4. Considere a esfera definida pela condição. 5. O retângulo [ABCD] está dividido em seis quadrados iguais. Qual das igualdades seguintes é falsa?

Transcrição

1

2 Ficha de Trabalho n.º 6 página 2 4. Considere a esfera definida pela condição Sabendo que [ AB ] é diâmetro dessa esfera e que A tem de coordenadas (1, 1, 1), as coordenadas de B são: (A) (2, 4, 8) (B) (3, 5, 7) (C) (4, 6, 5) (D) (5, 3, 6) 4.2. Os planos paralelos a xoz e tangentes à esfera podem ser definidos pelas condições: (A) (C) (B) (D) 5. O retângulo [ABCD] está dividido em seis quadrados iguais. Qual das igualdades seguintes é falsa? (A) (C) (B) (D) 6. Sendo, então os vetores : (A) têm a mesma norma (C) não são colineares (B) são colineares com o mesmo sentido (D) são colineares com sentido contrário 7. Os pontos e são simétricos em relação à: (A) bissetriz dos quadrantes pares (B) reta de equação y = 2 (C) origem (D) reta de equação x = Considera, num referencial o.n. xoy, a reta r definida pela equação 2x y+ 5= 0. Qual das seguintes condições também define a reta r? (A) ( x, y) = ( 1, 2) + k( 3, 6 ), k R (B) ( ) ( ) ( ) x, y = 1, 7 + k 4, 2, k R (C) ( x, y) = ( 2,1) + k( 1, 2 ), k R (D) ( ) ( ) ( ) x, y = 0, 5 + k 2,1, k R

3 Ficha de Trabalho n.º 6 página 3 9. No referencial o.n. xoy da figura ao lado, estão representadas três retas: r, s e t, sendo r paralela a Ox. Sejam m r, m s e e t. Indica a afirmação verdadeira: m t, respetivamente, os declives das retas r, s (A) m + m > 0 (B) m m > 0 s r s r (C) m + m < 0 (D) m m < 0 t r s t x 10. Em relação a um referencial o.n. xoy, a reta de equação 1 2 sendo A( 3, 2). O ponto C( k k ) AB, y = é a mediatriz de [ ], + 1, k R, é equidistante de A e de B. O valor de k é: (A) 3 (B) 4 (C) 2 (D) Em R qual das condições seguintes é equivalente à inequação? (A) (B) (C) (D) 12. Sejam a, b e c três números reais. Seja f a função, de domínio R, definida por Sabe-se que: a função f tem um único zero, que é o número real 5 Qual é o contradomínio de f? (A) (B) (C) (D)

4 Ficha de Trabalho n.º 6 página Na figura está representado o trajeto de um ponto P. O ponto P iniciou o seu percurso em A e só parou em D, tendo passado por B e por C. Para cada posição do ponto P, seja t o tempo decorrido desde o início do percurso e seja d a distância do ponto P ao ponto E. Qual dos gráficos seguintes pode relacionar corretamente as variáveis t e d? 14. Seja g uma função de domínio R, cujo gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima e cujo vértice tem de coordenadas V ( 4, 7). Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) g não tem zeros (B) g tem um mínimo absoluto para x = 4 (C) g é uma função injetiva (D) O eixo de simetria é a reta de equação x = 4

5 Ficha de Trabalho n.º 6 página Na figura está representado num referencial o. n. xoy, o gráfico de uma função f, de domínio ]-2,2[. Em qual das opções seguintes estão três afirmações verdadeiras acerca da função f? (A) Tem três zeros. Não tem máximos nem mínimos. Não é injetiva. (B) Tem exatamente dois zeros. Não tem máximos nem mínimos. É crescente no seu domínio. (C) Tem máximo e tem mínimo. É crescente no seu domínio. O contradomínio é ]-1,1[ (D) É injetiva. Tem exatamente dois zeros. O contradomínio é ]-1,1[ GRUPO II 1. Na figura estão representadas três circunferências: uma de centro, em que e são diâmetros perpendiculares; uma de centro, em que e são diâmetros perpendiculares; outra de centro, em que e são diâmetros perpendiculares. Designe por. Mostre que a área da região sombreada é.

6 Ficha de Trabalho n.º 6 página 6 D C 2. Na figura está representado um trapézio isósceles [ABCD]. """# """# """# """# Mostra que AB + CD = AD + CB. A B 3. Na figura está representado, num referencial o.n., um poliedro com nove faces, que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: os pontos e pertencem aos eixos e, respetivamente; é uma equação da superfície esférica que tem centro no ponto e que contém os quatros vértices da base da pirâmide ; o quadrado é a secção produzida na pirâmide por um plano paralelo ao plano ; o volume do cubo ] é vezes maior do que o volume da pirâmide Prove que as coordenadas do ponto são Determine as coordenadas de todos os vértices do cubo Determine as coordenadas dos vértices da base da pirâmide Defina, através de uma condição: i. a reta ; ii. a aresta ; iii. a face ; iv. o cubo Determine uma equação do plano mediador do segmento de reta Apresente a sua resposta na forma, com.

7 4. Na figura está representado, num referencial ortogonal e monométrico, um retângulo circunscrito pela circunferência de equação. Sabe-se que: a semirreta é a bissetriz do 2.º quadrante; a semirreta é a bissetriz do 1.º quadrante Determine as coordenadas dos pontos e Determine a área do retângulo. (Caso não tenha resolvido a alínea anterior considere e ) 4.3. Escreva uma condição que defina a região representada a sombreado, incluindo a fronteira. 5. No referencial o. n., está representada uma circunferência de centro e que contém a origem do referencial. Os pontos A e B são pontos de interseção da circunferência com os eixos coordenados e a reta s é a mediatriz do segmento de reta [AB] Calcula a medida do raio e mostra que a circunferência é definida pela equação Determina as coordenadas dos pontos A e B e a equação da mediatriz de [AB]. (Caso não tenhas conseguido encontrar as coordenadas dos pontos A e B considera A(2, 9) e B(-6, -3) e utiliza estes pontos par o cálculo da equação da mediatriz.) 5.3. Define por uma condição a parte sombreada da figura Calcule a área do trapézio [CDEF] sabendo que: D é um ponto da circunferência de ordenada 3; E tem de coordenadas (0, 5); F, de abcissa -5, pertencente simultaneamente à reta s e à circunferência.

8 Ficha de Trabalho n.º 6 página 8 6. Considera os vetores e, determina: 6.1. de modo que e sejam colineares um vetor colinear com e tal que. 7. No referencial o. n. da figura, cuja unidade é o centímetro, encontra-se representada uma pirâmide quadrangular regular cuja base está contida no plano de equação. Sabe-se que C pertence ao eixo e E(2, 3, 2) Indica as coordenadas dos vértices da base da pirâmide Calcula o volume da pirâmide Indica as coordenadas do ponto: simétrico de E em relação ao plano xoy simétrico de E em relação ao eixo Oz Define por uma condição o segmento de reta [AB] Considera a secção produzida na pirâmide pelo plano. Identifica a secção e indica as coordenadas dos vértices do polígono identificado Define analiticamente e descreve em linguagem corrente, o lugar geométrico gerado pelo ponto E quando o sólido dá uma volta completa em torno da aresta [BC]. 8. Considere a função afim f que, para cada valor real de k, é definida em R por: 2 ( ) ( ) f x = k 1 x+ 6 Determine os valores de k para os quais: 8.1. f é decrescente; 8.2. f ( x) = 0 x= 2; 8.3. o gráfico de f é uma reta paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.

9 Ficha de Trabalho n.º 6 página 9 9. Considere o polígono [ABCDE] representado na figura. E D C A F G B Sabe-se que: F e G são pontos de [AB]; [BCDG] é um quadrado; [DEFG] é um trapézio retângulo; [AFE] é um triângulo retângulo em F; AF = FE = FG ; AB = 8 cm ; AG x cm =, ( ] 0, 8[ ) x Mostre que a área, em cm 2, do polígono [ABCDE] é dada por ( ) 2 A x = x 14x Determine os valores de x para os quais a área do polígono [ABCDE] é inferior a 24 cm 2. Apresente a resposta na forma de um intervalo de números reais Exprima A na forma A( x) = a( x h) 2 + k, onde a, h e k são números reais Indique o valor mínimo que a área do polígono [ABCDE] pode atingir. A E B 10. O retângulo [ ABCD ] da figura tem por dimensões 6 e 4. Sobre os lados marcam-se os pontos E, F, G e H tais que AE = BF = CG = DH = x. Seja A a função que a cada x faz corresponder a área do quadrilátero [ EFGH ]. H D G C F Verifica que: ( ) 2 A x = 2x 10x+ 24 e que 0 x 4.

10 Ficha de Trabalho n.º 6 página Mostre que para todos os valores de x, A( x) 11, Representa graficamente a função A e verifique que: é crescente em [2,5 ; 4] e decrescente em [0 ; 2,5]; 11,5 é o mínimo; existem dois valores de x, correspondentes a dois quadriláteros diferentes, para os quais a área é 16. (considera o centímetro para unidade e desenha-os em verdadeira grandeza); para se obterem quadriláteros de área superior a 20,5 o x tem que pertencer ao intervalo [0 ; 0,5] Determina o perímetro do quadrilátero que tem área mínima. 11. O lucro (L) em euros, de um concerto com uma banda rock, organizado por uma associação de estudantes, é função do preço (p) dos bilhetes vendidos também em euros, e é dado por: ( ) 2 L p = 125p p Para facilitar a elaboração deste modelo apenas foram tidos em conta os seguintes aspetos: encargos fixos com a banda, preço dos bilhetes e o número de bilhetes vendidos (que é função do preço). Nota que quanto mais caros forem os bilhetes menos bilhetes se vendem e vice-versa Com auxílio da calculadora faz uma representação gráfica da função Lê o gráfico e regista todas as informações que ele te fornece acerca da situação Mostra, algebricamente, que são equivalentes as seguintes expressões: (A) 2 125p p 2625 (B) p( p ) (C) 125( p 5) (D) 125( p 3)( p 7) Qual das expressões anteriores te dá uma ideia mais clara do preço aconselhado para os bilhetes? Qual a expressão que mostra qual deve ser o preço mínimo do bilhete para que não haja prejuízo? Qual mostra mais claramente o custo fixo com a banda?

11 Ficha de Trabalho n.º 6 página Pretende-se construir um jardim junto a um lago, conforme a figura ilustra. Três lados do jardim confinam com o lago e os outros três ficam definidos por uma rede. Pretende-se que lados consecutivos do jardim sejam sempre perpendiculares. As dimensões indicadas na figura estão expressas em metros. Tal como a figura mostra, x é a medida, em metros, de um dos lados do jardim. Vão ser utilizados, na sua totalidade, 100 metros de rede Mostre que a área, em m2, do jardim, é dada, em função de x, por Sem recorrer à calculadora, determine o valor de x para o qual é máxima a área do jardim e determine essa área máxima. 13. Na figura está representado um retângulo. Este retângulo é o esboço de uma placa decorativa de 14 cm de comprimento por 10 cm de largura e que será constituída por uma parte em metal (representada a cinzento) e

12 Ficha de Trabalho n.º 6 página 12 por uma parte em madeira (representada a branco). A parte em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais. Cada triângulo tem um vértice no centro do retângulo. Seja x o lado de cada quadrado, medido em cm. Sem recorrer à calculadora, resolva os três itens seguintes Mostre que a área, em cm 2, da parte em metal da placa decorativa é dada, em função de x, por: Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é mínima e calcule essa área Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é igual à área da parte em madeira. 14. A figura representa o projeto de um canteiro com a forma de um triângulo isósceles. Nesse triângulo, a base [AB] e a altura relativa a esta base medem ambas 12 metros. O canteiro vai ter uma zona retangular, destinada à plantação de flores, e uma zona relvada, representada a sombreado na figura. O lado [DG] do retângulo está contido em [AB] e os vértices E e F pertencem, respetivamente, a [AC] e a [BC]. Seja x a distância, em metros, do ponto A ao ponto D Resolva os três itens seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos. Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos Mostre que a área, em metros quadrados, da zona relvada é dada, em função de x, por.

13 Ficha de Trabalho n.º 6 página Determine o valor de x para o qual a área da zona relvada é mínima e calcule essa área Determine o conjunto dos valores de x para os quais a área da zona relvada é superior a 40 m 2. Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais. 15. Na Figura está representada em referencial o.n. xoy, a reta r, definida pela equação y = 2x 2. Tal como a figura sugere, A e B são os pontos de coordenadas (1, 0) e (6, 0), respetivamente, e C é o ponto da reta r de abcissa 6. Considere que um ponto P se desloca ao longo do segmento de reta [AC], nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto C. A cada posição do ponto P corresponde um retângulo em que uma das diagonais é o segmento [BP] e em que um dos lados está contido no eixo Ox. Seja x a abcissa do ponto P. Resolva os dois itens seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos. Nota A calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos Mostre que a área do retângulo é dada, em função de x, por Determine os valores de x para os quais a área do retângulo é inferior a 8. Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.

14 16. Na Figura está representada num referencial o.n. xoy, parte da parábola que é o gráfico de uma função f. Sabe-se que: a parábola intersecta o eixo Oy no ponto de coordenadas (0, 1) o ponto V, vértice da parábola, tem coordenadas (2, -1) A função f pode ser definida por uma expressão do tipo, onde a, h e k são números reais. Indique o valor de h e o valor de k, e determine o valor de a. 17. Na figura estão representadas num referencial o.n. xoy, as retas r e t. Os pontos A e B são, respetivamente, os pontos de intersecção das retas r e t com o eixo Ox. O ponto C é o ponto de intersecção das retas r e t. Sabe-se que: a reta r é definida pela equação x = -1 a reta t é definida pela equação y = -2x + 8 Considere que um ponto P se desloca ao longo do segmento de reta [BC], nunca coincidindo com o ponto B, nem com o ponto C, e que um ponto Q se desloca ao longo do segmento de reta [AC], acompanhando o movimento do ponto P, de forma que a ordenada do ponto Q seja sempre igual à ordenada do ponto P. Seja x a abcissa do ponto P. Resolva os dois itens seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos Mostre que a área do trapézio [ABPQ] é dada, em função de x, por Determine os valores de x para os quais a área do trapézio [ABPQ] é superior a 21. Apresente a sua resposta na forma de um intervalo de números reais. Nota Tenha em conta que.

15 Ficha de Trabalho n.º 6 página Na figura estão representadas, em referencial o.n. xoy, duas parábolas que são os gráficos de duas funções quadráticas, f e g Responda aos dois itens seguintes sem efetuar cálculos, ou seja, recorrendo apenas à leitura do gráfico Indique o contradomínio da função f Apresente, usando a notação de intervalos de números reais, o conjunto solução da condição g( x) Defina, por uma expressão analítica, a função f Determine uma equação do eixo de simetria da parábola que representa graficamente a função g e indique os intervalos de monotonia da função. 19. A Marla participou num campeonato de skate numa pista parabólica, como se mostra na figura seguinte:

16 Ficha de Trabalho n.º 6 página 16 A altura h, em metros, a que a Marla se encontra do solo em função do tempo t, em segundos, é dada por: ( ) 2 ht = t 4t+ 5, 0 t Determine h ( 0) e interprete o resultado no contexto da situação apresentada Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora para efetuar cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes: Determine o intervalo de tempo em que a Marla está a uma altura inferior ou igual a 2 metros do solo Qual a altura mínima atingida pela Marla? Em que instante isso ocorreu? 20. Na figura está representada, em referencial o.n. xoy, uma parte do gráfico de uma função quadrática f, tal que: 4 é um máximo absoluto de f para x = 0 ; 2 é um dos seus zeros. Na mesma figura, está também representado um retângulo [ ABCO ]. O ponto O é a origem do referencial, e os pontos A e C pertencem aos eixos Oy e Ox, respetivamente. O ponto B pertence ao gráfico de f e desloca-se ao longo do gráfico de f Prove que a área do retângulo é dada em função da abcissa, x, do ponto B por: Sugestão: 3 ( ) = + 4, com [ 0,2] A x x x x. comece por determinar a expressão analítica da função f.

17 Ficha de Trabalho n.º 6 página Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto B (aproximada às centésimas) para a qual a área do retângulo [ ABCO ] é máxima. Na sua resposta, deve: reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; assinalar e indicar as coordenadas dos pontos relevantes, com arredondamento às centésimas. 21. Considere as funções afins f : R R e g : R R, definidas por: f ( x) = 2x+ 1 e g( x) 3x 4 = Calcule a imagem do objeto 2 por meio de g Determine os valores de x para os quais g( x) f ( x). Apresente o resultado na forma de intervalos de números reais. h x = 2x Seja h a função quadrática, de domínio R, definida por ( ) Indique as coordenadas do vértice da parábola representativa da função h e escreva uma equação do seu eixo de simetria Estude a função h quanto à monotonia e à existência de extremos absolutos Sem recorrer à calculadora, determine os zeros da função h. 23. Considere a família de funções do tipo g( x) ( ) = 4 k x+ 1, com k R. Determine para que valor de k se tem uma função em que o ponto de coordenadas ( 2,3) pertença ao seu gráfico.

18