28/Fev/2018 Aula Aplicações das leis de Newton do movimento 4.1 Força de atrito 4.2 Força de arrastamento Exemplos.

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1 28/Fev/2018 Aula 4 4. Aplicações das leis de Newton do movimento 4.1 Força de atrito 4.2 Força de arrastamento Exemplos 5/Mar/2018 Aula Movimento circular Movimento circular uniforme Velocidade angular Força e aceleração centrípetas Aceleração tangencial Coordenadas radial e tangencial 5.2 Movimento em referenciais acelerados Força de inércia Peso aparente Força centrífuga 1

2 Aula anterior 4.1 Força de atrito O chamado atrito cinético surge quando um objeto desliza numa superfície. Esta força opõe-se ao movimento e aponta sempre no sentido contrário ao da velocidade. F 0 = µ k N F 0 = µ k N Coeficiente de atrito cinético: µ k O atrito estático f é uma força que tende a manter um objeto em repouso numa superfície e aponta na direção que impede o movimento. f 2

3 Aula anterior 4.1 Força de atrito Exemplo: 3

4 Aula anterior 4.1 Força de atrito Coeficiente de atrito estático: µ s 0 = F F a F a = F Coeficiente de atrito dinâmico: µ k ma = F F a = F µ k mg F a N N = mg a F F a = µn mg se F µ s N F a = F não há movimento se F>µ s N F a = µ k N há movimento, na presença de atrito 4

5 Aula anterior 4.2 Força de arrastamento A força de arrastamento opõe-se ao movimento de um objeto num líquido ou num gás. Tal como o atrito cinético, manifesta-se no sentido contrário ao do movimento. 5

6 Aula anterior 4.2 Força de arrastamento A força de arrastamento depende da forma do objeto, das propriedades mecânicas do fluido e da velocidade do objeto, relativamente ao fluido. Normalmente, quando a velocidade é pequena, a força de arrastamento é proporcional à velocidade. Quando a velocidade aumenta, torna-se proporcional ao quadrado da velocidade: F d = bv n b é uma constante e n é um inteiro. mg bv n = ma a = g b m vn Se a 0 v terminal = mg b 1 n 6

7 Aula anterior 4.2 Força de arrastamento A velocidade terminal (velocidade constante) será eventualmente atingida quando a força de arrastamento for igual ao peso do objeto. Força de arrastamento Simulação Efeito da força de arrastamento na trajetória de um projétil: bv n < mg bv n = mg 7

8 2.9 2ª e 3ª leis Dois objetos, de massas m 1 e m 2, estão ligados por um fio inextensível, como é mostrado na figura. Despreze o atrito entre os objetos e o plano inclinado e determine: a) a aceleração de cada objeto; b) a tensão no fio; c) a relação entre as massas m 1 e m 2 para que o sistema fique em equilíbrio. a) F x = ma x T m 1 g sen 40 = m 1 a 1x T'+ m 2 g sen50 = m 2 a 2x a 1x = a 2x = a e T =T : ( ) a = g m 2 sen50 m 1sen 40 =1,37m/s 2 m 1 + m 2 b) T = m 1 ( g sen 40 + a) = 61N y F n,8 T x T' y c) Equilíbrio = 0 F x Massa m 1 : T m 1 g sen 40 = 0 Massa m 2 : T'+ m 2 g sen50 = 0 Como T =T : m 1 m 2 = sen50 sen 40 =1,2 m 8 g m 10 g F n,10 x 8

9 5.1.1 Movimento circular uniforme Trajetória circular. O vetor velocidade tem sempre o mesmo módulo, mas a sua direção muda constantemente. Para que o vetor velocidade mude, é necessário que exista uma aceleração. Movimento curvo Simulação Posição : Rapidez : r = constante v = constante O período T é o intervalo de tempo necessário para que a partícula efetue uma rotação completa. v = 1 circunferência 1 período = 2πr T 9

10 5.1.1 Movimento circular uniforme A posição angular θ (em radianos) da partícula, relativamente ao eixo x, é θ = s/r, em que s é o comprimento do arco definido pela trajetória da partícula, entre o eixo x e a sua posição em cada instante, com 0 θ 2π. s = r θ ; θ = s/r 1 = (π/180 ) rad = 0, rad; 1 rad = 180 /π = 57,296 10

11 5.1.2 Velocidade angular A velocidade angular ω (em radianos/s = rad/s) mede a rapidez com que o ângulo θ varia, ao longo da trajetória da partícula. Por convenção, θ é positivo se aumentar no sentido anti-horário. Se ω descrever uma rotação no sentido antihorário, é positiva. 11

12 5.1.3 Força e aceleração centrípeta Para que um objeto se mova com velocidade constante ao longo de uma circunferência, é preciso que exista uma força a agir sobre ele. Se não, moverse-ia ao longo de uma linha reta. Movimento circular Simulação A força (e a aceleração) apontam para o centro da circunferência a média = v 2 v 1 Δt a = v2 r lim θ 0 = 2vsenθ 2rθ / v ŷ = v2 r senθ ŷ = v2 θ r ŷ senθ ŷ θ f c = ma c = m v2 r = mω2 r 12

13 5.1.3 Força e aceleração centrípeta A força centrípeta pode ser criada pela tensão numa corda, pela força normal, pelo atrito, etc. Exemplo: um carro, de massa m = 1200 kg, efetua uma trajetória circular, de raio r = 45 m. Se µ k = 0,82, qual é a velocidade máxima que o carro pode ter para não derrapar? F x F y = f k = µ k N = ma c = m v2 r = 0 = N W = N mg µ k mg = m v r 2 v = µ k rg v = (0,82)(45,0 m)(9,81 m/s 2 ) =19,0 m/s= 68,4 km/h 13

14 5.1.3 Força e aceleração centrípeta Exemplo: se uma curva tiver uma inclinação de ângulo θ, é possível que um carro a descreva sem derrapar e sem que exista atrito. Se a curva tiver um raio r = 85 m e o carro tiver m = 900 kg e se deslocar a 20,5 m/s, qual deve ser o valor de θ para que o carro não derrape? F x F y = N senθ = ma c = m v2 r = 0 = N cosθ W = N cosθ mg v 2 m N senθ N cosθ = tgθ = r mg = v2 gr θ = arctg v2 gr (20,5 m/s) 2 = arctg (9,81 m/s 2 )(85 m) = 26,7 14

15 5.1.4 Aceleração tangencial Se o módulo da velocidade não for constante, existe uma aceleração no sentido do movimento. Nesse caso, trata-se de uma aceleração tangencial (tangente à trajetória). A aceleração total será a soma vetorial das duas acelerações. Centrípeta v 1 Tangencial v 4 Tangencial Componentes centrípeta e tangencial Velocidade tangencial: v t = 2πr T 15

16 5.1.5 Coordenadas radial e tangencial O eixo r (radial) é definido do centro de rotação para a posição da partícula. O eixo t (tangencial) é a tangente à circunferência, no sentido anti-horário. O eixo z (axial) é a a perpendicular ao plano de rotação. O vetor A pode ser escrito nas Componentes radial e tangencial animação componentes radial e tangencial: A r = Acosφ; A t = Asenφ 16

17 5.2.1 Força de inércia Num referencial acelerado, a 2ª lei de Newton não é válida. F i = ma m Neste exemplo, o bloco de massa M adquire uma aceleração a para a direita, devido à força F. Como os blocos estão em contacto, o bloco de massa m sofre uma força de inércia F i, para a esquerda. M a F i = ma A força de inércia que m sofre é igual ao produto da sua massa pela aceleração do referencial acelerado. Tem sempre o sentido contrário ao do movimento do referencial, como num par ação-reação. 17

18 5.2.2 Peso aparente Dentro do elevador, de massa M, há um peixe de massa m. Quando o elevador se deslocar com velocidade constante, o peixe tem peso mg e não sofre força de inércia. F i = ma Quando o elevador subir, com aceleração a, o peixe tem peso mg e sofre uma força de inércia F i = ma. A força lida na balança é F = mg + ma. Quando o elevador descer, com aceleração a, o peixe tem peso mg e sofre uma força de inércia F i = ma. A força lida na balança é F = mg - ma. 18

19 5.2.3 Força centrífuga No referencial do passageiro (figura b), uma força aparente empurra-o para a porta do automóvel. No referencial da Terra (figura c), o carro exerce uma força sobre o passageiro, para a esquerda, para que este acompanhe o movimento do carro. A força dirigida para a direita é uma força fictícia, a que se dá o nome de força centrífuga, e é devida à aceleração centrípeta associada à mudança de direção do carro. Na prática, as forças de atrito são suficientes para que o passageiro se mova solidariamente com o carro. 19

20 5.2.3 Força centrífuga O observador no referencial de inércia (a) vê a esfera a sofrer a ação de uma força horizontal: F x = T senθ = ma = T cosθ mg = 0 No referencial acelerado (b), o observador vê a esfera como uma partícula em equilíbrio: ' F x F y = T senθ F fictícia = ma ' F y = T cosθ mg = 0 As duas formulações são equivalentes se F fictícia = ma 20