Cos x Sin x. em I, logo g é decrescente em I. Pode se então concluir que g I C I Para mostrar que g' é decrescente em I

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1 Exame 3710 I 1 gx_ : 1 ExpCosx g0 0 e Pi gpi Pi g 'x 1 Cosx Sinx g'x 0 em I, logo g é decrescente em I. Podese então concluir que gic I Plotg 'x, x, 0, Pi Ng 'Pi Ng '0 0. Logo g ' x , x I Para mostrar que g' é decrescente em I g ''x 1 Cosx Cosx 1 Cosx Sinx g''x anulase em x tal que sinx^ cosx 0, ou seja, 1± 1 1 cosx^ cos x 0. Esta equação em raizes em cosx de onde x arcos 1,

2 exame3julho.nb NArcCos Este ponto não pertence ao intervalo I, logo em I a função g' é monótona decrescente. Conclusão: a afirmação a provar resulta do teorema do ponto fixo Plotgx, x, x, 0, Resposta 1b 1ª iteração x1 g Estimativa do erro a posteriori Temos L max x I g'x 0.36 L e1 L 1 L x Resposta a Para determinar um ponto fixo de g, temos de calcular as raizes de logo temos de aplicar o método de Newton a função f fx gxx 0; fx_ : 1 ExpCosx x f 'x 1 1 Cosx Sinx Função iteradora do método de Newton: g1x_ : x fx f 'x

3 exame3julho.nb g1x Cosx x x 1 1 Cosx Sinx Resposta b g O método de Newton tem convergência pelo menos de ordem, porque: 1 Nf0 fpi ` è menor que 0 f 'x 1 1 Cosx Sinx f'x 0, x I, porque 1 Cosx Sinxe1 3

4 exame3julho.nb f ''x 1 Cosx Cosx 1 Cosx Sinx f''x 0; na resolução da alínea 1a foi provado que f''x g''x não se anula em I, e f''0 0 Absf0 f '0 é menor que Pi NAbsfPi f 'Pi ` é menor que Pi Estão verificadas todas as condições de convergência do método de Newton, logo o método converge e a ordem é, pelo menos, ; por outro lado, f''z 0, logo, a ordem de convergência é Grupo II Resposta 1 O sistema considerado também pode ser escrito na forma x G1 x, y, z y ^ z ^ 6 y G x, y, z x z ^ 3 z G3 x, y, z ε x ^ 3 y 6 Ou seja, qualquer solução deste sistema é tambem um ponto fixo da função G G1,G,G3. Temos então de verificar se a função G satisfaz as condições do teorema do ponto fixo em S v R 3 : v 1. Em primeiro lugar, verifiquemos que GSS Se v S, então 1 x 1, 1 y 1, 1 z 1. Logo, verificase G1x,y,z 6 1, Gx,y,z 1, G3x,y,z 6 1. Logo, GSS Verifiquemos agora que G é contractiva, em S. Comecemos por observar que S é um conjunto convexo, já que é uma esfera na norma do máximo Calculemos a jacobiana de G JGx_, y_, z_ : 0, y 3, z 3, 1, 0, 3 z ^, x 6, 3 6, 0

5 exame3julho.nb MatrixFormJGx, y, z 0 1 x 3 y z z 1 0 Calculando a norma por linha da matriz jacobiana, verificase que JG max y z 3, 13z^ em S, verificase que JG 6 1., x 3.Logo, 6 Por conseguinte a função G satisfaz as condições doteorema do ponto fixo em S, e logo tem um único ponto fixo em S. Resposta a Para a aplicação do método de Newton, notemos que a solução do sistema considerado é uma raiz da função F F1,F,F3, dada por F1x_, y_, z_ : 6 x y ^ z ^ Fx_, y_, z_ : x y z ^ 3 F3x_, y_, z_ : x ^ 3 y 6 z Ε Jacobiana de F JFx_, y_, z_ : 6, y, z, 1,, 3 z ^, x, 3, 6 A matriz A é a jcabiana em 1,1,1 JF1, 1, 1 MatrixForm O vector b é igual a F1,1,1 b F11, 1, 1, F1, 1, 1, F31, 1, 1, 3, Ε Resposta b A matriz A tem a diagonal estritamente dominante por linhas, porque 6, 31, 6 3. Logo, o método de GaussSeidel converge, quando aplicado a este sistema III Pergunta 1 Valores da função f: f0 0, f1 01, f 1, f3 9 7 Cálculo das diferenças divididas f1, 1

6 6 exame3julho.nb f, f1,, 3 9 Aplicação da fórmula interpoladora de Newton Px f1f1,x1f1,,3x1x Px_ : 1 x 1 x 1 x ExpandPx 1 7 x x Verificação P1 1 P

7 exame3julho.nb P3 7 Pergunta Vamos calcular as diferenças divididas, para pontos equidistantes, x,x1,x,x3 fx,x1 fx1fx x1 fx1,x fxfx1 x fx,x3 fx3fx x3 fx,x1,x fx1,xfx,x1 1 x fx1,x,x3 fx,x3fx1,x 1 x1 x3 fx,x1,x,x3 fx1,x,x3fx,x1,x3 1 3 x3 x x x x3 1 6 Visto que a 3ª diferença dividida de f é constante não depende de x, isto significa que a sua 3ª derivada também é constante e diferente de zero; sendo f um polinómio, terá que ser de 3º grau Pergunta 3 Regra de Simpson composta: temos que usar no mínimo subintervalos, de onde resulta que teremos que usar os valores de f0,f1,f,f3,f f f Então h 1 Sf h 0 f0 1 f1 f 3 f3 f Pergunta Segundo a fórmula do erro da regra de Simpson, temos Eg h 180 bag Ξ onde gx xfx. De acordo com a alínea, temos que f é um polinómio de 3º grau e que fx 1 6 x3.. Logo gx 1 6 x.., de onde g Ξ 16 Finalmente, obtemse Eg e Eg. Pergunta O polinómio P obtido na alínea 1 satisfaz P1 f1, P f,p3 f3. Logo, se na função Q subsituirmos os valores de a,b,c pelos coeficientes deste polinómio, obteremos Qa,b,c 0, o que é, obviamente, o vcalor mínimo dessa função. Assim, os valores de a,b,c procurados são a, b 7, c 1 IV Pergunta 1 Método de Taylor de segunda ordem

8 8 exame3julho.nb f x yx, f y x f1,0 1, f x f 1,0, 1,0 1 y y i1 y i h f x i, y i h f x x i, y i f y x i, y i f x i, y i Visto que x 0 1 e x 1 1.1, temos h 0.1 h y 1 0 h 1 h ^ Pergunta De acordo com os dados, o erro da aproximação y é e Uma vez que o método de Taylor é de segunda ordem, se utilizasse esse método com passo h 0.0, o erro seria cerca de vezes menor enovo e Nesse caso, obterseia aproximadamente o valor ynovo enovo Pergunta 3 Método de Euler In[1]:= h 0.0 Out[1]= 0.0 In[]:= y0 0 Out[]= 0 y1.0y1 In[3]:= y1 y0 h 0 1 Out[3]= 0.0 In[]:= y y1 h ^ Out[]=