Conservação da Energia. o Energia potencial. o Forças conservativas e não-conservativas o Conservação da energia mecânica

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1 Conservação da Energia o Energia potencial. o Forças conservativas e não-conservativas o Conservação da energia mecânica 1

2 Forças conservativas: o Uma força é dita conservativa se o trabalho que ela realiza durante um deslocamento for independente do caminho. o O trabalho depende apenas dos pontos inicial e final. o Isso é equivalente a dizer que o trabalho realizado em um caminho fechado é nulo. 2

3 Forças não-conservativas o Uma força é dita não-conservativa se o trabalho que ela realiza durante um deslocamento depende do caminho. o Neste caso, a soma das energias mecânicas do sistema (potencial + cinética) não se conserva. o Atrito e arrasto são exemplos de forças não conservativas. o Quando atua uma forca não conservativa, parte da energia mecânica se converte em energia não-mecânica, e.g. calor. 3

4 Energia Potencial Para forças conservativas (apenas) é possível definir uma energia potencial U através de: U f U i = U = W Como a força é conservativa, U depende apenas dos pontos inicial e final. Para o caso unidimensional e uma força variável F(x) temos portanto: U = Z xf x i F (x)dx Seguem agora exemplos de conservativas. 4

5 Energia Potencial Gravitacional Vimos que o trabalho realizado pela força gravitacional entre dois pontos é: Portanto, a variação de energia potencial é:

6 Energia potencial elástica Vimos em aulas anteriores que o trabalho realizado pela mola no bloco durante um deslocamento d = x f x i é: W M = 1 2 kxi2 1 2 kx 2 f " = 1 2 kx 2 f 1 2 kx % $ i2 ' # & x = 0 m x Veja que W é independente do caminho (depende apenas dos pontos inicial e final). Logo, a força elástica é conservativa e podemos definir m uma energia potencial elástica: (a) U s = K i = U M = W M = 1 2 kx2 f 1 2 kx2 i (b) x = 0 v

7 Potencial de referência A diferença energia potencial depende somente dos pontos inicial e final. Podemos escolher uma configuração de referência para qual a energia potencial gravitacional seja definida por um valor de referência, geralmente zero. A diferença de energia potencial entre um dado ponto e o ponto de referencia é chamada de energia potencial. A escolha do ponto de referencia é arbitrária porque a diferença na energia potencial é independente do ponto de referencia.

8 Conservação da energia mecânica Definição 1: Um sistema conservativo fechado é definido como um sistema no qual: Nenhuma força externa atua sobre o sistema. Todas as forças internas são conservativas. Definição 2: Denominamos energia mecânica total de um sistema à soma da energia cinética e da energia potencial: E = K + U Exemplo de sistema conservativo isolado 8

9 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA: A energia mecânica total de um sistema permanece constante em qualquer sistema conservativo fechado. Demonstração: Pelo teorema trabalho-energia cinética temos: W total = ΔK. Como todas as forças são conservativas, podemos escrever o trabalho como W total = -ΔU. Substituindo na equação acima temos: -ΔU = ΔK -(U f U i ) = K f K i K i + U i = K f + U f i.e. a energia mecânica se conserva. 9

10 Exemplo 01: Potencial Gravitacional: Deixa-se cair uma bola de massa m a partir de uma altura h. (a) Qual a sua velocidade quando ela bate no chão se ela estivesse inicialmente em repouso? (b) Qual a sua velocidade quando ela estiver em alguma altura y? (c) Qual seria sua velocidade ao chegar nesse ponto se ela tivesse sido arremessada verticalmente para baixo com alguma velocidade diferente de zero? (d) Haveria diferença na velocidade de chegada no chão se ela tivesse sido arremessada para cima? a)" b)" c)" E i = E f K i +U i = K f +U f 0 + mgh = 1 2 mv2 + 0 E i = E f K i +U i = K f +U f 0 + mgh = 1 2 mv2 + mgy E i = E f K i +U i = K f +U f 1 2 mv mgh = 1 2 mv2 + mgy v = 2gh v = 2g(h y) v = v g(h y) "d) Não haveria diferença na velocidade final da bola pois apenas forças conservativas estão presentes "

11 Exemplo 02: Potencial Gravitacional e Energia Cinética Um pêndulo feito de uma esfera de massa m presa a um fio de massa desprezível e comprimento L, é solto do ponto A, conforme mostra a figura ao lado. a) Qual a velocidade da esfera no ponto B? b) Qual a tração na corda quando ela está nesse ponto? a)" ΔE = 0 E = K +U K A +U A = K B +U B # K A = 0 % # K B = 1 U A = mg(l L cosθ A ) $ 2 mv 2 $ b & % & U B = mg(l L cosθ A ) = 1 2 mv b v = 2gL( 1 cosθ A ) b)" F R B = ma R = mv B 2 F R B = T mg L T mg = mv 2 B L T = mg + 2mg 1 cosθ A ( ) ( ) T = mg 3 2cosθ A 11

12 Exemplo 03: Energia Potencial, Cinética e Força de Atrito Um esquiador parte do repouso no alto de uma montanha em uma descida sem atrito de 20 m de altura. No final da descida ele encontra uma superfície horizontal com coeficiente de atrito 0,20. a) Qual sua velocidade no final da ladeira? b) Qual a distância que ele percorre na horizontal antes de parar? a)" A B ΔE = 0 (Forças"Conserva4vas)" U A + K A =U B + K B mgh + 0 = mv B 2 v B = 2gh v B = 2 9,8 20 v B =19,8m / s b)" B C ΔK = W atrito mv C mv B 2 = µ K mgd d = v 2 B 2µ K g = 2gh 2µ K g = h µ K d = 20 0, 20 =100m (Teorema"do"Trabalho"e"a" energia"ciné4ca)" 12 1

13 Exemplo 04: Potencial Gravitacional e Elástico O mecanismo de disparo de uma certa arma de brinquedo é feito de uma mola de constante elástica desconhecida. Quando a mola é comprimida 12 cm, um projétil de 35 g, quando disparado, atinge uma altura de 20m em relação à sua altura antes do disparo. Desprezando todas as forças não conservativas, responda: a) Qual a constante elástica da mola? b) Qual a velocidade do projétil 12 cm após a posição inicial de disparo? a)" ΔE = ΔU G + ΔU M + ΔK ΔE = 0 ΔU G = mgh 0 b)" ΔK = 1 2 mv2 0 ΔU M = kx2 ΔK = = mgh 1 2 kx2 k = 2mgh 2 0, 035 9,8 20 = x 2 0,12 2 k = 953N / m 0 = mgx 1 2 kx mv2 v = v = 2 2 kx2 m 2gx 953 0,122 0, 035 v =19, 7m / s 2 9,8 0,12 13

14 Conservação da energia em sistemas não-isolados ou com forcas dissipativas Consideremos o teorema trabalho energia para um certo corpo: ΔK = W. Agora separamos o trabalho total realizado sobre o sistema em duas partes: ΔK = W cons + W ext/diss O trabalho das forças conservativas pode ser escrito como: W cons = - ΔU. Logo, ΔK = - ΔU + W ext/diss ΔK + ΔU = W ext/diss ou ΔE mec = W ext/diss

15 Exemplo 05: Energia Cinética, Potencial Elástica e Atrito Um bloco de 0,80 kg a 1,2 m/s colide com uma mola de constante elástica de 50 N/m. a) Desprezando-se o atrito, qual seria a compressão máxima da mola? b) Qual seria essa compressão se levássemos em conta uma força de atrito entre o bloco e a superfície com coeficiente de atrito cinético de 0,50, supondo que a velocidade com que o bloco atinge a mola seja a mesma? a)# Forças Conservativas ΔE = 0 ΔE = ΔK + ΔU M ΔK = mv2 ΔU M = 1 2 kx2 0 0 = 1 2 mv kx2 b)# Forças Não-Conservativas ΔE = W atrito µ k mgx = 1 2 mv kx2 25x 2 + 3, 9x 0, 58 = 0 x = v m k x =15cm =1, 2 0,80 50 $ 0, 092 x = % x = 9, 2cm & 0, 25 15

16 Exemplo 06: Blocos Conectados em Movimento Dois blocos estão conectados por um cabo de massa muito pequena que passa por uma polia de massa também irrisória, que gira sem atrito, conforme mostra a figura ao lado. Considerando-se que na posição inicial a mola não exerce força sobre o bloco 1, calcule: a) A máxima elongação da mola quando o bloco 1 desliza sem atrito. b) A máxima elongação da mola na presença de atrito. c) A elongação da mola no ponto de equilíbrio. a)# ΔE = 0 ΔK + ΔU G + ΔU M = 0 b)# ΔE = W atrito ΔK + ΔU G + ΔU M = W atrito m 2 gh kx2 = 0 m 2 gh kx2 = µ k m 1 gx x = h x max = 2 m 2 g k x = h x max = 2 m 2 g µ k m 1 g k c)# Equilíbrio F R = 0 kx = m 2 g x equil = m 2 g k 16

17 Uma caixa de 3,00 kg desliza para baixo de uma rampa. A rampa tem 1,00 m de comprimento e uma inclinação de 30, A caixa parte do repouso, experimenta uma força de atrito constante de 5,00 N e continua a mover-se a uma curta distância no chão horizontal, depois de deixar a rampa. a) Determine a velocidade da caixa no fim da rampa. E i K i U i 0 U i mgy i kg m>s m J E f K f U f 1 2mv f 2 0 E mec E f E i 1 2mv f 2 mgy i f k d 1) v f 2 2 m 1mgy i f k d2 1 v f kg J N m m2 >s 2 v f 2.54 m/s 17

18 b) Que distância percorre a caixa no chão horizontal se ela continua experimentando uma força de atrito constante de 5,00 N. E i K i 1 2mv i kg m>s J E f E i J f k d d 9.68 J f k 9.68 J 5.00 N 1.94 m 18