Grandezas Escalares e Vetoriais

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Yasmin Vilaverde
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1 Aula 0: Vetores o escalares e vetores o soma de vetores o componentes cartesianas e polares de um vetor o produto escalar entre vetores o produto vetorial entre vetores

2 Grandezas Escalares e Vetoriais Uma grandeza física é um escalar quando pode ser caracterizada apenas por um número, sem necessidade de associar-lhe alguma orientação. Exemplos: Massa de uma bola: 0,25 kg Tempo para a massa mover-se de uma certa distância Temperatura (lida no termômetro) Energia de um corpo Carga elétrica Algumas grandezas escalares são sempre positivas (ex: massa). Outras podem ter os dois sinais (ex: carga elétrica). 3'

3 Escalar vs. Vetor Algumas' grandezas' NÃO' podem' ser' descritas'por'escalares.' ' Para' a' velocidade' importa' não' só' o' seu' valor,'por'exemplo'2m/s,'mas'também'a' direção'do'movimento.' ' Definição:' QuanVdades' descritas' por' uma' magnitude' (sempre' posivva)' e' uma' direção' e' senvdo' são' chamadas' VETORES.' 4'

Vetores Uma grandeza vetorial possui não apenas um módulo (ou intensidade), mas também uma direção e um sentido. Deve, pois, ser representada por um vetor. A velocidade é uma grandeza vetorial.

4 Vetores Uma grandeza vetorial possui não apenas um módulo (ou intensidade), mas também uma direção e um sentido. Deve, pois, ser representada por um vetor. A velocidade é uma grandeza vetorial. Para especificá-la, não basta dar apenas o seu módulo, por exemplo, 20 m/s, mas também sua direção e o sentido do movimento. Em nosso estudo de Mecânica, veremos outros exemplos importantes de vetores. Todos os vetores do conjunto mostrado na figura são iguais; para especificar o conjunto, basta tomar apenas um elemento do conjunto. 5'

5 Posição em um mapa Você está no ponto A'do'mapa. Deve andar na direção nordeste até o ponto B. O deslocamento é um vetor representado por (com seta ou em negrito). D ou D Cujo módulo é representado por: A' * D B' * N' D ou D 6'

6 Soma de dois ou mais vetores A'soma'de'dois'vetores'é'um'vetor:' Note''que' A R = A + B= B+ A B + (a'soma'é'comutavva)' R R R Soma'de'mais'de'dois'vetores:' S= A+ B+ C S= ( A+ B) + C= A+ ( B+ C) Note''que:' A S B S C 8'

7 Subtração de Vetores A B= A+ ( B) '''''O'vetor'nulo'(''') 0 tem'módulo'zero'e não'tem'direção'e'senvdo'definidos.' 0= B+ ( B) B B A B MulVplicação'por'um'escalar' B 2B 0,5B 9'

8 Componentes de um vetor Um vetor forma: A pode ser decomposto em uma soma da A = A x î + A y ĵ onde A x e A y são definidos como as componentes escalares do vetor A e î e ĵ são os versores (vetores unitários) das direções x e y, respectivamente). A y ˆj Se representarmos um vetor por um negrito: A = A x + A y A x e A y são as componentes vetoriais de A. y ĵ A xˆ i î x F128 2o Semestre de

9 Representação polar de um vetor As componentes A x e A y são as chamadas componentes cartesianas do vetor A. Podemos ainda definir um outro conjunto de coordenadas para descrever um vetor no plano: as chamadas coordenadas polares, dadas pelo módulo do vetor A : A = + θ 2 2 A x A y e pelo seu ângulo polar Relações: tg 1 A = y Ax Ax = A = y Acos θ Asenθ y A y ĵ î A θ A x x 12'

10 Soma de vetores usando componentes cartesianas A = A x î + A y ĵ Se' B = B x î + B y ĵ, o'vetor''''''''''''''''será'dado'em' C = A+ B componentes'cartesianas'por:' C = (A x î + A y ĵ)+(b x î + B y ĵ) = (A x + B x )î +(A y + B y )ĵ y" B y A y C A B =C x î +C y ĵ onde:' C x = A x + B x C y = A y + B y Ax Bx x" 13'

11 Produto escalar de dois vetores Definição: A B = AB cos(θ) onde θ é o ângulo formado entre as direções de e. Geometricamente, projeta-se na direção de B e multiplica-se por B (ou vice-versa). Então: A B = (Acosθ)B = (Bcosθ)A A θ A cosθ B A A B B 15'

12 Propriedades do produto escalar O produto escalar é comutativo: A B = B A O resultado do produto escalar entre dois vetores é um escalar '

13 Produto escalar usando componentes Devido à distributividade do produto escalar de dois vetores, podemos escrevê-lo em termos das suas compo nentes cartesianas: A B = ( A x î + A y ĵ + A ˆk) (Bx z î + B y ĵ + B z ˆk) = = A x B x î î + A x B y î ĵ + A x B z î ˆk + + A y B x ĵ î + A y B y ĵ ĵ + A y B z ĵ ˆk + + A z B x ˆk î + Az B y ˆk ĵ + Az B z ˆk ˆk Mas como: î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 1 e î ĵ =î ˆk = ˆk ĵ = 0, A B = A x B x + A y B y + A z B Z teremos: 17'

14 QC4: Produto Escalar Qual dos produtos escalares abaixo é diferente de zero? A. '' B. '' C. '' D. '' E. '' (5î) (10ĵ) (1î 1ĵ) (1î +1ĵ) (1î 2ĵ) (2î +1ĵ) 10î (2î +1ĵ) 10î (2ˆk +1ĵ) 18'

Produto vetorial de dois vetores Definição: o produto vetorial de dois vetores representado por A B, é um vetor C = A B tal que: i) a direção de C é perpendicular ao plano formado por A e

15 Produto vetorial de dois vetores Definição: o produto vetorial de dois vetores representado por A B, é um vetor C = A B tal que: i) a direção de C é perpendicular ao plano formado por A e B ; ii) o seu módulo é igual à área do paralelogramo formado por A e C = A B senθ iii) o seu sentido obedece à regra da mão direita (figura) ou do saca-rolhas. B C C A θ B θ A B A e B 19'

16 Propriedades do produto vetorial O produto vetorial não é comutativo: A B = B A O produto vetorial entre dois vetores é um vetor perpendicular ao plano formado pelos 2 vetores. 20'

17 Produto vetorial usando componentes O produto vetorial também é distributivo. Podemos escrevê-lo em termos das suas componentes cartesianas como: A B = (A x î + A y ĵ + A ˆk) (Bx z î + B y ĵ + B z ˆk) = A x B x (î î)+ A x B y (î ĵ)+ A x B z (î ˆk)+... +A y B x (ĵ î)+ A y B y (ĵ ĵ)+ A y B z (ĵ ˆk)+... +A z B x (ˆk î)+ A z B y (ˆk ĵ)+ A z B z (ˆk ˆk) Mas como î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 0 e î ĵ = ˆk, ˆk î = ĵ, ĵ ˆk = î, teremos: A B = (A y B z A z B y ) î + (A B A B ) ĵ + (A B A B ) ˆk z x x z x y y x 21'

18 O produto vetorial e o determinante Outra'forma'de'se'escrever'o'produto'vetorial'de'dois' vetores''''e'''''é'através'do'determinante'da'matriz' A B formada'pelos'versores'"""""""""""e'pelas'componentes' cartesianas'dos'vetores'''''e''"""'ao'longo'das'suas'linhas:' A iˆ, ˆj B e kˆ iˆ ˆj kˆ A B x x A B y y A B z z = = ( A B A B ) iˆ + ( A B A B ) ˆj + ( A B A y z z y z x x z x y y B x ) kˆ 22'

19 Exemplo 1: Dados'os'vetores:' calcule:' a)' a + b b)' a b c)' a b d)' a b 6î 2ĵ 2ˆk 2î 2ĵ + 4ˆk 8(î î) 3(ˆk ˆk) = 5 a = 2 î 2 ĵ + ˆk b = 4î 3 ˆk, 6(î ˆk) 8(ĵ î)+ 6(ĵ ˆk)+ 4(ˆk î) = 6( ĵ) 8( ˆk)+ 6(î)+ 4(ĵ) = 6î +10ĵ + 8ˆk a b θ = Arc cos e)'o'ângulo'formado'por'''''''''''.'''' a e b a.b = = Arc cos(1 / 3) = 70.5 o 23'

20 Exemplo 2: Considere o vetor A, A tal que A > 1. O vetor unitário que aponta na direção de é dado por: a) A A A b) c) d) A A A 1 A A F128 2o Semestre de

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