SME0300 Cálculo Numérico Aula 6

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1 SME0300 Cálculo Numérico Aula 6 Maria Luísa Bambozzi de Oliveira icmc. usp. br Sala: Página: tidia-ae.usp.br 20 de agosto de 2015

2 Aula Passada Equações Não-Lineares: Determinar raiz x [a, b] de f (x) tal que f (x) = 0. Métodos: Método Iterativo Linear: xk = ψ (x k 1 ) Para garantia de convergência: ψ(x), ψ (x), ψ (x) contínuas em [a, b], com x [a, b]; x 0 [a, b]; ψ (x) < 1, x [a, b] Método de Newton: xk = x k 1 f(x k 1) f (x k 1 )

3 Método de Newton (cont.) Exemplo: Raiz de f (x) = x x 2 10 = 0 no intervalo [1, 2]. Raiz real: x 1, f (x) = 3 x x x k+1 = x k x3 k + 4 x2 k 10 3 x 2 k + 8 x = ψ(x k ) k ψ (6 x + 8) x x 2 10 (x) = 3 x x 2 ψ (x) 70 < 1 para x [1, 2]. 121 GARANTIA DE CONVERGÊNCIA no intervalo [1, 2]!

4 Método de Newton (cont.) Exercício em aula: Usar Método de Newton para obter a raiz de f (x) = x x 2 10 = 0 no intervalo [1, 2]. Escrever f (x); Escrever f (x); Determinar forma específica do método usando funções anteriores; Usando x 0 = 1,5, calcular e escrever valores (inclusive para k = 0) com 5 casas decimais, em forma de tabela, até raiz correta com 5 casas decimais: k x k f (x k ) f (x k )

5 Método de Newton (cont.) 2 1 y y = x y = ψ(x) ψ(x) = x x3 +4 x x 2 +8 x x 0 = 1,5 x 1 = ψ(x 0 ) = 1,37333 x 2 = ψ(x 1 ) = 1,36526 x 3 = ψ(x 2 ) = 1,36523 x 4 = ψ(x 3 ) = 1,36523 x. 1 2 CONVERGE! Observação: O Método Iterativo Linear (que convergiu) usou 6 iterações para atingir a mesma precisão.

6 Método de Newton (cont.) Visualização Gráfica Alternativa: y y = f (x) 4 y = f (x k ) (x x k ) + f (x k ) 3 f (x k ) f (x) = x x x x k x x k+1 = x k f (x k) f (x k ) x k+1

7 Método de Newton (cont.) Exemplo: Como calcular a raiz quadrada de um número qualquer α? Se x = α, então f (x) = x 2 α = 0. Assim, como f (x) = 2 x, então x k+1 = x k f (x k) f (x k ) = x k x2 k α 2 x k = = x2 k + α 2 x k = = x k 2 + α 2 x k.

8 Método das Secantes Como melhorar o método de Newton? Mudar o cálculo da derivada f (x) para uma aproximação por quociente das diferenças: f (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 x) lim. x 0 x Então f (x k ) f (x k) f (x k 1 ) x k x k 1, com x k, x k 1 sendo aproximações para x.

9 Método das Secantes (cont.) Iterações do método das secantes: x k+1 = x k f (x k) f (x k ) x k f (x k ) x k x k 1 = x k f (x k ) f (x k ) f (x k 1 ) = f (x k ) f (x k 1 ) x k x k 1 x k+1 = f (x k) x k 1 f (x k 1 ) x k f (x k ) f (x k 1 ) Duas aproximações iniciais x 0, x 1 necessárias antes de usar a fórmula. Teorema: A ordem de convergência do método das secantes é p = ,618.

10 Método das Secantes (cont.) Algoritmo: Método das Secantes Entrada: f (x), x 0, x 1, ϵ, MAXITER; Saída: x ou mensagem de ERRO [P1] Para k = 2,..., MAXITER: Calcular x k = f (x k 1) x k 2 f (x k 2 ) x k 1 f (x k 1 ) f (x k 2 ) ; Se x k x k 1 < ϵ max{1, x k }, RETORNAR x k e PARAR (com sucesso). [P2] RETORNAR erro (no. máximo de iterações atingido sem suceeso)

11 Método das Secantes (cont.) Visualização Gráfica: y y = f (x) 4 y = f (x k 1, x k ) (x x k ) + f (x k ) 3 f (x k ) f (x k 1 ) 1 x x k 1 x k+1 x k 1.6 x x k+1 = x k = x k f (x k ) f (x k ) f (x k 1 ) x k x k 1 f (x k ) f (x k 1, x k )

12 Método das Secantes (cont.) Exemplo: Determine a raiz da função f (x) = 2 x x 2 8 x 10 = 0 no intervalo [0, 3] usando o Método das Secantes. Use os extremos do intervalo como valores iniciais. (x 1,67395) Iterações calculadas: x 0 = 0,00000; x 1 = 3,0000; x 2 = 0,40000; x 3 = 0,81292; x 4 = 34,812; x 5 = 0,81749; x 6 = 0,82206; x 7 = 3,7000; x 8 = 1,0000; x 9 = 1,0000 (!)

13 Método Regula Falsi / da Falsa Posição Problema do Método das Secantes: raiz x pode estar longe de x k. Modificar Método das Secantes tal que x esteja entre iterações x k 1 e x k. Usar parte do Método da Bisecção e Método das Secantes juntos. Tomar duas aproximações iniciais x 0 e x 1 tais que f (x 0 ) e f (x 1 ) tenham sinais opostos: f (x 0 ) f (x 1 ) < 0. Calcular aproximação com Método das Secantes: x 2 = x 0 f (x 1 ) x 1 f (x 0 ). f (x 1 ) f (x 0 ) Calcular f (x 2 ) e definir entre x 0 e x 1 qual f tem sinal oposto a f (x 2 ); tomar como valores iniciais x 0 ou x 1 e x 2. Repetir.

14 Método Regula Falsi (cont.) Algoritmo: Método Regula Falsi (Falsa Posição) Entrada: f (x), x 0, x 1, ϵ, MAXITER; Saída: x ou mensagem de ERRO [P1] Calcular f (x 0 ) e f (x 1 ). Se f (x 0 ) f (x 1 ) 0, RETORNAR erro (x 0 e x 1 não ideais). [P2] Definir s 0 = x 0 e s 1 = x 1. [P3] Para k = 2,..., MAXITER: Calcular x k = f (s 1) s 0 f (s 0 ) s 1 f (s 1 ) f (s 0 ) ; Se x k s 0 < ϵ max{1, x k } ou x k s 1 < ϵ max{1, x k }, RETORNAR x k e PARAR (com sucesso). Calcular f (x k ); Se f (x k ) f (s 1 ) < 0, s 0 = s 1 e s 1 = x k ; senão, s 1 = x k ; [P4] RETORNAR erro (no. máximo de iterações atingido sem sucesso).

15 Exemplos Calcular a raiz positiva de f (x) = 4 cos(x) e x = 0 no intervalo [0,5, 1,5]. Método de Newton: x k+1 = x k 4 cos(x k) e x k y x 4 sen(x k ) e x k f (x) k x k f (x k ) f (x k ) 0 1, , , , , , , , , , ,389721E-4-5, , ,118988E-9-5, ,904788

16 Exemplos (cont.) Calcular a raiz positiva de f (x) = 4 cos(x) e x = 0 no intervalo [0,5, 1,5]. Método das Secantes: x k+1 = f (x k)x k 1 f (x k 1 )x k f (x k ) f (x k 1 ) k x k f (x k ) f (x k ) 0 1, , , , , , , , , , , , , ,573261E-2-5, , ,572112E-4-5, , ,257190E-8-5, ,904788

17 Exemplos (cont.) Calcular a raiz positiva de f (x) = 4 cos(x) e x = 0 no intervalo [0,5, 1,5]. Método Regula Falsi: x k+1 = f (s 1)s 0 f (s 0 )s 1 f (s 1 ) f (s 0 ) k x k f (x k ) 0 1, , , , , , , , , ,237955E-1 5 0, ,486451E-2 6 0, ,991991E-3 7 0, ,202189E-3 8 0, ,412137E-4 9 0, ,839766E , ,171140E-6