1 e coeficiente de atrito cinético µ c = 0,. O bloco A está fixado na superfície. O bloco B possui massa de 1 kg e encontra-se solto. Sabe-se que a superfície abaixo da mola não possui atrito e que os blocos A e B estão eletricamente carregados com, respectivamente, C e ( /9) 10 C. Desconsiderando as situações em que, ao atingir o equilíbrio, o bloco B esteja em contato com o bloco A ou com a mola, determine: a) as alturas máxima e mínima, em relação à referência de altura, que determinam a faixa em que é possível manter o bloco B parado em equilíbrio; b) a velocidade inicial máxima v com que o bloco B poderá ser lançado em direção à mola, a partir da altura h B = 0 m, para que, após começar a subir o plano inclinado, atinja uma posição de equilíbrio e lá permaneça. Dado: aceleração da gravidade g = 10 m/s e constante eletrostática k = Nm /C. Observação: considere as dimensões dos blocos para os cálculos. Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 10/10

16 Exercício 6 (IME-009) Resolução 1) Quando o bloco B estiver na iminência de descer: F el = P B sin 60 fat e,max = mg sin 60 µ en = mg sin 60 µmg cos 60 F el = = 5 5 = 40 N 1 1 F el = k Q A Q B 40 = d d d 1 = 10 m 1 Mas d 1 sin 60 = 40 h min h min = h min = 5 m Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 10/10

17 Exercício 6 (IME-009) Resolução ) Quando o bloco B estiver na iminência de subir: F el = P B sin 60 + fat e,max = F el = k Q A Q B 90 = d d = 90 1 N d = 0 m Mas d sin 60 = 40 h max h max = 40 0 h max = 0 m Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 10/10

18 Exercício 6 (IME-009) Resolução ) A máxima velocidade inicial é aquela necessária para que o corpo pare exatamente quando atingir a altura de 0 m. Entre as posições inicial e final, temos: W NC = K + U P + U E ( W NC = W fat = fat c (x B + x max) = µ c m g cos 60 hb W fat = 0, ( ) = 150 J / / U P = mg h = 1 10 (0 0) = 100 J sin 60 + hmax sin 60 ) Mas Assim, U E = k Q A Q B d f k Q ( A Q B 1 = d i ) d f d i d f sin 60 = 40 h f = 40 0 = 10 1 d f sin 60 = 10 d i sin 60 = 40 h i = 40 0 = 0 1 sin 60 = d i 0 ( sin 60 U E = ) 9 sin = J ( 150 = 0 1 ) 1 v i,max v i,max = m/s Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 10/10

19 Resumo Exercício 1 Exercício Exercício Exercício 4 Exercício 5 Exercício 6 Para mais exercícios de Física, não se esqueçam de seguir o canal e dar like no vídeo! ;) Aula 05 P. S. Volpiani Física Mecânica 10/10