Exercícios de Complementos de Matemática I

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1 Exercícios de Complementos de Matemática I 9 de Novembro de 018 Semana I-II-III Do Leithold: Exercicios 1.1: ex. 1 até 56. Exercicios de revisão do cap. 1., pag 5-53: ex 1 até ex 0. Exercìcio 1. Sejam a, b P R, a ă b. Provar que a ă a ` b ă b. Deduizir que, dados, a, b P R com a ă b existe sempre γ P R tal que a ă γ ă b. Exercìcio. Sejam a P R tais que a ě 0. Provar que se a ă ε por cada ε P R, ε ą 0, então a 0. Deduzir que se a, b P R, tais que a b ă ε por cada ε P R, ε ą 0, então a b. Exercìcio 3. Resolver as inequações: x 3x ` 1 ě 1; 1 x 1 3x ď 4; x 4 ě 5; x 1 ď 3; x 1 ` x ě 3; Exercìcio 4. Provar que, em R, se x ě 3, y ď, então x ` y ě 7; se 1 ď x ď, ď y ď 3, então 1 ě 1 x ` y ě 1 5 se ď x ď 4, 3 ď y ď, então 8 97 ď xy x ` y 4 ď 9 5 se 1 ď y ď, 9 ď x ď 7, então 1 8 ˇˇˇˇ ď 1 x ` y ˇ ď 1 5 se 10 ď x ď 0, 1 ď y ď, então 7 11 ď 3x y ˇx y ˇ ď

2 Exercìcio 5. Resolver as seguintes inequações. x 1 ď a 1 x, x 1 ˇ 1 x ˇ ě,? x 1 ď a 1 x,? x x ď 1, a x 14 ě x ` 1 x px 1q x 3x ` ą 0, x 4x ` 1 x ` 1x 3 ą 0, x 3 x ` ą 0 Exercìcio 6. Dar, quando necessário, as condições para as seguintes expressões e simplifica-las px 9 y 6 q 1 3 px 6 y q 1 a 16y8 z 5 a x 15 y 10, x x ` 3x x 3 x Exercìcio 7. Fatorar os seguintes polinômios: 8x 3 7, 16x 4 5, 7x 3 ` 8, x 5x ` 6, x 3x 8, x 3 x ` x 1 Dica: para o último, observar que tem uma raiz igual a...e que então é divisível por...; depois dividir.

3 Semana IV Leithold: exercicios 1.. Exercìcio 8. Sejam P px P, y P q, Q px Q, y Q q dois pontos distintos do plano cartesiano. Provar que a única reta que passa por P e Q tem equação px Q x P qpy y P q py Q y P qpx x P q. Exercìcio 9. Sejam P px P, y P q, Q px Q, y Q q dois pontos distintos do plano cartesiano. Provar que o ponto M de coordenadas M px M, y M q, definidas por x M x P ` x Q pertence à reta que passa por P e Q e satisfaz à y M y P ` y Q dpm, P q dpm, Qq ou seja, é a igual distancia de P e de Q. Em outras palavras, M é o ponto medio do segmento P Q. Exercìcio 10. Seja P px P, y P q um ponto do plano cartesiano. Seja y mx ` q uma reta r. Provar que a distancia entre P e r é dpp, rq mx P ` q y P? 1 ` m (Dica: encontrar a reta r 1 perpendicular a r passante por P. Seja Q o ponto de interseção entre r e r 1 ; calcular Q; calcular dpp, Qq. ) Exercìcio 11. Escrever as seguintes expressões como px αq ` D, onde D é uma constante (não depende de x). x 3x ` 1, x ` 4x 7, x x,, x 5x ` 9 Escrever as seguintes expressões como apx αq ` D, onde a P R e D não depende de x (é uma constante. 5x 3x ` 1, 3x ` 9x 1, 7x 7x 15, x 3x 4,, 6x ` 9x 9 Exercìcio 1. Seja y ax ` bx ` c a equação de uma parabola π (a 0). Seja y mx ` q uma reta r. Dizemos que a reta r é tangente à parabola π se a reta r intersecta π em um único ponto. Isto explicado, resolver os seguintes pontos. Consideramos a parabola y 3x ` x 1. Consideramos o ponto P p0, q. Calcular as tangentes à parabola passantes por P. Desenhar parabola e tangentes. Consideramos a parabola y x {4 8x ` 1. Encontrar uma reta paralela à y x ` 5 e tangente a π. Desenhar parabola e tangentes. Exercìcio 13. Seja x ` y ax by ` c 0 a equação de um circulo γ (a ` b c ą 0). Seja y mx ` q uma reta r. Dizemos que a reta r é tangente ao circulo γ se a reta r intersecta γ em um único ponto. Isto explicado, resolver os seguintes pontos.. Consideramos o circulo γ de equação x ` y x 4y ` 4 0. passantes por P p 1, 0q. Desenhar circulo e tangentes. Calcular as retas tangentes a γ Consideramos o circulo γ de equação x ` y ` 4x 3y ` 3 0. Encontrar as retas perpendicular a y 3x ` 5 que seja tangente a γ. Desenhar circulo e tangentes. 3

4 Semana V Leithold: todos os exercicios do capitulo 1 até 1.5. Começar a fazer os exercícios de revisão do capitulo 1. Exercìcio 14. Quais das seguintes são funções? 1. Sejam A tx P N 1 ď x ď 10u. B tx P N 1 ď x ď 0u. f : A B é definida por fpxq é tal que fpxq 3 é múltiplo de 0 x.. Seja A B R. f : A B é definida por # número de 7 no desenvolvimento decimal de x, se este número for finito fpxq - π no caso contrario 3. f : R R definida por fpxq x x x 3 x 4. f : R R definida por fpxq x3 x x x 5. f : Q ą0 R definida por fpxq p`q? p 3 q se x p{q, com p ą 0, q ą Seja f : p0, πq R definida por fpxq é tal que o angulo A p P B, onde A p, 0q, P p0, fpxqq, B p0, q é, em radiantes, igual a x. Exercìcio 15. Por cada par de funçòes f, g : Q Q calcular f g e g f. 1. f 1 3x, g x ;. f x ` 1, g 1{px ` 1q; 3. f x ` a, g x a; 4. f 3x `, g 4x ` 3. Exercìcio 16. Encontrar uma parabola, com eixo vertical, que passa para o ponto p, 3q e tangente no ponto p1, 0q à reta de equação y x `. Exercìcio 17. Consideramos a função f : R R definida por $ & x x ` se x ď 1{ fpxq x{ ` 3 se 1{ ď x ď 4 % 4{px 1q se x ą 5 Traçar o grafico da função. A função admite tangente para x 1{? Exercìcio 18. Resolver a inequação? 1 ` x ď x e dar uma interpretação geometrica. Exercìcio 19. Resolver as seguintes inequações, e, se possível, dar uma interpretação geometrica. x 1 ď a? a? 1 x, x 1 ď 1 x, x x ď 1 x 1 ˇ 1 x ˇ ě, x px 1q x 3x ` ą 0, x 4x ` 1 x ` 1x 3 ą 0 Exercìcio 0. Desenhar o grafico da função Exercìcio 1. Qual é o dominio de fpxq x x? x 3 x ` ą 0, fpxq x 1 ` x. 4

5 Semana VI Leithold: Exercicios da seção 1.6 e todos os exercicios de revisão do capitulo 1. Exercicios da seção.1. Exercìcio. Uma função f : I R, definida num intervalo 1 de R, é crescente se para todo x 1, x P I, com Encontrar o máximo intervalo I de R onde a função fpxq x {4 x 1 é crescente. Provar que a imagem J é um intervalo de R. Encontrar explicitamente uma inversa g : J ImfˇˇI I da restrição de f ao intervalo I. Exercìcio 3. Provar que a função fpxq x 3 ` 3 de R R é inversivel. Encontrar a sua inversa. Exercìcio 4. Desenhar o grafico das funções $ & x se x ă 1 fpxq % x se 1 ď x ă 4 b gpxq x 4 4 ` 16 se x ě 4 $ & % 4 x se ď x ă 1 x se 1 ď x ď 1 4 x se 1 ă x ď Por cada uma das funções dizer se é ou não monotóna (crescente ou descrescente), injetiva, encontrar a sua imagem. Exercìcio 5. Encontraro o dominio das funções seguintes e traçar o grafico delas, estudando crescimento, sinal, etc, com metodos elementares. 1. y? x 3;. y?4 x ` 3. Exercìcio 6. Mostrar que a função f : R ě0 a inversa. R ě 4 definida por fpxq x 4`x 4 é bijetiva. Encontrar Exercìcio 7. Consideramos a função f : r0, `8q sobrejetiva? É inversível? Se sim, encontrar a sua inversa. r0, `8q definida por fpxq x `? x. É injetiva? É Exercìcio 8. Consideramos a função fpxq 1? x 4. Qual o seu dominio? Qual é a sua imagem? É injetiva? g : I D. É sobrejetiva? Seja D o seu dominio e I a sua imagem. Encontrar, se existe uma função inversa Exercìcio 9. Consideramos o conjunto dos px, yq P R que satisfazem a equação F px, yq y y`3`x 0. É possível encontrar uma função y fpxq tal que fpxq satisfaça a equação F px, fpxqq 0 por cada x? Quantas tais funções se podem encontrar (definidas em intervalos maximais?) Encontrar, eventualmente, uma sua inversa g. Seja f uma tal função. Exercìcio 30. Consideramos a função f : p 8, 1q p, `8q, definida por fpxq? x ` 1? x. sobrejetiva? É injetiva? Encontrar, se possível, uma sua inversa g. É 1 Um intervalo I de R é um subconjunto I tal que se x, y P I, e se x ă z ă y, então z P I. 5

6 Semana VII Leithold: Exercicios.1, Exercicios. Semana VIII Seção.3: exercícios: 1 33, 35, 36 Semana VIII Seção.4: exercícios: Seção.5: exercícos: 11 48; Exercícios facultatívos: Exercìcio 31. Calcular lim xñ`8? x ` 1? x Exercìcio 3. Calcular lim xñ`8? xp? x ` 1? xq. Exercìcio 33. Calcular lim xñ 8 3? xp 3? x ` 1 3? xq Exercìcio 34. Calcular policiais. Exercìcio 35. Calcular Exercìcio 36. Calcular lim xñ 8 sin x. Dica: Calcular antes de tudo lim x sin x ` 3 cos 3x ` 10x 3 lim xñ 8 x 3. sin x ` 3 cos 3x 5? x lim 6 xñ 8 7x 3. xñ 8 sin x ˇ x Exercìcio 37. Encontrar as assintotas horizontais e verticais da função f pxq e dar um esboço da função perto das assintotas. Semana IX Leithold: Seção.6: exercícios 1 4, 46, 47, 48, 49 Seção.7: exercícios 1 4, Seção.8: exercícios Semana X-XI-XII Leithold: Seção 3.1: exercicios 1 Ñ Ñ 64. Seção 3.: exercícios 1 Ñ 36. Seção 3.3: todos os exercícios. Seção 3.4: 17 Ñ 0, 3 Ñ 8, 33 Ñ 36. Seção 3.5: 1 Ñ 4, 51 Ñ 60 Seção 3.6: 1 Ñ 4, 48 Ñ 5 Seção 3.7: 1 Ñ 44, 51 Ñ 56 Seção 3.9: 1 Ñ 8, 38, 39, 40, 41, 44. Seção 3.10: 1 Ñ 54 Exercicios de revisão do capitulo 3: 1 Ñ 49, 71, 73 Ñ 81. ˇ usando o teorema dos dois px qpx ` 1q px 5x ` 6qpx ` 3x ` q Seção 4.1: 1 Ñ 33 6

7 Semana XIII: Leithold: Exercicios 4.3: 1 0 Exercicios 4.4: 1 40, Exercicios 4.5: 1 8 Exercicios 4.6: 1 58 Exercicios , 3 48 Exercicios de revisão do capitulo 4: (sem o 60 e o 65, 66, 67). Semana XIV Leithold: Exercicios 5.1: 1 4 Exercicios 5.: 1 58, 63, 64, 66, 67, 68. Semana XV Exercicios 5.3: 1 0, Exercicios 5.5: Exercicios 5.7: 1 16 Exercicios Exercicios Exercicios de revisão do capitulo 5: 1 60, Exercìcio 38. Desenhar os graficos das seguintes funções: x x ` 1, x ` px ` q, x3 3x ` 4, Exercìcio 39. Calcular os seguintes integrais indefinidos/definidos: ż ż 3x sinpx 3 ` 1qdx, cos x p ` sin xq, ż 1 0 ż x 9 dx, x? 1 ` x dx, ż 0 x a 4 x dx 7