PUC-GOIÁS - Departamento de Computação

Transcrição

1 PUC-GOIÁS - Departamento de Computação Fundamentos IV/Enfase Clarimar J. Coelho Goiânia, 28/05/2014

2 Polinômio de Newton

3 Polinômio de Newton Ideia básica Ideias sobre aproximação linear e quadrática podem ser generalizadas para um polinômio de grau n f n (x) = b 0 +b 1 (x x 0 )+...+b n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) (1) Como na interpolação linear e quadrática, os pontos associados aos dados são usados para avaliar os coeficientes b 0,b 1,...,b n

4 Coeficientes Os dados e as Equações são usadas para determinar os coeficientes: b 0 = f(x 0 ) (2) b 1 = f[x 1,x 0 ] (3) b 2 = f[x 2,x 1,x 0 ] (4). b n = f[x n,x n 1,...,x 1,x 0 ] As avaliações das funções colocadas entre parênteses são diferenças divididas finitas (5)

5 Primeira diferença dividida A primeira diferença dividida finita é escrita como f[x i,x j ] = f(x i) f(x j ) x i x j (6)

6 Segunda diferença dividida A segunda diferença dividida finita representa a diferença das duas primeiras diferenças divididas e é escrita de forma geral como f[x i,x j,x k ] = f[x i,x j ] f[x j,x k ] x i x k (7)

7 Recursividade das diferenças Representação gráfica da natureza recursiva das diferenças divididas finitas

8 Cálculo das diferenças divididas Verificar as diferenças divididas para o polinômio f(x) = 5x 3 2x 2 x +3 para alguns pontos x i no intervalo [0. 0.9]

9 Solução i x i f(x i ) Prim. Seg. Terc. Qua ,

10 Para i = 0 f(x 1 ) f(x 0 ) (x i+1 x i ) = ( ) ( ) = 1.20 Ou Para i = 1 f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 = = 1.20 f(x i+1 ) (f(x i ) (x i+1 x i ) = ( ) ( ) = 1.05

11 Diferença de ordem n De modo similar, a diferença dividida finita de ordem n f[x n,x n 1...,x 1,x 0 ] = f[xn,x n 1...,x 1 ] f[x n,x n 1...,x 1,x 0 ] x n x 0 (8)

12 Cálculo dos coeficientes As diferenças são usadas para calcular os coeficientes das Equações (2) até (5) É substituída na Equação (1) para a interpolação polinomial f n (x) = f(x 0 )+(x x 0 )f[x 1,x 0 ]+(x x 0 )(x x 1 )f[x 2,x 1,x 0 ] +...+(x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 )f[x n,x n 1,...,x 0 ] (9) Conhecido como polinômio de interpolação de diferenças divididas de Newton

13 Observações Não é preciso que os dados usados na Equação (9) sejam igualmente espaçados ou que as abcissas estejam em ordem crescente As Equações (6) até (8) são recursivas Diferenças de ordem superior são calculados tomando diferenças de ordem inferior Essa propriedade vai ser usada para desenvolver um algoritmo eficiente para implementar o método de Newton

14 Exemplo 1 Os dados x 0 = 1, x 1 = 4 e x 2 = 6 utilizados para estimar ln2 por uma parábola Agora, vamos introduzir mais o ponto (x 3 = 5) E fazer a estimativa de ln2 com uma interpolação polinomial de Newton de terceira ordem f(x 0 ) = 0, f(x 1 ) = , f(x 3 ) = , f(x 2 ) =

15 Solução Usando a Equação (1), con n = 3, o polinômio de terceiro grau é f 3 (x) = b 0 +b 1 (x x 0 )+b 2 (x x 0 )(x x 1 )+b 3 (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) As primeiras diferenças divididas do problema, a partir da Equação (6) f[x i,x j ] = f(x i) f(x j ) x i x j f[x 1,x 0 ] = =

16 Solução, cont. f[x 2,x 1 ] = f[x 3,x 2 ] = = =

17 Solução, cont. As segundas diferenças divididas do problema são (7) f[x 2,x 1,x 0 ] = f[x 3,x 2,x 1 ] = = =

18 Solução, cont. A terceira diferença dividida é Equação (8) com n = 3) f[x n,x n 1...,x 1,x 0 ] = f[xn,x n 1...,x 1 ] f[x n,x n 1...,x 1,x 0 ] x n x 0 f[x 3,x 2,x 1,x 0 ] = ( ) 5 1 =

19 Solução, cont. Os resultados de f[x 1,x 0 ],f[x 2,x 1,x 0 ] e f[x 3,x 2,x 1,x 0 ] representam os coeficientes b 1,b 2 e b 3 da Equação (1), respectivamente Junto com b 0 = f(x 0 ) = 0.0, A Equação (1) é f 3 (x) = (x 1) (x 1)(x 4) (x 1)(x 4)(x 6)

20 Intuição visual A curva serve para aproximar f 3 (2) = , que representa um erro relativo: R f3 = 9.3%

21 Exemplo de expansão da série de Taylor para sin(x) sin(x) = x x3 3! + x5 5! x x 7!

22 Erros da interpolação polinomial de Newton A estrutura da Equação (9) f n (x) = f(x 0 )+(x x 0 )f[x 1,x 0 ]+(x x 0 )(x x 1 )f[x 2,x 1,x 0 ] +...+(x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 )f[x n,x n 1,...,x 0 ] é similar a expansão da série de Taylor Vai agregando termos sequencialmente, para mostrar o comportamento de ordem superior da função Esses termos são diferenças divididas finitas que representam aproximações das derivadas de ordem superior

23 Erros da interpolação polinomial de Newton, cont. Como ocorre com a série de Taylor, se a função verdadeira é um polinômio de grau n O polinômio de interpolação de grau n baseado em n+1 pontos dá resultados exatos

24 Erro de truncamento Como no caso da série de Taylor, é possível obter uma formulação para o erro de truncamento da Equação (10) O erro de truncamento da série de Taylor é expresa de forma geral como R n = f n+1 (ξ) (n+1)! (x i+1 x i ) n+1 (10) onde x está em alguma parte do intervalo de x i a x i+1

25 Expressão análoga para o erro Para um polinômio de interpolação de grau n, uma expresão análoga para o erro é R n = f n+1 (ξ) (n+1)! (x x 0)(x x 1 )...(x x n ) (11) onde x está em alguma parte do intervalo que contém a incógnita e os dados Para que esta fórmula seja útil, a função em torno deve ser conhecida e diferenciável

26 Formulação alternativa Existe uma formulação alternativa que não requer o conhecimento prévio da função Utilizando de uma diferença dividida finita para aproximar a (n + 1) ésima derivada R n = f[x,x n,x n 1,...,x 0 ](x x 0 )(x x 1 )...(x x n ) (12) onde f[x,x n,x n 1,...,x 0 ] é a (n +1) ésima diferença dividida finita

27 Problema com a incógnita A Equação (12) contém a incógnita f(x) e não permite obter o erro Se temos os dados e f(x n+1 ), a Equação (12) pode ser usada para estimar o erro como R n f[x n+1,x n,x n 1,...,x 0 ](x x 0 )(x x 1 )...(x x n ) (13)

28 Exemplo 1 Com a Equação (13) estime o erro na interpolação polinomial de segundo grau do Exemplo da aula anterior, aquele de ajustar para ln2 Use o dado adicional f(x 3 ) = f(5) =

29 Solução O polinômio de interpolação de segundo grau faz uma estimação, f 2 (2) = e representa um erro de = Que não é o valor verdadeiro, como geralmente é o caso A Equação (13), em conjunto com o valor adicional x 3, podem ser usados para estimar o erro R 2 = f[x 3,x 2,x 1,x 0 ](x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )

30 Ou R 2 = (x 1)(x 4)(x 6) Onde o valor da diferença dividida finita de terceira ordem é como foi calculada antes no Exemplo 1 Esta expresão é calculada para x = 2 para obter R 2 = (2 1)(2 4)(2 6) = Que é da mesma ordem de magnitude que o erro verdadero: =

31 Diferença entre as predições O Exemplo 1 e a Equação (13), deixam claro que o erro estimado para o polinômio de grau n é equivalente a diferença entre as predições de ordem (n +1) e de ordem n Isto é, n = f n+1 (x) f n (x) (14) O incremento que se agrega ao caso de ordem n para criar o caso de orden (n+1), Equação (13), se interpreta como uma estimativa do erro de ordem n

32 A série é convergente Isso é visto ao reordenar a Equação (14) f n+1 (x) = f n (x)+r n A validade de tal procedimiento é reforçada pelo fato que a série é altamente convergente Nessa situação, a predição de ordem (n+1) deveria ser muito mas próxima ao valor verdadeiro que a predição de ordem n

33 Cretério de parada O erro estimado pela Equação (14) poderia ser menor que o erro verdadero Isto representaria uma qualidade muito pouco atrativa se o erro estimado fosse usado como critério de parada

34 A influência do ruído Os polinômios de interpolação de grau superior são muito sensíveis a erros nos dados (mal condicionados) Quando empregamos a interpolação, frequentemente dão predições que divergen de forma significativa do valor verdadeiro

35 Pré-processamento dos dados É necessário fazer o pré-tratamento dos dados para detectar erros A Equação (14) é mais sensível a tal divergência Assim, é más valiosa com a clase de análise de dados exploratórios para os quais o polinômio de Newton é mais adequado

36 Algoritmo de Newton Portugol

37 Uso do algoritmo de Newton Use o algoritmo de Newtom para interpolar calcular f 4 (0.2), a partir dos dados da Tabela x y

38 Solução Parâmetros de entrada Saída m = 5 x = [ ] y = [ ] z = 0.2 r = x y

39 Exercícios 1. Dados os dados x f(x) Calcule f(4) usando os conceitos do polinômio de interpolação de Newton de ordem 1 e 4, faça os cálculos usando as fórmulas. Eleja os pontos base para obter uma boa exatidão. O que indicam os resultados em relação com a ordem do polinômio usado para gerar os dados da tabela?