Testes Formativos de Computação Numérica e Simbólica

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1 Testes Formativos de Computação Numérica e Simbólica Os testes formativos e 2 consistem em exercícios de aplicação dos vários algoritmos que compõem a matéria da disciplina. O teste formativo 3 consiste em projectos de programação utilizando a linguagem Pascal. São cobertos os seguintes tópicos: Erros; Interpolação polinomial; Diferenciação e Integraç ao numéricas; Resolução de equações; Resolução de sistemas de equações lineares.

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3 Teste Formativo Enunciado. Calcule com erro inferior a.5 3. n= ( ) n n n! Apresente o resultado obtido escrevendo apenas os seus algarismos significativos. 2. Considere a equação x x + =, x. a) Use o teorema do valor intermédio para verificar que a equação dada tem uma raiz em [2, 3]. b) Aplique o método da bissecção para calcular uma aproximação para a raiz com três algarismos significativos. c) Quantos intervalos teriam de ser calculados para obter uma aproximação para a raiz com sete algarismos significativos? 3. Use o método de eliminação de Gauss para determinar a solução do sistema x x 2 + x 3 = x 2x 2 + x 3 = 4. x 2 + 2x 3 = 4. São dados os seguintes valores da função definida por C(x) = x x cos t t 2 dt, x [, ], x C(x)

4 a) Construa a tabela de diferenças finitas relativa a estes valores. b) Calcule C(.2) usando interpolação, com a maior precisão possível, tendo em conta que os valores tabelados da função têm cinco algarismos significativos. 5. Suponha que pretende interpolar a função definida por f(x) = cos 2x no intervalo [, π] por uma função spline cúbica completa, em nós equidistantes. Qual a distância que deve ser escolhida entre os nós para que o erro de interpolação não exceda 4? 6. Calcule e estime o erro do resultado obtido: a) b) e x x dx. Sugestão: efectue a mudança de variáveis definida por x = t 2. e x x dx. Sugestão: reduza o intervalo de integração. 4

5 Teste Formativo Exemplo de resolução. Denotemos por S a soma da série dada e designemos Ao considerar a aproximação S m = ocorre um erro de truncatura R m, m n= S S m ( ) n n n!. R m = S S m. Sendo a série dada uma série alternada convergente então R m < ( ) m. (m + ) (m + )! Pretende-se R m <.5 3. Determinemos o menor valor de m tal que (m + )(m + )! <.5 3. Vamos resolver esta inequação por tentativa e erro. Tem-se (m = 3), (m = 4), (m = 5), 4 4! =.467, 5 5! =.6667, 6 6! =.235. Então R 5 <.5 3. Donde (se os erros de arredondamento forem desprezáveis) S 5 aproxima S com erro inferior a ( ) n S 5 = n= n n! = 2 2! + 3 3! 4 4! + 5 5! = =

6 A soma da série com três algarismos significativos é S = a) Designemos f(x) = x x +, (x ). A função f é contínua em [2,3]. Tem-se f(2) = = e f(3) = = Dado que f é contínua em [2,3] e f(2)f(3) < conclui-se, pelo teorema do valor intermédio, que f tem (pelo menos) uma raiz em [2,3]. b) Pretende-se a raiz calculada com 3 algarismos significativos, isto é neste caso com erro absoluto inferior a.5. Vamos então determinar um intervalo de amplitude inferior a. contendo a raiz. Os resultados da aplicação do método da bissecção constam do quadro seguinte: k I k = [a k, b k ] x k = a k+b k sinal 2 f(a k ) f(b k ) f(x k ) [2.,3.] [2.5,3.] [2.5,2.75] [2.5,2.625] [2.5625,2.625] [ ,2.625] [ ,2.625] [2.6788,2.625] A raiz procurada encontra-se no intervalo [2.6788, 2.625]. Uma aproximação com três algarismos significativos é c) O ponto médio x k do intervalo I k gerado pelo método da bissecção é uma aproximação para a raiz da equação com erro absoluto ɛ k tal que ɛ k < k+. Assim, uma vez que a raiz se situa no intervalo [2,3], para obter uma aproximação com sete algarismos significativos deverá ter-se ɛ k <

7 De vem ou, logo 2 k+ <.5 6, 2 k > 6, k ln 2 > 6 ln ; k > Terão assim de ser calculados 2 intervalos pelo método da bissecção se se tomar como intervalo inicial [2,3]. 3. A matriz ampliada do sistema é Ao fim do primeiro passo de eliminação obtém-se 4. 2 Ao fim do segundo passo de eliminação obtém-se Por substituição inversa calcula-se x 3 = 4 2 = 2 x 2 = 4 = 4 x = + ( 4) 2 = 6 7

8 4. a) A tabela de diferenças finitas relativa aos valores dados da função C é x C(x) b) Uma vez que as diferenças finitas de quarta ordem oscilam em torno de zero dentro dos limites e vamos interpolar a função por um polinómio de grau três, p 3. Para obter uma estimativa para C(.2) escolhemos os nós de interpolação.,.2,.4 e.6. Tomaremos C(.2) p 3 (.2). Se x =.2 como h =.2 e x =. de x = x + sh vem s =.6. Assim p 3 (.2) = (.56) +.6(.6 )(.6 2) + 3! = (.6 ) 2 (.) + Tem-se então C(.2) O erro de interpolação verifica onde 5 max f(x) s(x) x [,π] 384 h4 M 4, M 4 = max x [,π] (cos 2x)(4) e h é a distância entre nós consecutivos. Calculemos M 4. Tem-se (cos 2x) (4) = 6 cos 2x e max 6 cos 2x = 6. x [,π] 8

9 Donde de isto é, vem h < a) h4 6 < 4, h 4 < 4.8 4, e x e t2 dx = 2t dt = 2 x t 2 e t2 dt. Usemos a regra de Simpson composta para calcular o integral obtido (com a escolha h =.25). e t2 dt.25 [ + 4( ) (.77887) ] = Calculemos agora uma estimativa para o erro da aproximação obtida, E S (.25) = b) Assim com erro estimado em e x x dx e x k e x e x dx = dx + dx. x x k x Por exemplo, para k = 5 tem-se k k e x dx < e x dx = e k. x k e x x dx < e

10 Podemos assim escrever e x 5 e x dx dx. x x Calculemos 5 e x x dx usando a regra de Simpson composta com h = (por exemplo). 5 e x dx [ ( ) + x 3 O erro é estimado por ) +.333] = E S () = Assim é uma aproximação para o integral impróprio dado com erro estimado em ( ) 3 2.